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第二十七章 相似(一)达标测评卷
一、选择题(本题共计10 小题，每题3 分，共计30分)
1.下列命题错误的是 ( )
A.两个全等的三角形一定相似
B.两个菱形一定相似
C.两个正方形一定相似
D.两个正六边形一定相似
2.下列两个图形，一定相似的是 ( )
A.两个等腰三角形 B.两个直角三角形
C.两个等边三角形 D.两个矩形
3.如图,D,E 分别为 AB,AC 上的两点,且 AB =12,则 BD 的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则 为 ( )
5.如图，小正方形的边长均为1，则 A，B，C，D四个选项中的三角形(阴影部分)与 相似的是 ( )
6.如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 的是 ( )
A.∠C=∠AED
C.∠B=∠D
7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上， 连接AE交 BD 于点 F,则 的面积与 的面积之比为 ( )
A.9:16 B.3:4 C.9:4 D.3:2
8.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何 ”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图获得，则井深为 ( )
A.1.25 尺 B.6.25 尺 C.57.5 尺 D.62.5 尺
9.按如下方法，将 的三边缩小到原来的 如图，任取一点 O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点 D,E,F,得 则下列说法错误的是 ( )
A.点 O 为位似中心且位似比为2：1
B.△ABC 与. 是位似图形
C.△ABC与. 是相似图形
D.△ABC与 的面积之比为4∶1
10.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高 2m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m)是( )(参考数据：
-A.0.62-m B.0.76 m C.1.24 m D.1.62 m
二、填空题(本题共计5 小题，每题3 分，共计15分)
11.如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',若∠B=60°,∠C =85°,∠A'=115°,则
∠D= .
12.若 则 的值是 .
13.已知 且 则△ABC与 的面积比为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE 是位似图形，则它们位似中心的坐标是 .
15.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则a，b的大小关系式为 .
三、解答题(本题共计7 小题，共计75 分)
16.(9分)已知 且 求k 的值.
17.(10分)如图,在 中, ,E,D 分别是BC,AC上的点,且 求证：
18.(10 分)如图,在 中,点C,D在边 AB上, CD,∠APB=120°.
(1)试说明 与 相似；
(2)若 ，请你求出y与x之间的函数关系式.
19.(11 分)已知O 是坐标原点,A,B 的坐标分别为(3,1),(2,-1),
(1)画出 绕点 O 顺时针旋转90°后得到的
(2)在 y轴的左侧以 O 为位似中心作 的位似图形 ，使新图与原图相似比为2∶1；
(3)求出. 的面积.
20.(11分)一块材料的形状是直角三角形 ABC， 边 ，把它加工成正方形零件如图所示，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
(1)求证:
(2)求高 AD 的长;
(3)求这个正方形零件的边长.
21.(12 分)如图,在 中, 点P从点A开始沿 AB边向点 B以 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动，如果P,Q 分别从A,B同时出发,设移动时间为t(s).
(1)当t为多少时, 的面积是
(2)当t为多少时, 与 是相似三角形
22.(12分)如图,在 中, 点 M 在边 AB上,以 的速度由点 B 出发沿 BA向点A匀速运动；同时点 N 在边 AC上，以 的速度由A出发沿 AC向点 C 匀速运动.当点 M 到达A点时，点M，N同时停止运动.连接MN，设点M运动的时间为t(单位：s).
(1)求AB的长;
(2)当t为何值时, IN 的面积为△ABC 面积的
(3)是否存在时间t，使得以 A，M，N 为顶点的三角形与 相似 若存在，求出时间 t 的值；若不存在，请说明理由.
1-10DCBCB DCACB
11.100° 12. 13. 14.(4,2) 15. a=2b
16.解:
又
∴x=γ=z②,
∴由①②,解得k=2.
17.证明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ B=∠C=45°,
∵ ∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,∠AED=45°,
∴∠BAE=∠CED,
∴△ABE∽△ECD .
18.解:(1)∵PC=PD=CD,
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,
∴ ∠ACP=∠PDB=120°,
· ∠A + ∠APC = 60°, ∠APC + ∠BPD =∠APB-∠CPD=120°-60°=60°,
∴∠A=∠BPD,
∴△APC∽△PBD;
(2)由(1)得△APC∽△PBD,则
即
19.解:(1)△OA B 如图所示:
(2)△OA B 如图所示:
20.(1)证明:∵ 四边形 EFHG 是正方形,
∴EF∥BC,∠B=∠AEF,
又∠BAC 为公共角,
∴ △AEF∽△ABC;
(2)解:∵∠BAC=90°,
解得AD=48;
(3)解：设这个正方形零件的边长是 x mm，∵ EF∥BC,
即
解得
答：这个正方形零件的边长是
21.解:(1)由题意,得 即 答:当t为3秒时,△PBQ的面积为9 cm ;(2)设经过t秒钟,△PBQ与△ABC 相似,∵∠B=∠B,
第一种情况：当 时,△PBQ 与△ABC相似，即 解得t=3;
第二种情况：当 时,△PBQ 与△ABC相似，即 解得t=1.2,
答:当t为3 秒或 1.2 秒时,△PBQ 与△ABC相似.
22.解:(1)∵Rt△ABC中,
∴AC=12 cm,
(2)作ME⊥AC于点 E,
由题意,得BM=2t cm,AN=t cm,
则
即
∴△AMN的面积
△ABC的面积 由题意，得 化简得 解得
∴当t为2秒或 秒时,△AMN 的面积为△ABC 面积的 ;
(3)存在时间 t，使结论成立.
①当△AMN∽△ABC时, 即 解得
②当△AMN∽△ACB 时, 即 解得
∴当t为 秒或 秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似.
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