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青岛市崂山区重点中学2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试卷
2023.11
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．第Ⅰ卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上．第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上．
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，则（
A． B．{0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
2．下列各组函数表示同一函数的是（）
A． B．
C． D．
3．“成立”是“成立”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
4．水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度与时间的函数关系图象是（）
A． B．
C． D．
5．已知函数则（）
A．1 B．2 C．4 D．5
6．已知实数，则下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
7．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值等于（）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．函数在区间上的值域为，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法中正确的有（）
A．命题，，则命题的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“，”的是真命题
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
10．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义内的任意，．当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下四个函数是“理想函数”的是（）
A． B．
C． D．
11．已知正数a，b满足，则（）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为2
12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的有（）
A．
B．的单调递增区间为（－2，0），
C当时，
D．的解集为
第Ⅱ卷
三．填空题（本大题共小题，每小题5分，共20分）
13．若幂函数的图像经过点，则f（4）＝______．
14．______．
15．已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是______．
16．若，则的最小值为______．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合．
（1）若a＝3，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数
（1）若的解集为，求a的值；
（2）若，求不等式的解集．
19．（12分）设矩形ABCD（）的周长为24cm，把沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设cm，cm．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求△ADP的最大面积及相应x的值．
20．（12分）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，有．
（1）求函数在上的解析式，并用定义证明在上的单调性；
（2）解关于x的不等．
21．（12分）已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
22．（12分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数．
（1）当m＝1，n＝0时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围；
（3）若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围．
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数学参考答案
1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．C 7．B 8．B
9．AD 10．BD 11．AB 12．BCD
13． 14． 15． 16．24
17．（1），
当a＝3时，，，
∴；
（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，
∵，∴或，解得
∴实数a的取值范围是[0，2]．
18．（1）因为的解集为，
所以方程的两根为－2和，且a<0．
所以，解得或．
（2）因为a>0，所以不等式，即，
当时，，解得，即不等式的解集为；
当时，，解得，即不等式的解集为；
当a＝1时，原不等式即，解得x＝1，即不等式的解集为．
综上：当时式的解集为，
当时不等式的解集为，
当a＝1时不等式的解集为．
19．（1）设，则，
∵，
∴，解得，
∴，
由题意可知，，
则，
在△ADP中，由勾股定理可得，
故，
故y与x之间的函数关系式为．
（2），当且仅当即时，等号成立，
故当时，△ADP的最大面积为
20．（1）函数是R上的偶函数，当时，
当时，，因此，
证明：，，，
由得，则，即，
所以函数在上的单调递减．
（2）由（2）知，函数在上的单调递减，而是R上的偶函数，
则函数在上的单调递增，不等式
，
解得或，所以解集为
21．设重组后，该企业年利润为y万元．
当待岗人员不超过1%时，由，
则；
当待岗人员超过1%且不超过5%时，由，得，
则，
综上，且，
当且时，有，
当且仅当，即x＝16时取等号，此时y取得最大值，为8840.64；
当且时，函数为减函数．
所以．
综上，当x＝16时y有最大值8840.64万元，即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗．
22．（1）解：当时，，
设为不动点，因此，
解得或，所以－2，4为函数的不动点．
（2）因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
所以且恒成立．
即对于任意，恒成立
令，
则，解得．
（3）因为，
所以，
设，因为，所以，
由P函数性质得在（3，5）上单调递增，
所以，，
所以，所以
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