卷子答案网-一个不只有答案的网站周至县第六中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题（卷）
注意事项：
1.考试时间120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.
3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设，，且，则等于（ ）
A. B.1 C. D.2
2.若直线和直线平行，则的值为（ ）
A.1 B. C.1或 D.
3.已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.135°
4.在空间直角坐标系中，点.关于平面的对称点为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
6.圆与圆的公切线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
7.唐代诗人李颀的《古从军行》中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为.若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线，与，所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.0
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若空间向量，满足，则
B.在正方体中，必有
C.若空间向量，，满足，，则
D.空间中，，，则
10.下列说法正确的是（ ）
A.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程（）表示
B.方程（）表示的直线的斜率一定存在
C.直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D.经过两点，（）的直线方程为.
11.已知直线：和圆：，则以下判断中正确的是（ ）
A.直线恒过定点 B.圆心到直线的最大距离是
C.直线与圆相交 D.若，直线被圆截得的弦长为4
12.设直线：，：，下列说法正确的是（ ）
A.当时，直线与不重合 B.当时，直线与相交
C.当时， D.当时，
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.圆关于直线对称的圆的标准方程为______.
14.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______.
15.直线与圆：相交于，两点，则面积的最大值为______.
16.已知圆与圆外切，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）求满足下列条件的直线方程.
（1）直线过点，且与直线平行；
（2）直线过点，且与直线垂直.
18.（12分）已知圆：，直线：（）.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）判断直线与圆的位置关系；
（3）当时，求直线被圆截得的弦长.
19.（12分）已知圆：和圆：.
（1）判断圆和圆的位置关系；
（2）过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程.
20.（本题共12分）如图，平面，四边形是正方形，，.请用空间向量的知识解答下列问题：
（第20题图）
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（12分）平面直角坐标系中，直线：，设圆经过，，圆心在上.（1）求圆的标准方程；
（2）设圆：上存在点，满足过点向圆作两条切线，，切点为，，四边形的面积为10，求实数的取值范围.
22.（12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点在（1）的轨迹上运动，点为的中点，求点的轨迹方程；
（3）若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围.
周至县第六中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题参考答案
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. A 2. A 3. D 4. B 5. C 6. C 7. D 8. C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. BC 10. BD 11. ABC 12. BC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 14.6 15.2 16.4
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）解：（1）由题意，可设所求直线的方程为，
因为点在直线上，可得，解得，
故所求直线的方程为；
（2）由题意，可设所求直线的方程为，
因为点在直线上，可得，解得.
故所求直线的方程为.
18.（1）证明：直线的方程可化为，
又，∴，解得，
∴直线恒过定点.
（2）圆心，，
∴点在圆内，从而直线与圆相交（无论为何实数）.
（3）当时，直线的方程为，圆心到直线的距离.
∴此时直线被圆截得的弦长为.
19.（1）因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
所以圆和圆的圆心距，所以圆与圆相离.
（2）设切线的方程为：，即，
所以到的距离，解得.
所以切线的方程为或
20.【考点：空间向量应用——线面位置关系证明、求线面角】
解：（1）以为坐标原点，分別以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
∴，，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）由（1）知，，，
易证平面，则平面的一个法向量为，
设南线与平面所成角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
21.（1）设圆的标准方程为，
因为圆经过，，圆心在上，
所以有，即圆的标准方程；
（2）∵四边形的面积10，而四边形是由两个全等的直角三角形组成，
∴的面积为5，即，又，∴，
∴，∴动点的轨迹为以为圆心，以5为半径的圆，
即点在圆：.
又∵点在圆：上，
∴圆与圆有公共点.
∴，即，解得.
∴实数的取值范围为.
22.（12分）解：（1）设，因为，则，
化简得：，故点的轨迹方程为；
（2）设，因为点为的中点，所以点的坐标为.
将代入中，得到，
所以点的轨迹方程为；
（3）因为点在（1）的轨迹上运动，
所以，变形为，
即点是圆心为，半径为2的圆上的点，
则表示的几何意义为圆上一点与定点连线的斜率，如图：
当过的直线与四相切时，取得最值，设，
则由点到直线距离公式可得：，
解得：或，
故的取值范围是.
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