卷子答案网-一个不只有答案的网站2024 届高三联考数学（文科）
参考答案
一． 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A C C A B B C D A D
二、填空题
a = 2n+1
13．2 2 14．0 15． 5. 16． n
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17. （本小题满分 12 分）
2
设函数 f (x) = cos(2x + ) + sin2 x .
2 4
（1）求函数 f (x) 在区间[- , ]上的最大值和最小值；
12 3
1
（2）设函数 g(x) 对任意 x R ，有 g(x + ) = g(x) ，且当 x [0, ]时， g(x) = f (x) ；
2 2 2
求函数 g(x) 在[ ,0]上的解析式.
2
f (x) = cos(2x + ) + sin2 x
2 4
2 1 cos 2x 1 1
= （cos 2x cos -sin 2x sin )+ = sin 2x +
解析：（1）由已知 2 4 4 2 2 2
..........2 分
2
x [- , ] 2x [- , ]
又因为 12 3 则 6 3
1
sin 2x [- ,1] 3
所以 2 ，即 fmin (x) = f (- ) = ，fmax (x) = f ( ) = 0
12 4 4
[- , ]
所以函数 f (x)
3
在区间 12 3 上的最大值和最小值分别为 和 0. ..........6 分
4
g(x + ) = g(x)
（2）由 2 可知函数 g(x) 最小正周期为 2 ，
理科 1
{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}
1
g(x) = sin 2x x [0, ]
又由（1）可知 2 （ 2 ）.........7 分
1 1
x [ ，0] x + [0， ] g(x + ) = sin 2(x + ) = sin 2x
当 2 时， 2 2 则 2 2 2 2
1 1
g(x + ) = g(x) g(x) = sin 2(x + ) = sin 2x
由 2 知 2 2 2 ..........9 分
1 1
x [ , ) x + [0， ) g(x + ) = sin 2(x + ) = sin 2x
当 2 时， 2 则 2 2
1
g(x) = sin 2x
由 g(x+ ) = g(x)知 2 ..........11 分
1
sin 2x( x 0) 2 2
g(x) =
1 sin 2x( x )
综上， 2 2 ..........12 分
18. （本小题满分 12 分）
2023 年 10 月 17 日至 18 日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，此会的胜利召开进一
步促进了国内产品走出国门.某工厂要为“一带一路”沿线某国生产一批内径为 28.50mm 的一种零件，为
了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的 1000 个零件中抽出 50 个，测得其内径尺寸（单位：mm ）
如下：
28.51 8， 28.52 6 ， 28.50 4 ， 28.48 11
28.49 p ， 28.54 1， 28.53 7 ， 28.47 q
这里用 x n 表示有 n 个尺寸为 xmm的零件， p,q 均为正整数．若从这 50 个零件中随机抽取 1 个，则这
8
个零件的内径尺寸小于 28.49mm 的概率为 ．
25
（1）求 p,q 的值．
（2）已知这 50 个零件内径尺寸的平均数为 xmm ，标准差为 smm，且 s = 0.02 ，在某次抽检中，若抽
取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在 x s, x + s
内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的
零件是否合格？说明你的理由．
理科 2
{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}
8+ 6+ 4+11+ p +1+ 7 + q = 50,
p = 8,
解：（1）依题意可得 11+ q 8 解得 ..........5 分
= , q = 5.
50 25
（2）将每个数据都减去 28.50 后所得新数据的平均数为
1
0.01 8+ 0.02 6+ 0 4+ ( 0.02) 11+ ( 0.01) 8+0.04 1+0.03 7 + ( 0.03) 5 = 0 ， 50
所以 x = 0+ 28.50 = 28.50 ，..........7 分
所以 x s = 28.48, x + s = 28.52 ，
所以这 60 个零件内径尺寸在 x s, x + s
内的个数为 50-1-7-5=37. ..........10 分
37 40
因为 = 0.8 ，所以这次抽检的零件不合格．..........12 分
50 50
19.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，
AM=2MD，N 为 PC 的中点.
（1）证明 MN∥平面 PAB;
（2）求四面体 N-BCM 的体积.
2
解：（1）由已知得 AM = AD = 2，取BP 的中点T ，连接 AT ,TN
3
1
由 N 为PC 中点知TN // BC ，TN = BC = 2 . ..........3 分
2
又 AD // BC，故TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，
于是MN // AT .
因为 AT 平面PAB ，MN 平面PAB ，所以MN // 平面 PAB ...........6 分
（2）因为PA ⊥平面 ABCD ， N 为PC 的中点，
1
所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA . ..........9 分
2
2 2
取BC 的中点 E ，连结 AE .由 AB = AC = 3得 AE ⊥ BC ， AE = AB BE = 5 .
理科 3
{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}
1
由 AM ∥BC 得M 到BC 的距离为 5，故 S BCM = 4 5 = 2 5 .
2
1 PA 4 5
所以四面体N BCM 的体积VN BCM = S BCM = . ..........12 分
3 2 3
20. （本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = ex cos x x ．
（1）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
π
（2）求函数 f (x) 在区间[0, ] 上的最大值和最小值．
2
解:（1）因为 f (x) = ex cos x x ,所以 f (x) = ex (cos x sin x) 1,则 f (0) = 0 .
又因为 f (0) =1，所以曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y =1.……..6 分
（2）设 h(x) = ex(cos x sin x) 1，
则 h (x) = ex(cos x sin x sin x cos x) = 2ex sin x .
π π
当 x (0, ) 时， h (x) 0 ，所以 h(x) 在区间[0, ] 上单调递减.
2 2
π π
所以对任意 x (0, ] 有 h(x) h(0) = 0 ，即 f (x) 0 .所以函数 f (x) 在区间[0, ] 上单调递减.
2 2
π π π
因此 f (x) 在区间[0, ]上的最大值为 f (0) =1，最小值为 f ( ) = .……..12 分
2 2 2
21. （本小题满分 12 分）
x 2
已知抛物线 C: 2 2y = 2px(p 0) 的准线与椭圆 + y =1相交所得线段长为 3 .
4
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设圆 M 过 A(2,0) ，且圆心 M 在抛物线 C 上， BD是圆Ｍ在 y 轴上截得的弦.当Ｍ在抛物线 C 上运
动时，弦 BD的长是否有定值？说明理由；
（3）过 F(1,0) 作互相垂直的两条直线交抛物线 C 于 G、H、R、S，求四边形GRHS 的面积最小值．
p 3 p 3
解：（1）由已知，抛物线 C 的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是 ( , ) ，把 ( , ) 代入椭圆
2 2 2 2
p2 3
方程化简得 + =1，解得 p = 2
16 4
理科 4
{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}
所以抛物线 C 的方程为 y2 = 4x ...........4 分
（2）假设Ｍ在抛物线 C 上运动时弦 BD长有定值，理由如下
设 M (x , y ) 在抛物线 C 上，可知0 0 M (x , y ) 到 y 轴距离为 0 0 | x0 |
根据圆的弦长公式可知： BD = 2 |MA|2 | x |2 0
由已知： |MA|2 =(x -2)2 + y 2 ， y 2 = 4x 0 0 0 0
所以 BD = 2 |MA|2 | x |2 = 2 x 2 4x 2 20 0 0 +4+ y0 x0 = 4
则Ｍ在抛物线 C 上运动时弦 BD的长的定值为 4. ..........8 分
（3）设过 F 的直线方程为 y = k(x 1) ,G ( x1, y1 ) , H ( x2 , y2 )
y = k(x 1) 2
2 2 2 2 2k + 4 4由 得 k x (2k +4)x+ k = 0得 x1 + x2 = ，则GH = 2+ x1 + x = 4+ 2 2
y
2 = 4x k k
2
同理得 RS = 4+4k2
1 1 4 1
所以，四边形GRHS 的面积T = GH RS = (4+ )(4+ 4k 2 ) = 8(1+ k 2 + ) 32
2 2 k 2 k 2
即四边形GRHS 的面积的最小值为 32...........12 分
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x = 3 cos
( 为参数)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 1 y = sin ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin( + ) = 2 2 . 2
4
（1）写出 C 的普通方程和 C 的直角坐标方程； 1 2
（2）设点 P 在 C 上，点 Q 在 C 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 1 2
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x2
解：（1） 2C 的普通方程为 + y =1，C 的直角坐标方程为1 2 x+ y 4 = 0 ...........5 分
3
（2）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ,sin ) ，因为C 是直线，所以 | PQ |的最小值， 2
即为 P 到C 的距离 d( ) 的最小值， 2
理科 5
{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}
| 3 cos + sin 4 |
d ( ) = = 2 | sin( + ) 2 | . ..........8 分
2 3
当且仅当 = 2k + (k Z ) 时， d( ) 取得最小值，最小值为 2 ，
6
3 1
此时 P 的直角坐标为 ( , ) . ..........10 分
2 2
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) =| 2x a | +a
（1）当 a=2 时，求不等式 f (x) 6 的解集；
（2）设函数 g(x) =| 2x 1|, 当 x R 时， f (x)+ g(x) 3，求 a 的取值范围.
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
解：（1）当 a = 2 时， f (x) =| 2x 2 | +2 .
解不等式 | 2x 2 | +2 6，得 1 x 3 .
因此， f (x) 6的解集为{x | 1 x 3} . ..........5 分
（2）当 x R 时， f (x)+ g(x) =| 2x a | +a+ |1 2x |
| 2x a+1 2x | +a =|1 a | +a ，
1
当 x = 时等号成立，
2
所以当 x R 时， f (x)+ g(x) 3等价于 |1 a | +a 3 . ① ..........7 分
当 a 1时，①等价于1 a+a 3，无解.
当 a 1时，①等价于 a 1+a 3，解得 a 2 .
所以 a 的取值范围是[2,+ ) . ..........10 分
理科 6
{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}2024 届高三联考数学（文科）试卷
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
本试卷共 4 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
x
1．设集合 A = x y = 3 x , B = x Z 0 ，则 A B =（ ）
x 4
A． x 0 x 4 B． x 0 x 4 C． x N x 4 D． x 0 x 3
2．已知向量 a = (m+3,2m+1),b = (m+3, 5)，则“ m = 2 ”是“ a ⊥ b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.设 m、n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 m ⊥ ， n ∥ ，则 m ⊥ n . ②若 m ⊥ n ， n ∥ ，则 m ⊥ .
③若 m ⊥ ， ∥ ，则 m ⊥ . ④若 m ⊥ ， m ⊥ ，则 ∥ .
其中正确命题的序号是( )
A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③
4.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，在 ( ,0] 上是减函数，且 f (3) = 0 ，则使得
f (x) 0的 x 的取值范围是（ ）
A.(- ,-3) B.(3,+ ) C.(-3,3) D.(- ,-3) (3,+ )
1
5.若 tan = ，则 cos2 +2sin 2 =（ ）
2
24 48 12 16
A. B. C. D.
25 25 5 25
6.函数 f (x) = Asin(2x + ) A 0,| | 的图象如图所示， y
2
1
则（ ） x
A. f ( x) 在 , 上单调递增 B. = 3
6 3 3
C. f ( x)的一个对称中心为
,0
D. 是奇函数
f x +
6 6
7.某学校举办作文比赛，共 5 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、
高三联考文科数学试题 第 1 页 共 4 页
{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}
乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )
2 4 1 1
A. B. C. D.
3 5 2 3
an 2a1 +3a2 =1,a
2
3 = 9a a .8. 等 比 数 列 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 2 6 设
1
bn = log3 a1 + log3 a2 + ......+ log
3 an, 则数列 bn 的前项和 S =（ ） n
2n 1 1 n 4nA. 2n B. C. [1-（ ）] D.
n+1 2 3 （n n +1）
log3 0.3
1
9.已知 loga = 6 2 3.4 log 3.6,b = 6 4 ,c = ，则( )
6
A． a b c B．b a c C． a c b D．c a b
x2 y2
10.已知双曲线 E ： =1(a 0,b 0) 的右焦点为 F(5,0) ，过点 F 的直线交双曲线
a2 b2
E 于 A 、 B 两点.若 AB 的中点坐标为 (6, 2) ，则 E 的方程为( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. =1 B. =1 C. =1 D. =1
5 20 16 9 9 16 15 10
11．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到 10 年内每年此农产
品的销售额（单位：万元）等于上一年的 1.3 倍再减去 3．已知第一年（2023 年）该公司
该产品的销售额为 100 万元，则按照计划该公司从 2023 年到 2032 年该产品的销售总额
约为（参考数据:1.310 13.79 ）（ ）
A．3937 万元 B.3837 万元 C．3737 万元 D．3637 万元
12.已知点 A，B，C 在圆 x2 + y2 = 4 上运动，且 AB⊥BC，若点 P 的坐标为（3，0），则
| PA+ PB+ PC | 的最大值为（ ）
A．7 B．12 C．14 D．11
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.若 z =1 i ，则 | iz 3z | = .
14.已知实数 a,b,c,d 成等差数列，且函数 y = ln(x + 2) x当x = b 时取到极大值 c ，则
a+d= .
高三联考文科数学试题 第 2 页 共 4 页
{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}
15.设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c ，且 acos B = 3，bsin A = 4 ．
则边长 a = .
16. 已 知 数 列 a 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 a = 3 , 点n 1 (Sn ,S 在 直 线n+1)
n+1
y = x + n +1(n N+ ) 上.则数列 a 的通项是 . n
n
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17. （本小题满分 12 分）
2
设函数 f (x) = cos(2x + ) + sin2 x .
2 4
（1）求函数 f (x) 在区间[- , ]上的最大值和最小值；
12 3
1
（2）设函数 g(x) 对任意 x R ，有 g(x + ) = g(x) ，且当 x [0, ]时，g(x) = f (x) ；
2 2 2
求函数 g(x) 在[ ,0]上的解析式.
18. （本小题满分 12 分）
2023 年 10 月 17 日至 18 日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，此会的
胜利召开进一步促进了国内产品走出国门.某工厂要为“一带一路”沿线某国生产一批内径
为 28.50mm 的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的 1000 个零
件中抽出 50 个，测得其内径尺寸（单位： mm ）如下：
28.51 8， 28.52 6 ， 28.50 4 ， 28.48 11
28.49 p ， 28.54 1， 28.53 7 ， 28.47 q
这里用 x n 表示有 n 个尺寸为 xmm的零件， p,q 均为正整数．若从这 50 个零件中随机
8
抽取 1 个，则这个零件的内径尺寸小于 28.49mm 的概率为 ．
25
（1）求 p,q 的值．
（2）已知这 50 个零件内径尺寸的平均数为 xmm ，标准差为 smm，且 s = 0.02 ，在某次
抽检中，若抽取的零件中至少有80% 的零件内径尺寸在 x s, x + s
内，则称本次抽检的
零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．
19.（本小题满分 12 分）
高三联考文科数学试题 第 3 页 共 4 页
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如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M
为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点.
（1）证明 MN//平面 PAB;
（2）求四面体 N-BCM 的体积.
20.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = ex cos x x ．
（1）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
π
（2）求函数 f (x) 在区间[0, ]上的最大值和最小值．
2
21. （本小题满分 12 分）
x 2
已知抛物线 C: y2 = 2px(p 0) 的准线与椭圆 + y 2=1相交所得线段长为 3 .
4
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设圆 M 过 A(2,0) ，且圆心 M 在抛物线 C 上，BD是圆Ｍ在 y 轴上截得的弦.当Ｍ在
抛物线 C 上运动时，弦 BD的长是否有定值？说明理由；
（3）过 F(1,0) 作互相垂直的两条直线交抛物线 C 于 G、H、R、S，求四边形GRHS 的面
积最小值．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x = 3 cos
( 为参数)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为1 y = sin ，以坐标原点为极点，
以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin( + ) = 2 2 . 2
4
（1）写出 C 的普通方程和 C 的直角坐标方程； 1 2
（2）设点 P 在 C 上，点 Q 在 C 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 1 2
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) =| 2x a | +a
（1）当 a=2 时，求不等式 f (x) 6 的解集；
（2）设函数 g(x) =| 2x 1|, 当 x R 时， f (x)+ g(x) 3 ，求 a 的取值范围.
高三联考文科数学试题 第 4 页 共 4 页
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