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2022-2023学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 经过，两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 已知实数，满足，则( )
A. B. C. D.
4. 若是等差数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
5. 在平行六面体中，点满足，则( )
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的焦距为，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应如果政府增加某项支出亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过轮影响之后，最后的国内消费总额是最初政府支出也算是国内消费( )
A. B. C. D.
8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点点在第一象限，与交于点，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数，，则( )
A. B. 若，则的最大值为
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
10. 已知直线：，则( )
A. 恒过定点 B. 当时，不经过第二象限
C. 与直线垂直 D. 当时，点到的距离最大
11. 费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：，年，数学家欧拉算出不是质数，从而宣告费马数都是质数的猜想不成立现设，，为数列的前项和，则( )
A. B.
C. D. 的最大值为
12. 在三棱锥中，，底面是等边三角形，设二面角的大小为，则( )
A. 当时，直线与平面所成角的大小为
B. 当时，直线与平面所成角的大小为
C. 当的余弦值为时，
D. 当直线与平面所成角最大时，
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ．
14. 在长方体中，为棱上一点，直线与所成角的大小为，若，则 ．
15. 已知双曲线的右顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ．
16. 已知点，若圆上存在点满足点为坐标原点，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，正方体的棱长为．
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面所成角的正弦值．
18. 本小题分
已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19. 本小题分
如图，在正四棱锥中，，点，分别在，上，且．
求证：；
求证：平面，并求直线到平面的距离．
20. 本小题分
已知抛物线：，过点的直线与抛物线交于，两点，圆为的外接圆点为坐标原点．
求证：线段为圆的直径；
若圆过点，求圆的方程．
21. 本小题分
设为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
求，；
求证：数列为等差数列；
求数列的通项公式．
22. 本小题分
已知椭圆：过点，离心率为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点，若，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由斜率公式可得，
故经过，两点的直线的倾斜角为．
故选：．
先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在空间直角坐标系中，
点关于平面对称的点的坐标为．
故选：．
在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为．
本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系中对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由得，
，解得，
．
故选：．
先通过条件求出，，再结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由等差数列的下角标性质得，
，
．
故选：．
先利用等差数列的下角标性质求出，再利用等差数列求和公式求即可．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由得，
整理得．
故选：．
利用向量的线性运算全部转化为用作为起点的向量来表示，然后整理即可．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：焦距为，．
当焦点在轴上时，，得；
当焦点在轴上时，，得，
综合得或．
故选：．
分焦点在轴上和焦点在轴上讨论，利用列方程求．
本题考查椭圆的几何性质，分类讨论思想，方程思想，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：轮影响后，国内消费总额为，
轮影响后，国内消费总额为，
轮影响后，国内消费总额为．
故选：．
根据题意写出轮影响后，国内消费总额，利用等比数列求和公式求出答案．
本题主要考查的等比数列的前项和，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，
所以，，
又，所以，
设，则，
因为，
所以，所以，
所以，即，
所以，抛物线为，焦点为，准线为：，
由得，解得，
所以，，
所以，直线的方程为，
所以，联立方程得，解得，，
所以，，
所以，．
故选：．
利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合表示的值，进而得，再根据焦半径公式得，进而求解直线的方程并与抛物线联立得，再用焦半径公式求解即可．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：复数，，，，
又，，A正确；
对于：设，，，
则，即，且，
，
即的最大值为，B正确；
对于：，故C错误；
对于：，其在复平面对应的点为，在第二象限，D错误．
故选：．
对于：分别求出来判断；
对于：设，，，通过条件求出，关系，代入中求最值；
对于：求出来判断；
对于：求出来判断．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：将直线：整理变形得：，
对于选项，由点斜式方程得直线：过定点，故A错误；
对于选项，当时，直线与轴的交点横坐标为，又直线过定点，所以直线不经过第二象限，故B正确；
对于选项，由于恒成立，所以与直线垂直，故C正确；
对于选项，当直线与过点和的直线垂直时，点到的距离最大，此时，又因为直线的斜率为，故当时，点到的距离最大，故D错误．
故选：．
根据点斜式方程判断；
结合当时，直线与轴的交点横坐标为判断；
根据直线一般式的垂直判断公式判断；
根据直线与过点和的直线垂直时，点到的距离最大求解判断．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，，可得，故A正确；
，，，即，故B错误；
，
所以，故C正确；
当为偶数时，在上单调递减，可得，；
当为奇数时，在上单调递增，可得．
综上可得的最大值为，故D正确．
故选：．
由费马数的定义，结合指数的运算性质可判断；由对数的运算性质计算可判断；由，计算可得，可判断；讨论为奇数或偶数，结合数列的的单调性，计算可判断．
本题考查费马数的理解和运用，以及数列的递推式和数列的求和，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，即，
所以为等腰直角三角形，
取中点，连接，，
因为底面是等边三角形，
所以，，
所以是二面角的平面角，即，
设，则，，，
对于选项，当时，此时，，，，平面，所以平面，故为直线与平面所成角，，所以，即直线与平面所成角的大小为，故A选项正确；
当时，即，所以，在中，由余弦定理得：
，即，
所以，即为等腰三角形，
所以，
取中点，则，
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
所以，是直线与平面所成角，
所以，故B选项正确；
对于选项，当的余弦值为时，有，解得或，
所以，当时，由选项的讨论过程可知；
当时，由得，故，即，
所以，当的余弦值为时，或，故错误；
对于选项，当直线与平面所成角最大时，则，此时，故，故D正确．
故选：．
取中点，连接，，由题知是二面角的平面角，即，再令，结合线面角，余弦定理，二面角等依次讨论各选项即可得答案．
本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意易知数列为等差数列，
．
故答案为：．
直接用等差数列求和公式计算即可．
本题考查等差数列的求和公式的应用，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：在长方体中，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示，
设，，则，，，，
所以，，
所以，解得，
所以，解得，即，
又，，
所以．
故答案为：．
设，，利用空间向量法即可求解．
本题主要考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：已知双曲线，
则双曲线的渐近线方程为，
又以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点点为坐标原点，
因为，
则点到直线的距离为，
则，
即，
即，
即双曲线的离心率为，
故答案为：．
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，，
，
整理得，
点在圆上，
又点也在圆上，
圆与圆有公共点，
又圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
，解得，
的取值范围为．
故答案为：．
设，由得，点在圆上，进而结合题意圆与圆有公共点，再根据圆与圆的位置关系求解即可．
本题考查“五步求曲“法的应用，圆与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：正方体的棱长为，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
平面的法向量为，
平面的法向量为，
，
平面与平面所成角的正弦值为：
．
【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出平面与平面所成角的正弦值．
本题考查线面角的定义及其正弦值的求法、二面角的定义及其正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：设等比数列的公比为，
由于等比数列的各项均为正数，则，
由，，成等差数列，且，可得，
即为，解得，
则；
，
数列的前项和，
，
上面两式相减可得
，
化简可得．
【解析】设等比数列的公比为，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；
求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：连接，交延长交于，连接，
，，
，，，，
，，
，，故E为中点，
在正四棱锥中，则，
，，．
证明：由得，且面，面，
平面，
直线到平面的距离即为点到平面的距离，设为，
，
，
点到平面的距离，
由，得，
，
解得直线到平面的距离．
【解析】连接，交延长交于，连接，先通过比例得到，再通过证明，可得；
通过，得到平面，将求直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用等体积法，能求出直线到平面的距离．
本题考查线线垂直的判定与性质、等体积法、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】证明：依题意可设直线的方程为，，，
联立方程，消去得：，
则，，，，
，
即，
线段为圆的直径；
解：结合可设圆的圆心为，
则，
，
又，解得，
圆半径的平方为，又圆心，
圆的方程为．
【解析】依题意可设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程可得，进而可得，，，，代入求得，即可得到结论；
结合先设圆的圆心为，再求得，，根据，即可求得，进而可求得圆心和半径的平分，即可得到圆的方程．
本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，
由，可得，解得，即；
当时，，解得；
证明：当时，由，可得，
上面两式相除可得，
化为，
即为，
则数列首项为，公差为的等差数列；
由可得，
即有，
当时，；
当时，，
所以．
【解析】分别令，，结合的定义，解方程可得所求值；
当时，将原等式中的换为，两式相除，整理可得，再由等差数列的定义，可得证明；
运用等差数列的通项公式和数列的递推式，计算可得所求通项公式．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为椭圆过点，离心率为，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为；
当直线斜率不存在时，方程为，此时，两点中有一点与重合，不满足题意，
所以直线斜率存在，设方程为，，，
联立方程，消去得：，
所以，
因为直线方程为，直线方程为，
联立方程得：，
联立方程得：，
所以，
因为点，在直线上，
所以，
整理得，解得或，
所以所求直线方程为或．
【解析】由题知，进而解方程即可得答案；
由题知，直线斜率存在，设方程为，，，故直线方程为，直线方程为，进而得，的横坐标，再将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式计算即可．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
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