卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年广西柳州市高考数学三模试卷（理科）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数为虚数单位的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．
下列结论中错误的是( )
A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B. 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
C. 年到年各洲中北美洲人口增长速度最慢
D. 年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平
4. 某高中调查学生对年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查人，进行独立性检验，经计算得，临界值如右表，则下列说法中正确的是( )
A. 有的把握认为“学生对年冬奥会的关注与性别无关”
B. 有的把握认为“学生对年冬奥会的关注与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对年冬奥会的关注与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对年冬奥会的关注与性别无关”
5. 年月日上午时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告已知该报告厅共有排座位，共有个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多个座位数，则最后一排的座位数为( )
A. B. C. D.
6. 函数图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
7. 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”已知，，设，则所在的区间为( )
A. B. C. D.
8. 已知，且，则( )
A. B. C. D.
9. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的如右图在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需总时长为小时，当上方圆锥中沙子漏至圆锥高度的一时，所需时间为( )
A. 小时
B. 小时
C. 小时
D. 小时
10. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为和的两个全等的直角三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
11. 过双曲线：的左顶点作斜率为的直线，若与双曲线的两条渐近线分别相交于、，且，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
12. 已知，，若在上恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 向量，，若，则______．
14. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点若，则的长为 ．
15. 已知数列满足，，，则数列的前项和为 ．
16. 已知，，是圆：上的一个动点，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
随着中国实施制造强国战略以来，中国制造逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制某企业从生产的一批产品中抽取件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图．
求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数结果精确到；
为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取件产品，记取自的产品件数为，求的分布列和数学期望．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，．
证明：平面平面；
求与平面所成角的余弦值．
19. 本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为，且．
求；
若，求的最小值，并判断此时的形状．
20. 本小题分
已知函数，．
当时，求在区间上的最小值；
证明：且
21. 本小题分
椭圆：经过点且离心率为；直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过原点．
求椭圆的方程；
若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的最大值．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
求曲线的极坐标方程；
设射线：和射线分别与曲线交于，两点，求面积的最大值．
23. 本小题分
已知对应的三边分别为，，．
若，，是正实数，求证：，当时，等号成立；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用并集的运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
故复数为虚数单位的共轭复数对应的点位于第四象限．
故选：．
先求出，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确：
由扇形统计图可知年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确：
由条形统计图可知年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确：
三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故C错误．
故选：．
结合图像逐一辨析即可．
本题主要考查了折线图、扇形统计图、条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意知，，
所以在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对年冬奥会的关注与性别有关”．
故选：．
根据题意，对照临界值即可得出结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，把各排座位数看作等差数列，
设等差数列通项为，首项为，公差为，
则，，
因为，
所以，即得．
故选：．
根据题意转化为等差数列问题，应用等差数列通项公式和前项和公式，基本量运算即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及通项公式在实际问题中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．
由函数的奇偶性可排除，由，可排除，进而得出正确选项．
【解答】
解：函数的定义域为，关于原点对称，
又，
则函数为偶函数，其图象关于轴对称，故可排除；
又，故可排除．
故本题选C．
7.【答案】
【解析】解：因为，可知B正确．
故选：．
先求出的值，结合选项即可判断．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，，则，，
即，，，
故，．
故选：．
设，化简得到，，代入计算得到答案．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：如图，
依题意可知，，
，
，
小时小时，
故选：．
根据题意，问题转化为求出，根据圆锥体积公式计算即可求出所需时间．
本题考查圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：在长为、宽为、高为 的正方体中还原上述几何体，如下图所示：
该几何体为一个三角锥形，外接球半径为，
该外接球表面积为：．
故选：．
讲立方体放在长方体中进行还原，根据体对角线得出外接球半径，最后算出外接球表面积．
本题主要考查了简单几何体的三视图，考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知，直线的方程为，
又双曲线：的渐近线为，
设，，
联立，得，
由，得，且，
，
，
由，得，
，，
，
解得或舍去，
，
，解得，
．
故选：．
由题意易得直线的方程及双曲线的渐近线方程，设，，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据，求得，，进而可求得，再根据双曲线的离心率公式即可得解．
本题考查双曲线的几何性质，韦达定理的应用，化归转化思想和方程思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
即在上恒成立，
易知当，时，，，
令函数，则，函数在上单调递增，
故有，则在上恒成立，
令，则，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即实数的最小值为．
故选：．
，构造函数，求导判断单调性，从而得到，即，再构造函数，求导判断单调性得到最大值，从而问题可解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
可得出：，根据即可得出，，进行数量积的坐标运算即可求出．
考查向量垂直的充要条件，向量加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．
【解答】
解：；
；
；
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：不妨设点在第二象限，由抛物线定义可得：
，又，
是等边三角形，，，
，，
．
故答案为：．
由抛物线的定义得出是等边三角形，再由定义得出点坐标，进而由距离公式求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：当为奇数时，，是首项为，公差为的等差数列；
当为偶数时，，是首项为，公差为的等差数列，
．
故答案为：．
根据递推公式得出奇数项数列和偶数项数列各为等差数列，分组求和即可得出前项和．
本题考查等差数列的定义与求和公式的应用，分组求和法，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：设外接圆半径为，由正弦定理，，
当外接圆半径最小，即外接圆与圆相内切时，最大，
设外接圆圆心为，由题可得其在中垂线上，可设其坐标为：，
则，，
又圆与圆相内切，则圆心距等于半径之差，
则，等式两边平方并化简后可得：．
即外接圆半径为的最小值为．
则此时最大，最大值为．
故答案为：．
设外接圆半径为，由正弦定理可得，当外接圆半径最小，即外接圆与圆相内切时，最大．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：设质量指标值的平均数为，中位数为，
则，
因为，，
所以中位数位于之间，
则，解得；
样本中质量指标在的产品有件，质量指标在的有件，
则可能的取值为，，，
相应的概率为：，，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的期望．
【解析】根据频率分布直方图中平均数、中位数计算规则计算即可；
首先求出样本中质量指标在、中的产品数，依题意可得可能的取值为，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．
18.【答案】证明：，，，
由勾股定理得：，，
中，由余弦定理：，
，，
又因为底面，底面，所以，
又因为，平面，底面，平面平面；
解：作，垂直为，连接，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，所以为与平面所成的角，
中，，，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
【解析】通过勾股定理，证明出平面，再根据面面垂直定理求证即可；
作，垂直为，连接，由平面，可得为与平面所成的角，求解即可．
本题主要考查平面与平面垂直的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：由条件得：，
由正弦定理，得，
即，所以，
因为，所以，即，
因为为三角形内角，故，所以，因为，所以．
由得，解得，
因为，
所以，
当且仅当即时，取得最小值，此时，
又因为，所以，整理得，
因为，所以，所以，所以是直角三角形．
【解析】利用正弦定理、两角和的正弦可得，从而可求；
根据面积可得，根据向量关系结合数量积、基本等式可求取得最小值，此时，从而可求，故可判断三角形形状．
本题考查三角恒等变换，平面向量以及解三角形的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：，，，
令，
令，
所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减．，
故存在使，
所以在区间单调递增，在区间单调递减，，
所以在区间，，在区间上递增，最小值为．
证明：由可知在区间上恒成立，
所以，
对于函数，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，即，，
所以，
即在区间上恒成立，
所以．
【解析】利用导数判断出在区间上的单调性，从而求得最小值．
先证得在区间上恒成立，进而证得要证明的不等式成立．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系，还考查了由导数及函数性质证明不等式，不等式证明的可考虑综合法以及分析法，本题第小问是分析法．在导数运用的题目中，第一问的结论可能会用到第二问．特殊不等式常见不等式等，可以在平时做题中积累，解答过程中需要利用导数进行简单的证明．当一次求导无法求得函数的单调性时，可考虑利用多次求导来进行求解．
21.【答案】解：椭圆经过点，，
椭圆的离心率为，则，即，
即，解得，
所以椭圆的方程为．
当直线斜率不存在时，设以为直径的圆的圆心为，
则，则不妨取，故，
解得，故AB方程为，
直线过中点，即为轴，得，，
故；
直线斜率存在时，设其方程为，，，
联立，可得，
则，，，
以为直径的圆过原点即，
化简可得，
将两式代入，整理得，
即，
将式代入式，得恒成立，则，
设线段中点为，由，
不妨设，得，
又，，
又由，则点坐标为，
化简可得，代回椭圆方程可得即，
则，
综上，四边形面积的最大值为．
【解析】根据椭圆过的点以及椭圆的离心率，可列出等式，求得，，即得答案；
分类讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，根据条件求出参数之间的关系式，进而表示出四边形的面积，进行化简，可求得答案．
本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆相交时的四边形的面积的最大值问题，综合性强，计算量大，解答的关键是表示出四边形的面积，并能进行正确的化简，求得最值．
22.【答案】解：易知曲线的普通方程：，
因为，，
所以曲线的极坐标方程为：，即；
由题意及知，，
，
因为，则，
所以当，即时，的面积最大，最大值是．
【解析】先把参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程；
求出，，利用三角形面积公式和三角函数的性质求出结果．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．
23.【答案】证明：由柯西不等式易知，
因为，，都为正数，
所以，当且仅当时，等号成立；
证明：、、为正数，所以，
由可得，
当且仅当时取等号成立．
【解析】由柯西不等式证明即可；
由可得不等式左边大于等于，再由基本不等式可得证．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．
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