卷子答案网-一个不只有答案的网站眉山市东坡区2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学参考答案
1-8 、D C D B C C B D
9 、CD
10、BD
11、ABC
12、BC
13、10.2/
0.8784
16、
17、（10分）
解：(1)16种
，{甲分得1号卡，乙分得1号卡}；
不独立
18(12分)、
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解；
（2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面.
【详解】（1）四棱柱中，，
因为，
所以
；
（2）设（不为0），
，
则共面且有公共点，则四点共面；
19．(1)
(2)这种游戏规则不公平，理由详见解析
【分析】(1)列出摸球结果（a，b）全部可能的结果，再找出满足的结果，最后根据古典概型的概率计算公式可得；
(2) 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，再分别计算和，就可判断.
【详解】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，
其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得；
（2）这种游戏规则不公平，理由如下：
设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，
由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个，
由古典概型的概率计算公式可得，∴，
∵，故这种游戏规则不公平．
20．(1)1；
(2).
【分析】（1）求出随机选取1个氧元素是的概率，再利用对立事件概率公式计算作答.
（2）对给定的，，进行编号，列举出选取2个氧元素的所有结果，再借助古典概率公式计算作答.
【详解】（1）依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是的概率，则有，解得n=1，
所以n=1.
（2）记3个分别为a，b，c，2个分别为x，y，1个为m，从中随机选取2个，所有的情况为：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种，它们等可能，
其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有，，，，共4种，其概率为，
所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.
（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.
【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底，
因为，，且，
则，
，
所以
.
（2）由（1）知，，则，
又，所以向量与夹角的余弦值.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求得答案；
（2）确定甲获得冠军的比赛情况，求得每种情况的概率，即可求得答案；
（3）分类讨论乙的决赛对手是谁，求出每种情况下的概率，根据互斥事件的概率加法公式，即得答案.
【详解】（1）由题意知乙获仅参加两场比赛连负两场，即第1、4场比赛皆负，
概率为；
（2）甲要获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
故甲获得冠军的概率为；
（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有2种情况：
甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜；
所以甲乙在决赛第二次相遇的概率为；
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，
两人参加的比赛结果有2种情况：
乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜；
同时要考虑甲在第4场和第5场的结果，
故乙丙在第3场和第6场相遇的概率为，
若乙的决赛对手是丁，情况和丙一样，
故乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为.眉山市东坡区2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题
1．若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，则抽出一本非中文书的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A． B． C． D．
4．在四面体中，，点在棱上，且，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A． B． C．4 D．2
7．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．必然事件的概率为0
B．事件是一个基本事件
C．随机事件A的概率满足
D．每一个随机事件都是样本空间的一个子集
10．如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且，，则（ ）
A . B．
C． D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段AC，上的动点， ，，且.记与所成角为，与平面所成角为，则（ ）
A．当时，四面体的体积为定值
B．当时，存在，使得平面
C．对于任意，，总有
D．当时，在侧面内总存在一点P，使得
12．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A． B．事件与互斥
C． D．事件与对立
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题
13．如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 .
14．已知为空间的一个单位正交基底，且向量， ，则向量用坐标形式表示为 ．
15．四种电子元件组成的电路如图所示，电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率为 .
16．已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是 .
四、解答题
17．把标号为1、2、3、4的四张卡片分给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张．设A：甲分得1号卡片；B：乙分得1号卡片．
(1)写出具体样本空间
(2)求、；
(3)A与B是否相互独立，并说明理由。
18．在四棱柱中，，．
(1)当时，试用表示；
(2)证明：四点共面；
19．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢．
(1)求的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．
20．科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为，，，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为占99.759%，占0.037%，占0.204%．现有3个，2个，n个，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是的概率为．
(1)求n；
(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率．
21．已知在平行六面体中，，，且.
(1)求的长；
(2)求向量与夹角的余弦值.
22．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
(2)求甲获得冠军的概率；
(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．
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