卷子答案网-一个不只有答案的网站扬中市重点中学2022-2023学年高三下学期数学测试7
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一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为 （ D ）
A． B．
C． D．
2．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则 （ A ）
A. a>0，4a＋b＝0 B. a<0，4a＋b＝0
C. a>0，2a＋b＝0 D. a<0，2a＋b＝0
3．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人参加西部扶贫，若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有
A. 60种 B. 34种 C. 31种 D. 30种 （ D ）
4．已知函数，若为锐角且，则的值为 （ D ）
A． B． C． D．
5．已知两个随机变量，其中，若，且，则 （ D ）
A. B. C. D.
6．已知，则的值为 （ B ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
7．已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.令，数列的前n项和为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ A ）
A. B. C. D.
8．若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是 （ B ）
A. B. C. D.
【详解】设，则恒成立，
由，令，则恒成立，
所以为增函数，令得，
当时，，当时，；
所以在递减，在递增，故在处取得最小值，
故最小值，因为，则
所以恒成立，得，又因为（当且仅当时等号成立）；所以 即 .故选：B
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（ BCD ）
A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
10．已知数列的前n项和为Sn，，若存在两项，，使得，则（ BD ）
A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列
C. D. 为定值
11．已知椭圆的焦距为，焦点为、，长轴的端点为、，点是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆的离心率为，则下列说法正确的是 （ ABD ）
A．若的周长为，则椭圆的方程为
B．若的面积最大时，，则
C．若椭圆上存在点使，则
D．以为直径的圆与以为直径的圆内切
12．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 （ABD）
A. 异面直线与所成的角为 B. 是平面的一个法向量
C. 二面角的正切值为 D. 正方体的外接球的体积为
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．小明的投篮命中率为，各次投篮命中与否相互独立.他连续投篮三次，设随机变量X表示三次投篮命中的次数，则_____ ______；____________.
14.已知数列的前项和为，且满足，．的通项公式为
15．已知存在，使得成立，则实数的取值范围是_____．
16．如图，在平面四边形中，，，，，则的值为______.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．在①，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角，，的对边分别为，，，且______（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分）
17．解：（1）若选①：，且，
所以，所以．
又，所以，所以，所以．
若选②：由正弦定理得，因为，
所以，即．
由，，所以，所以.
若选③：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，又，所以.
（2）因为是锐角三角形，，
所以，且，得由正弦定理得，
所以
因为，所以，所以，所以，
即得取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角函数的性质．在同时出现边角关系时常常利用正弦定理进行边角转化，化边为角或化角为边，需根据已知等式进行判断，目的是变形后易于求解．
18．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．
（1）若PB的中点为E，求证：平面PCD；
（2）若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．
18．解：（1）如图，取PC的中点F，连接EF，DF，
，F分别为PB，PC的中点，
，，
且，
且，
四边形ADFE是平行四边形，
，
平面PCD，平面PCD，
平面PCD．
（2）若是中点，作，
由底面ABCD为直角梯形且，，，
由侧面底面ABCD，面面，面，
∴在面ABCD的投影在直线上，又PB与底面ABCD所成的角为60°，
∴PB与底面ABCD所成角的平面角，则△为等边三角形.
∴以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，如下图示：
∴、、、，
则，，，
设平面BDP的法向量，
则，取，得，
设平面PCD的法向量，
则，取，得，
设平面PCD与平面PBD的夹角为，则，
平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为．
19．已知数列中，
（1）求证：是等比数列，求数列的通项公式；
（2）已知：数列，满足；①求数列的前n项和；
②记集合若M中含有5个元素，求实数λ的取值范围.
19．解：（1）证明：，且，
∴是首项为4，公比为4的等比数列.∴，；
（2）解：①由题意结合（1）有，
则，
，
两式相减有，∴
②化简，设，，
所以当时单调递增，在时单调递减，所以…，
又，，因为M中只有5个元素，
根据上述单调性的分析可知，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，
利用裂项相消法求和.
20．每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每箱内各有8个大小质地完全相同的球，甲箱内有3个红球，5个黄球，乙箱内有3个红球，4个黄球，1个黑球，摸奖环节安排在植树活动结束后，每位植树者植树每满25棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满40棵获得一次乙箱内摸奖机会，摸奖者每次摸两个球后放回原箱，摸得两个红球奖50元，两球颜色不同奖20元，摸得两黄球则没有奖金，为体现公平性，植树总数低于80棵的员工，只能选择甲、乙两个摸奖箱中的一个进行摸奖；植树总数不低于80棵的员工，可自由搭配甲、乙两箱内的摸奖次数．
（1）经统计，该公司此次植树活动共有200名员工参加，且植树棵数近似服从正态分布，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某位植树者获得一次甲箱内摸奖机会，设中奖金额为随机变量（单位：元），求的分布列；
（3）某人植树90棵，有三种摸奖方法，方法一：甲箱内摸奖三次；方法二：乙箱内摸奖两次；方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．请问：这位植树者选哪种方法所得奖金的期望值最大．
附：若，则，．
20．解：（1）由题意知，，
所以，估计植树的棵树在区间内的人数是68人．
（2）随机变量的所有可能取值为0，20，50，
则，，，
所以的分布列为：
0 20 50
（3）方法一：甲箱内摸奖三次，
由（2）得E，
所以，即方法一所得奖金的数学期望是．
方法二：乙箱内摸奖两次，
在乙箱中摸奖一次，设中奖金额为随机变量，
则随机变量的所有可能取值为0，20，50，
则，，
，
所以的分布列为：
0 20 50
所以，
所以，即方法二所得奖金的数学期望是．
方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．
，
即方法三所得奖金的数学期望是，
因为，所以选方法三所得奖金的期望值最大．
【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：
（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；
（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.
21．已知椭圆 的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过动点的直线交轴与点，交于点 (在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.
（ⅰ）设直线的斜率分别为，证明为定值；
（ⅱ）求直线的斜率的最小值.
21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c.由题意知，
所以.
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）（ⅰ）设，由M(0,m)，可得
所以直线PM的斜率，直线QM的斜率.此时.
所以为定值–3.
（ⅱ）设.直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=–3kx+m.
联立 整理得.
由，可得，所以.
同理.
所以，
，
所以由，可知k>0，
所以，等号当且仅当时取得.此时，
即，符号题意.
所以直线AB 的斜率的最小值为.
【考点】椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，基本不等式
【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到关于参数的解析式或方程是关键，易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错误百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分析问题、解决问题的能力等.
22．已知函数f（x）＝aln（x+1），g（x）＝xex（x＞﹣1）．
（1）当a＝1时，证明：f（x）≤x≤g（x）；
（2）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），若F（x）有极值，且极值为正数，求实数a的取值范围．
22．解：（1）证明：当a＝1时，f（x）＝ln（x+1），
令h（x）＝ln（x+1）﹣x，∴，令h'（x）＝0，得x＝0，
且当﹣1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）≤h（0）＝0，∴ln（x+1）≤x，即f（x）≤x，
令G（x）＝xex﹣x＝x（ex﹣1），当﹣1＜x＜0时，G（x）＞0，
当x≥0时，G（x）≥0，
∴当x＞﹣1时，G（x）≥0，即g（x）≥x，∴f（x）≤x≤g（x）．
（2）F（x）＝aln（x+1）﹣xex，，
当a≤0时，F'（x）＜0，F（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，F（x）无极值，舍去；
当a＞0时，令φ（x）＝a﹣（x+1）2ex，φ'（x）＝﹣（x+1）（x+3）ex＜0，
∴φ（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，
注意到φ（﹣1）＝a＞0，φ（a）＝a﹣（a+1）2ea＜a﹣a（a+1）2＜0，
∴存在唯一的x0∈（﹣1，a），使φ（x0）＝0，，
且当﹣1＜x＜x0时，φ（x）＞0，F'（x）＞0，F（x）单调递增；
当x＞x0时，φ（x）＜0，F'（x）＜0，F（x）单调递减，
∴F（x）在x＝x0处取极大值，即F（x）有极大值F（x0），
且，
∴，
令，，
令G'（x）＝0得x＝0，
∴当1＜x＜0时，G'（x）＜0，G（x）单调递减，
当x＞0时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，∴G（x）≥G（0）＝0，
∵G（x0）＞0，∴x0∈（﹣1，0）∪（0，+∞），此时，
令H（x）＝（x+1）2ex，H'（x）＝（x+1）（x+3）ex＞0，H（x）在（﹣1，+∞）↗，
∵x0∈（﹣1，0）∪（0，+∞），∴，
故实数a的取值范围为（0，1）∪（1，+∞）．扬中市重点中学2022-2023学年高三下学期数学测试7 姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则 （ ）
A. a>0，4a＋b＝0 B. a<0，4a＋b＝0
C. a>0，2a＋b＝0 D. a<0，2a＋b＝0
3．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人参加西部扶贫，若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有
A. 60种 B. 34种 C. 31种 D. 30种 （ ）
4．已知函数，若为锐角且，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知两个随机变量，其中，若，且，则 （ ）
A. B. C. D.
6．已知，则的值为 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
7．已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.令，数列的前n项和为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
8．若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（ ）
A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
10．已知数列的前n项和为Sn，，若存在两项，，使得，则（ ）
A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列
C. D. 为定值
11．已知椭圆的焦距为，焦点为、，长轴的端点为、，点是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆的离心率为，则下列说法正确的是 （ ）
A．若的周长为，则椭圆的方程为
B．若的面积最大时，，则
C．若椭圆上存在点使，则
D．以为直径的圆与以为直径的圆内切
12．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 （ ）
A. 异面直线与所成的角为 B. 是平面的一个法向量
C. 二面角的正切值为 D. 正方体的外接球的体积为
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．小明的投篮命中率为，各次投篮命中与否相互独立.他连续投篮三次，设随机变量X表示三次投篮命中的次数，则_____ ______；____________.
14.已知数列的前项和为，且满足，．的通项公式为 .
15．已知存在，使得成立，则实数的取值范围是___ __．
16．如图，在平面四边形中，，，，，则的值为___ ___.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．在①，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角，，的对边分别为，，，且______（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分）
18．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．
（1）若PB的中点为E，求证：平面PCD；
（2）若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．
19．已知数列中，
（1）求证：是等比数列，求数列的通项公式；
（2）已知：数列，满足；①求数列的前n项和；
②记集合若M中含有5个元素，求实数λ的取值范围.
20．每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每箱内各有8个大小质地完全相同的球，甲箱内有3个红球，5个黄球，乙箱内有3个红球，4个黄球，1个黑球，摸奖环节安排在植树活动结束后，每位植树者植树每满25棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满40棵获得一次乙箱内摸奖机会，摸奖者每次摸两个球后放回原箱，摸得两个红球奖50元，两球颜色不同奖20元，摸得两黄球则没有奖金，为体现公平性，植树总数低于80棵的员工，只能选择甲、乙两个摸奖箱中的一个进行摸奖；植树总数不低于80棵的员工，可自由搭配甲、乙两箱内的摸奖次数．
（1）经统计，该公司此次植树活动共有200名员工参加，且植树棵数近似服从正态分布，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某位植树者获得一次甲箱内摸奖机会，设中奖金额为随机变量（单位：元），求的分布列；
（3）某人植树90棵，有三种摸奖方法，方法一：甲箱内摸奖三次；方法二：乙箱内摸奖两次；方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．请问：这位植树者选哪种方法所得奖金的期望值最大．
附：若，则，．
21．已知椭圆 的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过动点的直线交轴与点，交于点 (在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.
（ⅰ）设直线的斜率分别为，证明为定值；
（ⅱ）求直线的斜率的最小值.
22．已知函数f（x）＝aln（x+1），g（x）＝xex（x＞﹣1）．
（1）当a＝1时，证明：f（x）≤x≤g（x）；
（2）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），若F（x）有极值，且极值为正数，求实数a的取值范围．
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