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西昌市 2022—2023 学年度上期期中检测
高二理科数学答案
一：选择题
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
号
答 C B D B C A D A B C A C
案
二：填空题
13: 3 14: 29
2
15: 16: x y + 2 = 0
2
三：解答题
3
17：解：（1）由l1 ⊥ l2，则 2(a 3) + 2a = 0, ∴ a = ......................(4分)2
（2）由l1 l2，则 a(a 3) 4 = 0,整理得(a 4)(a + 1) = o,
∴ a = 1或 a = 4 ......................(6分)
当 a = 4时，l1:x + 2y 5 = 0 与直线l2:x + 2y 5 = 0 重合，
故 a = 4（舍）∴ a = 1 ......................(8分)
当 a = 1时，l1:2x y 10 = 0 与直线l2:4x 2y + 5 = 0 平行，
直线l 52:4x 2y + 5 = 0 化简为 2x y + = 0，2
5
2+10∴ l l = 5 51与 2之间的距离为： ......................(10分)5 2
18：解：圆 C:x2 + y2 4y + 3 = 0 的标准方程为:x2 + (y 2)2 = 1，
则圆心 C(0,2),半径 r = 1 ......................(2分)
(1)因为直线 l与圆 C相交，则圆心 C到直线 l的距离 d < r ...................(4分)
∴ 2m 1 < 1,即 3m2 4m < 0,∴ 0 < m < 4 ......................(6分)
1+m2 3
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（2）因为Q为直线 l与 x轴的交点,∴ Q(1,0)，Q在圆外 ......................(7分)
当直线斜率不存在时，直线方程为 x = 1，
此时圆心到直线的距离为 1 = r，∴ x = 1为切线 ......................(9分)
当直线斜率存在时，设切线方程为 y = k(x 1)即 kx y k = 0,
2+k 3
由圆心到切线的距离 = 1解得 k = ,1+k2 4
则切线方程为 3x+ 4y 3 = 0
综上：过 Q作圆 C的切线的方程为
3x+ 4y 3 = 0或 x = 1. .....................(12分)
19:解：设 A( 1,2)关于直线 x 2y = 0 的对称点为 B(a,b),
因为 AB 关于直线 x 2y = 0 对称
a 1 b+2
故 AB 的中点 ( , )在直线上， a 2b 5 0 .....................(1分)
2 2
又由对称可得 AB b 2与直线垂直，故 = 2,∴ 2a + b = 0 .....................(2分)
a+1
联立解得 B(1, 2) .....................(4分)
又因为圆与 x 轴相切，故圆的半径 r = 2 .....................(5分)
圆的标准方程为(x 1)2 + (y + 2)2 = 4 .....................(6分)
x2 y2
（2）因为双曲线的焦点 x轴上，设双曲线的方程为 2 2 = 1(a > 0，b > 0)，焦距a b
设为 2c,因为焦距为 2 6,∴ c = 6,a2 + b2 = 6 ...............(7分)
∴双曲线的右焦点F2( 6,0),双曲线的渐近线方程为 bx ± ay = 0 ....................(9分)
因为双曲线的右焦点到渐近线的距离为 2，
6b
即 = 2,∴ b = 2 ， a2 = 4 ..................(11分)a2+b2
x2 2∴双曲线的标准方程为 y = 1 ...........................(12分)
4 2
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20 ： 解 ：（ 1 ） 因 为 P 为 椭 圆 上 的 动 点 , PF2 的 最 大 值 为 3 , 则
a + c = 3 ...........(1分)
又由椭圆的长轴为 4,则 2a = 4,∴ a = 2,c = 1,
由 a2 = c2 + b2 ，∴ b = 3 ...........(4分)
x2 y2∴椭圆的方程 + = 1 ...........(5分)
4 3
x2 y2
（2）由（1）知椭圆的方程 + = 1，圆 C:x2 + y2 2x = 0的圆心 C为(1,0)，
4 3
则过点 C且斜率为 k的直线 l的方程为 y = k(x 1) .............................(7分)
因为直线 l 和椭圆交于 AB 两点，设 A(x1,y1),B(x2,y2),代 l 入椭圆得(3 + 4k2)x2
2
x1 + x2 =
8k
2 2 28k x + 4k 12 = 0,∴ 3+4k ........................ .(9分)2
x x = 4k 121 2 3+4k2
由 AB = (1 + k2) (x x )2 = 161 2 , ........................ .(10分)5
12(1+k2∴ ) = 16,解得 k =± 3 ........................ .(12分)
3+4k2 5
21：解：(1)因为双曲线的离心率为 2，
∴设双曲线的方程为x2 y2 = a2, .................. .(1分)
代入点(4，－ 10),解得a2 = 6,∴双曲线的方程为x2 y2 =6 ..................... .(4分)
(2)由直线 L过定点 C(3,0)，当斜率为 0时，符合条件，
故设直线 L为：x = my + 3 ..................... .(5分)
设 A(x1,y1),B(x2,y2),代直线 L入双曲线得
y1 + y =
6m
2 2
(m2 1)y2 + 6my + 3 = 0 ∴ m 1 ..................... .(7分)
y1y2 =
3
m2 1
x y y y设 轴上的点 N(t,0) ∴ k = 1 = 1AN ,同理k 2BN = ..................(8分)x1 t my1+3 t my2+3 t
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由kAN + kBN = 0，则2my1y2 + (3 t)(y1 + y2) = 0 ..................... .(9分)
即 6m(t 2) = 0 .................... .(11分)
要对任意的 m都成立，则 t = 2
∴在 x轴上存在点 N(2，0)，使得∠ANC=∠BNC ......................(12分)
p
22：解：因为直线 x = 1为抛物线的准线, = 1,p = 2, ..................... .(2分)2
∴抛物线的方程为y2 = 4x ..................... .(3分)
(2)由 P(1,2)可知 P 在抛物线上，由 A,B为抛物线上的不同两点,且 PA与 PB垂直，
当直线AB无斜率时，设直线AB为 x=t此时A（t, 2 t ）,B（t, 2 t ）由PA与 PB垂直 ∴
=0，解得 t=1(舍)或 t=5
PA .PB
当直线 AB 有斜率时，设直线 AB 的方程为 y = kx + b ..................... .(4分)
设 A(x1,y1),B(x2,y2),代直线 AB 入抛物线得
x + x = 4 2kb
2 1 2 2k x2 + (2kb 4)x + b2 = 0 ∴ k2 ..................... .(7分)
x1x
b
2 = k2
PA与 PB垂直 ∴ =0(x1 1)(x2 1) + (y1 2)(y 2) = 0.............. .(8分)PA .PB 2
整理得：5k2 + (6b 8)k + b2 4 = 0,(k + b 2)(5k + b + 2) = 0
故 k + b 2 = 0 或 5k + b + 2 = 0， ..................... .(9分)
当 k + b 2 = 0 时,
直线 AB 为：y = kx k + 2,过定点(1,2)，与 P 重合(舍 ) ..................... .(10分)
当 5k + b + 2 = 0 时，
直线 AB 为 y = kx 5k 2，过定点(5, 2) ..................... .(11分)
故直线 AB过定点(5, 2) ..................... .(12分)
综上所述直线 AB过定点(5, 2)
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