卷子答案网-一个不只有答案的网站永川北山中学校2023-2024学年高二上学期10月月考
数学学科试题
注意事项：
1.考试时间：120分钟，满分：150分.试卷共4页.
2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷 草稿纸上答题无效.
3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂黑.需要书写的地方一律用0.5mm签字笔作答.
4.答题前，务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡规定的位置上.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知点，则直线的斜率是（ ）
A. B. C.1 D.-1
2.已知，且，则（ ）
A. B.2 C.-2 D.8
3.直线在轴上的截距为（ ）
A.2 B.-2 C.-3 D.3
4.已知直线经过点，平面的一个法向量为，则（ ）
A. B. C. D.与相交，但不垂直
5.已知圆的方程为，则圆的半径为（ ）
A.3 B. C. D.4
6已知点，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.菱形的边长为为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，若四棱锥的体积为，点为的中点，则到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.关于直线，下列说法正确的有（ ）
A.过点 B.斜率为
C.倾斜角为 D.在轴上的截距为1
10.若构成空间的一个基底，则下列向量可以作为空间的另一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，
C.直线过定点，直线过定点
D.当平行时，两直线的距离为
12.在长方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.平面
C.平面
D.直线和所成角的余弦值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线和的交点的坐标为__________.
14.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为的中点，点在上，若，则__________.
15.已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为__________.
16.如图，在平行六面体中，为的中点，若该六面体的棱长都为2，，则__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.已知的三个顶点分别为.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
18.如图，在直三棱柱中，.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.
19.已知圆经过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若平面上有两个点，点是圆上的点且满足，求点的坐标.
20.如图，四边形是边长为2的菱形，，将沿折起到的位置，使.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.已知直线过点.
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求当（为坐标原点）面积的最小值，直线的方程..
22.如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且.
（1）证明：平面.
（2）是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
永川北山中学校2023-2024学年高二上学期10月月考
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B B B B D A A BC CD ACD ACD
6.D 【解】如图所示：
，
由图象知：当的斜率不存在时，直线与线段相交，
故的斜率的取值范围为.故选：D.
7.A 【解】连接，因为四边形为菱形，且
，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，所以
，因为平
面，所以平面，
因为菱形的边长为4，所以
，
所以直角梯形的面积为，
设四棱锥的高为，则，得，
所以，所以平面，
所以以为原点，所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，则
，所以，
所以
所以，
所以到直线的距离为，故选：A
8.【详解】平面的方程为，
平面的一个法向量为，
同理，可得平面的一个法向量为
，平面的一个法向量为
.设平面与平面的
交线的方向向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.故选：A.
11.ACD 【详解】对于，当时，那么直线为，
直线为，此时两直线的斜率分别为和，
所以有，所以，故A选项正确；
对于，当时，那么直线为，
直线为，此时两直线重合，故B选项错误；
对于，由直线，整理可得：
，故直线过定点，直线：
，整理可得：
，故直线过定点，故C选项正确；
对于，当平行时，两直线的斜率相等，即
，解得：或，当时，两直
线重合，舍去；当时，直线为为
，此时两直线的距离，
故D选项正确.故选：ACD.
12.ACD 【详解】A.如图所示，因为，所以四边形是正方形，所以，
又因为几何体为长方体，所以平面，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以，故结论正确；
B.如图所示，假设平面，因为平面，所以，
显然不成立，故假设错误，所以结论错误；
C.如图所示，连接，由条件可知，所以，
又因为，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，故结论正确；
D.如图所示，连接，因为，所以和所成角即为或其补角，
由条件可知：，所以，
故结论正确.故选：ACD.
13 14 15 16
2 或
14.2 【解】连接，因为为中点，所以，
由圆锥性质可知平面，所以两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），
则.
设，则.
因为，所以，解得，故.
故答案为：2
16.在平行六面体中，令，显然不共面，两两
夹角为，因为为的中点，则，
而，
所以.
17.（1）边所在直线的方程为：
（2）边上的高所在直线的方程为：
18.（1）建立直角坐标系，其中为坐标原点.依题意得，因为
，所以.
（2）设是平面的法向量，由得
所以，令，则，
因为，所以到平面的距离为.
19.（1）圆心在直线上，设圆心，已知圆经过点，则由，
得解得，所以圆心为，
半径，所以圆的方程为；
（2）设在圆上，，又，
由可得：，化简得，
联立解得或.
20.【分析】（1）取中点，根据二面角的定义或通过证明平面来证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）如图，取中点，连接.
因为四边形是边长为2的菱形，，所以是边长为2的正三角形，
因为是中点，所以，
因为，所以，同理可得，因为，
所以，则，由二面角定义可得平面平面.
或：又因为平面平面，
所以平面，因为，所以平面平面.
（2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
由得，
令得，则，
设直线与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.（1）或（2）的方程为
【解】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得，
所以所求直线方程为，即.综上可得，所求直线方程为：或.
（2）依题意，设点，直线的方程为，
又点在直线上，于是有，
利用基本不等式，即，当且仅当时等号成立，，即的面积的最小值为12，此时的方程为.
22.（1）证明见解析；（2）存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是.
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