浙江省宁波市金兰教育合作组织2023-2024高二上学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）

2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考
高二年级数学学科试题
本卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
选择题部分（共60分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.
【详解】由题意，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即.
故选：D.
2. 如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：，
故选：A.
3. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的标准方程计算即可.
【详解】易知，故其焦点在纵轴上，坐标为.
故选：D
4. 已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件设，再根据条件可得，代入即可求解出结果.
【详解】设，由题知，，
所以，又，得到，代入，
解得，所以,
故选：B.
5. 已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. ，2， B. ，2， C. ，0， D. ，0，
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案.
【详解】解：向量，0，，，2， ，
则，， ，
所以向量在向量上的投影向量为
.
故选：C.
6. 如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】由方程表示双曲线，可得c=，
A，C中方程不表示椭圆，不合题意；
B中，不合题意；
D中的c，符合题意．
故选：D.
7. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】建系，求利用空间向量设两条直线上的点为，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
可得，
设，则，
可得，即，
故，
同理可得：，
则
，
当且仅当时，等号成立，
对，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当，即时等号成立，
即直线与之间的距离是.
故选：B
【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系处理问题的基本步骤：
（1）建立适合的坐标系并标点；
（2）将图形关系转化为数量关系；
（3）代入相应的公式分析运算.
8. 如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】图2中，设球心为，球与相切于点，可得，利用二倍角正切公式可得，由此可得，由可求得，得出离心率.
【详解】图2中，设球心为，球与相切于点，作出截面如图所示，
由题意知：，
，
,
又，，则，
又，则，
则椭圆的离心率为.
故选：A.
二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 如图，过焦点直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 以弦为直径的圆与准线相切 D. ，，三点共线
【答案】ACD
【解析】
【分析】AB.由抛物线的定义判断；C. 设过焦点的直线方程为，与抛物线联立，求得圆心和半径，利用直线与圆的位置关系判断；D，设，，由判断.
【详解】解：设过焦点的直线方程为：，，
由，得，
由韦达定理得，
则以AB为直径的圆的圆心为，
由抛物线的定义得，
则半径为，
圆心到准线的距离为，
所以以弦为直径的圆与准线相切，
设，，
因为，所以在直线OA上，
所以，，三点共线，
由抛物线的定义得，
如图所示：
则，
，则，
故选：ACD
10. 已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）
A. 恒过点 B. 若，则
C. 若，则或 D. 若不经过第三象限，则.
【答案】AC
【解析】
【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可.
【详解】A选项：,即，解得，所以直线过定点，故选项A正确；
B选项：若，则，解得，
当时，：，：，两直线重合，舍去；
当时，：，：，两直线平行，符合题意.
所以，故选项B错误；
C选项：若，则，解得或者，故选项C正确；
D选项：当时，直线：不过第三象限，满足题意；
当时，直线：不过第三象限，则
，解得，综上，故选项D错误；
故选：AC.
11. 若点是圆：上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若点是直线上的动点，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项令，则，再利用直线与圆有交点求得最值；B选项令，则，再利用直线与圆有交点求得最值；C选项根据P到点距离的最大值，即可求出的最大值；D选项根据当与直线垂直时，取得最小值进行求解；
【详解】圆：，圆心，半径
对于A选项，令，则.
因为点P在圆上，所以圆：与直线相交或相切，
故圆心C到直线的距离，即，解得，故A正确；
对于B选项，令，则.
因为点P在圆上，所以圆：与直线相交或相切，
故圆心C到直线的距离，即，解得，故B正确；
对于C选项，的几何意义是点P到点的距离的平方，
又，所以，故C错误；
对于D选项，圆心C到直线的距离，
当与直线垂直时，能取得最小值，
，故D正确.
故选：ABD
12. 如图，是底面圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面且，，点在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，平面
B. 记直线与平面所成角为，则
C. 存在点，使得平面与平面夹角为
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.
【详解】因为，，所以，又因为垂直于圆所在的平面，故以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
对于A，因为为中点，所以，，
所以，即，
又平面，所以平面，选项A正确；
对于B，因为点在线段上，设，则，，平面的一个法向量为，
所以，
所以，故选项B正确；
对于C，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以；设平面的一个法向量为，，
则，令，则，
所以；
所以，因为，
所以，而，
所以不存在点，使得平面与平面夹角为，故选项C错误；
对于D，，
因为，所以当时，取得最小值为，故选项D正确.
故选：ABD.
非选择题部分（共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知双曲线的方程是，则该双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】先化方程为标准方程，利用渐近线求法直接计算即可.
【详解】由，令，即双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
14. 已知点，，直线与线段相交，则的范围为___________.
【答案】，，
【解析】
【分析】
先求出的斜率和的斜率，可得的范围.
【详解】解：直线，即，
它经过定点，斜率为，
的斜率为，的斜率为，
直线与线段相交，
或，求得或，
故答案为：，，.
15. 如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，得到，，设，根据条件建立关系式，从而得到，即可求解.
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
由条件知，，，
因为直线的斜率为，又，
所以直线的斜率，
设点的坐标为，则，，
联立，解得，故
所以，，
故答案为：.
16. 已知椭圆，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.若，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设直线，，联立，消去，利用韦达定理以及的坐标关系列方程求解即可.
详解】设直线，，则，
联立，消去得，
，
，
又，，
，
即，
，解得.
故答案为：
四、解答题：（本题共6个小题，其中17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线过点，且直线的一个方向向量为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据方向向量及两直线垂直求斜率再根据点斜式写出直线，最后求交点即可；
（2）先根据点在线上得出直线方程，再求交点，最后根据两点式写出直线方程化简为一般式即得.
小问1详解】
因为，由，则，
直线的方程为即.
则，得顶点的坐标为.
【小问2详解】
设点，则，在上，
即，即
的方程为，
则，得的坐标为，
又，所以直线的方程为,即.
18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的菱形，侧棱，.
（1）求的长；
（2）求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】利用空间向量基底法，结合数量积运算法则即可得解.
【小问1详解】
因为底面是边长为2的菱形，侧棱，，
所以，，，
，，
又，
所以
.
【小问2详解】
以作为空间的一个基底，
则，，
所以
，
，
，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
19. 已知圆的圆心为，且圆______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①与直线相切；
②与圆：相外切；
③经过直线与直线的交点.
（1）求圆的方程；
（2）圆：，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）分别根据直线与圆相切、圆与圆外切、两点间距离公式求出半径即可；
（2）根据圆与圆相交的条件和圆的弦长公式即可求解.
【小问1详解】
设圆的半径为，
若选条件①，圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离是圆的半径，
即，
所以圆的方程为.
若选条件②，与圆：相外切，圆的圆心为，半径为2，
所以，所以，
所以圆的方程为.
若选条件③，经过直线与直线的交点，
由，得，所以，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
圆：的圆心为，半径为，
两个圆有公共弦，则，
即，解得，
由得两圆公共弦所在直线方程为
又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为
，且，
解得或，
又，所以.经检验符合题意.
故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2.
20. 如图，己知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）建立空间坐标系，计算各点坐标，计算平面的法向量，由，即可证明；
（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案.
【小问1详解】
以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，
由 ，分别是的中点，可得：
，
∴，
设平面的的法向量为，
则有：，
令，则，
∴，又平面，
∴平面.
【小问2详解】
设平面的的法向量为，
又
则有：，
令，则， 所以
又，
设直线与平面所成角为，
∴，
∴求直线与平面所成的角的正弦值为 .
21. 直线与椭圆交于两点，记的面积为.
（1）当，时，求的取值范围；
（2）当，时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或或或
【解析】
【分析】（1）联立方程求出坐标，表示出并求取值范围即可；
（2）联立方程，消元后借助韦达定理，弦长公式，三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
设点，，
由，解得，
所以，
所以，
因为，所以，故当时，，
所以.
【小问2详解】
设点，，
由得，
，，，
所以，
又点到直线的距离，
由，，得，
所以，
所以，即，
所以直线的方程为或或或.
22. 已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与，两点.点的坐标为，当点的坐标为时，点坐标为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
【答案】（1）
（2）点轨迹方程为，轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.
【解析】
【分析】（1）根据直线和双曲线相切求出a,b即可写出双曲线的标准方程；
（2）相关点法求出P点的轨迹方程即可.
【小问1详解】
设：
，，
，可得，
又因为直线：过，则，
所以：，
又因为与双曲线相切，所以，
，
，且，
即，
即，（1）
又因为点在双曲线上，所以，（2）
由（1）（2）式可得，
所以双曲线的标准方程为
【小问2详解】
，
是双曲线与直线的唯一公共点，
所以，即，（3）
解得，
即，其中
于是过点且与垂直的直线为，
可得，，，
所以
将（3）式代入可得：
即，其中，
所以，点的轨迹方程为，
轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考
高二年级数学学科试题
本卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
选择题部分（共60分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，MOA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. ，2， B. ，2， C. ，0， D. ，0，
6. 如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是
A.
B.
C.
D.
7. 定义：两条异面直线之间距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 如图1，用一个平面去截圆锥，得到截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 如图，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 以弦为直径的圆与准线相切 D. ，，三点共线
10. 已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）
A. 恒过点 B. 若，则
C. 若，则或 D. 若不经过第三象限，则.
11. 若点是圆：上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若点是直线上动点，则
12. 如图，是底面圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面且，，点在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，平面
B. 记直线与平面所成角为，则
C. 存在点，使得平面与平面夹角为
D. 的最小值为
非选择题部分（共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知双曲线的方程是，则该双曲线的渐近线方程为______.
14. 已知点，，直线与线段相交，则的范围为___________.
15. 如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为______.
16. 已知椭圆，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.若，则的值为______.
四、解答题：（本题共6个小题，其中17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线过点，且直线的一个方向向量为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程.
18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的菱形，侧棱，.
（1）求的长；
（2）求直线与所成角的余弦值.
19. 已知圆的圆心为，且圆______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①与直线相切；
②与圆：相外切；
③经过直线与直线的交点.
（1）求圆的方程；
（2）圆：，是否存在实数，使得圆与圆公共弦长度为2，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
20. 如图，己知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21. 直线与椭圆交于两点，记的面积为.
（1）当，时，求的取值范围；
（2）当，时，求直线的方程.
22. 已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与，两点.点的坐标为，当点的坐标为时，点坐标为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 浙江省宁波市金兰教育合作组织2023-2024高二上学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）