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第六节 二次函数的图象与性质
基础题
1. (2023沈阳)二次函数y＝－(x＋1)2＋2图象的顶点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. (2023广西)将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是( )
A. y＝(x－3)2＋4
B. y＝(x＋3)2＋4
C. y＝(x－3)2－4
D. y＝(x＋3)2－4
3. (2023兰州)已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是( )
A. 对称轴为直线x＝－2
B. 顶点坐标为(2，3)
C. 函数的最大值是－3
D. 函数的最小值是－3
4. 若点A(2，y1)，B(4，y2)，C(－1，y3)在抛物线y＝－(x－1)2＋3上，则y1，y2，y3大小关系是( )
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3
C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
5. (2023株洲)如图所示，直线l为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是( )
A. b恒大于0 B. a，b同号
C. a，b异号 D. 以上说法都不对
第5题图
6. (2023安徽)已知反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为( )
第6题图
7. (2023南充)若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是( )
A. (m，n＋1) B. (m＋1，n)
C. (m，n－1) D. (m－1，n)
8. (2023陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－m(m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有( )
A. 最大值5 B. 最大值
C. 最小值5 D. 最小值
9. (2023郴州)已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝________．
10. (2023包头)已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a>0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为________．
11. [满足条件的结果开放](2023上海)一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是__________．
12. (人教九上P40第1题改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，它的图象与x轴的一个交点坐标是(－1，0)，那么另一个交点坐标是________，抛物线的解析式为________．
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
13. (2023北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)上任意两点．设抛物线的对称轴为x＝t.
(1)若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
(2)若对于0
(1)当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当－1≤x≤3，求y的取值范围；
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
拔高题
15. (2023台州)抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2<0，则直线y＝ax＋k一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
16. (2023衡阳)已知m>n>0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
18. (2023杭州)设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a>0，m，k是实数)，则( )
A. 当k＝2时，函数y的最小值为－a
B. 当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C. 当k＝4时，函数y的最小值为－a
D. 当k＝4时，函数y的最小值为－2a
19. (2023福建)已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a>0)经过A(2n＋3，y1)，B(n－1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1
1. B 【解析】∵y＝－(x＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)，∴顶点在第二象限．
2. A 【解析】把y＝x2向右平移3个单位，得y＝(x－3)2，再向上平移4个单位，得y＝(x－3)2 ＋4.
3. C 【解析】∵y＝－3(x－2)2－3，∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－3)，∵－3<0，∴函数的最大值为－3.
4. C 【解析】∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．∵1＜2＜4，∴y1＞y2，根据离对称轴的远近，可知y1＞y3＞y2.
5. C 【解析】∵直线l为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴，∴对称轴为直线x＝－>0，当a<0时，则b>0，当a>0时，则b<0，∴a，b异号．
6. A 【解析】由图象可知反比例函数图象经过点(1，b－1)，∴k＝b－1，∵b－1＞1，∴b>2，∴k－1＝b－2>0.在函数y＝x2－bx＋k－1中，当x＝0时，y＝k－1>0，B，C选项错误；当x＝1时，y＝1－b＋k－1＝1－(k＋1)＋k－1＝－1<0，D选项错误，A选项符合题意．
7. D 【解析】由题意得，抛物线y＝a(x＋1)2是由抛物线y＝ax2沿x轴向左平移一个单位得到的，设抛物线平移后，点P的对应点为点P′，∴点P′在抛物线y＝a(x＋1)2上，∵点P(m，n)，∴点P′(m－1，n)．
8. D 【解析】∵二次函数的图象过点(0，6)，∴m2－m＝6，解得m1＝3，m2＝－2，∵二次函数的对称轴在y轴左侧，∴－＜0，即m＞0，∴m＝3，∴二次函数的表达式为y＝x2＋3x＋6＝(x＋)2＋≥，∵a＝1>0，∴该二次函数有最小值.
9. 9 【解析】方法一：因为抛物线与x轴有且只有一个交点，则一元二次方程x2－6x＋m＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(－6)2－4m＝0，解得m＝9；方法二：因为抛物线与x轴有且只有一个交点，则抛物线y＝x2－6x＋m的顶点(3，m－9)在x轴上，所以m－9＝0，即m＝9.
10. 2 【解析】∵y＝－ax2＋2ax＋3的图象经过点P(m，3)，∴3＝－am2＋2am＋3，化简得－am2＋2am＝0，－am(m－2)＝0，∵a>0，解得m1＝0，m2＝2，∵m≠0，∴m＝2.
11. y＝－x2＋1(答案不唯一) 【解析】由题意得b＝0，a<0，c>0，∴这个二次函数的解析式可以是y＝－x2＋1.
12. (3，0)，y＝－x2＋2x＋3 【解析】由图表可知，另一个与x轴交点坐标为(3，0)，将(－1，0)，(0，3)，(1，4)代入y＝ax2＋bx＋c中得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
13. 解：(1)∵x1＝1，x2＝2，
有y1＝y2，
∴a＋b＋c＝4a＋2b＋c，
∴3a＋b＝0，
∴＝－3.
∵对称轴为直线x＝－＝，
∴t＝；
(2)∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴<<，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴(x1，y1)离对称轴更近，则(x1，y1)与(x2，y2)的中点在对称轴的右侧，
∴＞t，即t≤.
14. 解：(1)①当b＝4，c＝3时，
y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，
∴顶点坐标为(2，7)；
②∵顶点坐标为(2，7)，抛物线开口向下，
∴当－1≤x＜2时，y随x的增大而增大，
当2＜x≤3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y有最大值7.
又2－(－1)>3－2，
∴当x＝－1时，y取最小值－2；
∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7；
(2)∵当x≤0时，y的最大值为2，当x>0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴直线x＝在y轴的右侧，
∴b>0，
∵抛物线开口向下，当x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵＝3，
∴b＝±2，
∵b>0，∴b＝2，
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋2.
15. D 【解析】∵抛物线y＝ax2－a与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，令ax2－a＝kx，整理得ax2－kx－a＝0，∴x1＋x2＝＜0，∴k>0，a<0或k<0，a>0，当k>0，a<0时，y＝ax＋k过第一、二、四象限；当k<0，a>0时，y＝ax＋k过第一、三、四象限，∴y＝ax＋k一定过第一、四象限．
16. B 【解析】关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝m的交点的横坐标，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝n的交点的横坐标，如解图，由图可知，x1
17. B 【解析】∵抛物线y＝－x2＋bx－b2＋2c的对称轴为直线x＝－＝－＝b，∵抛物线经过A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)两点，∴＝b，即c＝b－1，∴y＝－x2＋bx－b2＋2b－2，∵抛物线与x轴有交点，b2－4×(－)×(－b2＋2b－2)≥0，即b2－4b＋4≤0，即(b－2)2≤0，∴b＝2，c＝b－1＝2－1＝1，∴2－3b＝2－6＝－4，4b＋c－1＝8＋1－1＝8，∴AB＝4b＋c－1－(2－3b)＝8－(－4)＝12.
18. A 【解析】令y＝0，即a(x－m)·(x－m－k)＝0，解得x1＝m，x2＝m＋k，∴抛物线y＝a(x－m)(x－m－k)＝0与x轴的两交点坐标为(m，0)(m＋k，0)，∴对称轴为直线x＝＝m＋k.∵a＞0，∴当x＝m＋k时，ymin＝a(m＋k－m)(m＋k－m－k)＝－ak2，当k＝2时，ymin＝－a，当k＝4时，ymin＝－4a.
19. －1
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