卷子答案网-一个不只有答案的网站云南省昆明市五华区2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若（x、y是实数），则M的值是（ ）
A．正数 B．负数
C．零 D．以上皆有可能
【答案】A
【知识点】线性方程组解的存在性，唯一性
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
因为，
等号同时成立的条件为，方程无解，
所以.
故答案为：A.
【分析】整理可得，根据平方关系分析求解.
2．方程的解有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．多于2个
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：根据绝对值得几何意义可知，方程表示数轴上的点到数5与7对应的点的距离和等于到2011与2013对应点的距离的和，所以此点对应的数在7到2011之间，则方程转化为，解得，所以方程的解有一个.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，利用绝对值的几何意义确定方程解得范围，再脱绝对值计算即可.
3．如果关于x的不等式组恰有三个整数解，整数k的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．35 D．36
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由 可得，
如果关于x的不等式组恰有三个整数解 ，则，解得，
且k为整数，所以 k的最大值是 35.
故答案为：C.
【分析】解不等式，结合题意可得，运算求解即可.
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；确定直线位置的几何要素；直线的斜率；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，解得，由图可知A、C选项，D选项.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式，求得根据图象判断即可.
5．直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，点C、D分别为、的中点，点P为y轴上一动点，当的值取到最小值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为直线与 x轴、y轴分别交于点与点，所以，则，令点关于的对称点为，连接交轴于点，连接，则有，，当且仅当重合等号成立，设直线的方程为，则，解得，，所以的值取到最小值时，点P的坐标.
故答案为：B.
【分析】根据题意求出，以及的坐标，再求点关于的对称点为，利用对称性判断取到最小值时，点P的坐标 .
6．在二次根式中，m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：二次根式有意义，则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义，列不等式求解即可.
7．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；方程组解的个数与两直线的位置关系
【解析】【解答】解：不等式，可得，因为关于不等式无解，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，求出不等式的解集，根据不等式组无解，即可求得的取值范围.
8．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意可得，因为，，所以，则图中阴影部分的面积为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，则阴影部分的面积代入计算即可.
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若则. B．若则.
C．若，则 D．若，则
【答案】A,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，又因为，所以，故A正确；
B、取，则，故B错误；
C、取，则，故C错误；
D、因为，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用不等式的性质，或取特殊值逐项验证即可.
10．已知函数的图象经过点则（ ）
A．的图象经过点
B．的图象关于y轴对称
C．在上单调递减
D．在内的值域为
【答案】C,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的图象过点，所以，解得，所以；
A、当时，，故A错误；
B、函数不是偶函数，所以图象不关于轴对称，故B错误；
C、在上单调递减，故C正确；
D、在上，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意易得函数，利用幂函数的性质逐项判断即可.
11．（2020高一上·湛江期末）下列结论正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时， 的最小值是2
C．当 时， 的最小值是
D．若 ， ，且 ，则 的最小值是
【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于选项 ，当 时， ，可得 ，
当且仅当 时取等号，结论成立，故 正确；
对于选项 ，当 时， ， ，
可得 ，
当且仅当 时即取等号，
但 ，等号取不到，因此 的最小值不是2，故 错误；
对于选项 ，因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，故 没有最小值，故 错误；
对于选项 ，因为 ， ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 正确．
故答案为：AD．
【分析】根据基本不等式逐项进行分析，注意等号成立的条件，可得答案。
12．（2020高一上·宝安期末）下表表示y是x的函数，则（ ）
2 3 4 5
A．函数的定义域是
B．函数的值域是
C．函数的值域是
D．函数是增函数
【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】由表格可知：函数的定义域是 ，值域是 ，
此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，
故函数不是增函数；
故答案为：AC.
【分析】根据题意由已知的图表中的数据，结合函数的定义域、值域以及单调性的定义即可得出答案。
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知是一次函数，，，则的解析式为
【答案】3x 2
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设函数，因为，。所以，解得，故.
故答案为：.
【分析】设函数，根据已知条件列式计算即可.
14．从1，2，3，4，5这五个数中去掉（）个数后，剩下的个数的平均数是3的概率是：
【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：当时，剩下4个数有5种情况：1234，1235，1245，2345，1345；
当时，剩下3个数共有10种情况：345，245，235，234，145，135，1345，125，124，123；
当时，剩下2个数共有10种情况：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45；
当时，剩下的1个数共有5种情况：1，2，3，4，5；
综上共有30种可能的结果，其中满足剩下的个数的平均数是3的有：1245，234，135，15，24，3共6种，所以剩下的个数的平均数是3的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意写出所有的可能情况，根据古典概型概率公式计算即可.
15．设a、b、c是中角A、B、C所对的边的长.二次函数在时，取得最小值，则这个三角形三个内角的度数分别为：A= ；B= ；C= .
【答案】；；
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为二次函数在时，取得最小值，所以解得，所以三角为等边三角形，故三个内角的度数均为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质列方程组化简可得三角形为等边三角形，从而可得三个内角.
16．如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线，且.直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧）.则下列判断：①；②；③；④；⑤中，正确的是 .
【答案】③④⑤
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，因为对称轴为直线，所以，则，当时，故，①错误；，故②错误；由图可知直线的斜率，又因为，所以点，点在直线的左下方，所以，即，综上可知，故③正确 ；因为直线和抛物线有两个交点，所以，解得，由图象可知，所以，故④正确；由，解得，点位于对称轴的左侧，所以，则，又因为，所以，故⑤错误.
故答案为：③④.
【分析】根据二次函数的性质以及直线与抛物线的位置逐项判断即可.
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点.
（1）求直线的函数关系式；
（2）动点在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.设点移动的时间为秒，的长度为个单位，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当为何值时，四边形为平行四边形？问对于所求的值，平行四边形能否为菱形？请说明理由.
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，则.
轴，垂足为点，，所以
设直线的解析式为
则 ，解得
可得直线的解析式为
（2）解：点从点移动到点共要3秒，所以
秒时，点，所以
（3）解：若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，
所以当或2时，四边形为平行四边形.
①当时，，，故，又在中，，故，此时四边形为菱形
②当时，，，故，又在中，，故，此时四边形不是菱形.
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出点，的坐标，设直线的方程，利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意可知点从点移动到点共要3秒，用表示，从而求得与的函数关系式；
（3）假设四边形为平行四边形，则有，列式求得的值，再分别验证四边形是否为菱形即可.
18．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设足球单价为 元， 则篮球单价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解， 符合题意，
.
故足球单价为 60 元， 篮球单价为 90 元.
（2）解：设学校可以购买 个篮球，
由题意得：
，
即，
解得；
为整数，
最大为 116 .
故学校最多可以购买 116 个篮球.
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）设足球单价为 元， 则篮球单价为 元，根据题意列式即可求得足球和篮球的单价，再验证是否符合题意；
（2）设学校可以购买 个篮球，根据题意可得，计算即可求得学校最多购买的篮球数量.
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出时，x的取值范围；
（3）过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．
【答案】（1）解：由点在反比例函数的图象上，得，所以反比例函数的解析式为，
由点在反比例函数的图象上，得，则点B的坐标为，
依题意，，解得，所以一次函数解析式为.
（2）解：x的取值范围是或.
（3）解：因为轴，，则，有，因此，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为
所以当点C的坐标为或时，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据反比例函数过点，代入即可求得反比例函数的解析式，再由图象过点即可求得的值，代入一次函数即可得解析式；
（2）根据图象直接写答案即可；
（3）根据轴，可得，根据，求得，根据图象即可求得点的坐标.
20．如图，在中，，cm，cm，D是BC边上一点，cm，点P为边AC上一动点（点P与A、C不重合），过点P作，交AD于点E．点P以1cm/s的速度从A到C匀速运动.
（1）设点P的运动时间为t（s），DE的长为y（cm），求y关于t的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当t为何值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？并求此时的正切值.
【答案】（1）解：∵在中，AC=4，CD=3，∴AD=5，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
即，（）
（2）解：当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有
DE=PE+BD，即，
解之得，∴， ∵，∴，
在中，
；∴=.
【知识点】圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】（1）在中，根据，可得，求得，即可得 y关于t的函数关系式 ；
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有，求出，再根据，得，在中计算的正切值即可.
21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：）
【答案】（1）解：由题意，当（辆千米）时，（千米小时），
代入，得，解得．
，
当时，，符合题意；
当时，令，解得，
．
综上，．
故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，
（2）解：由题意得，，
当时，为增函数，
，等号当且仅当时成立；
当时，
．
当且仅当，即，时成立，
综上，的最大值约为3250，此时约为87．
故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据已知条件隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时，求得，再分，两种情况解不等式即可；
（2）由题意可得，分，利用函数的单调性以及基本不等式求隧道内车流量的最大值以及隧道内车流量达到最大时的车流密度.
22．（2019高三上·上海月考）已知函数
（1）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围；
（2）当a
<0时，解关于x的不等式 。
【答案】（1）解： 对任意的 恒成立，
当 时， 对任意的 恒成立，所以 成立；
当 ；
综上所述：
（2）解：不等式 ，
方程 的两根为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ；
当 ，即 时，不等式的解集为 ；
当 ，即 时，不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将不等式转化为 对任意的 恒成立，再对 进行分类讨论；（2） ，求出方程的两根为 ，再比较两根的大小，进行不等式求解.
云南省昆明市五华区2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若（x、y是实数），则M的值是（ ）
A．正数 B．负数
C．零 D．以上皆有可能
2．方程的解有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．多于2个
3．如果关于x的不等式组恰有三个整数解，整数k的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．35 D．36
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，点C、D分别为、的中点，点P为y轴上一动点，当的值取到最小值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．在二次根式中，m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若则. B．若则.
C．若，则 D．若，则
10．已知函数的图象经过点则（ ）
A．的图象经过点
B．的图象关于y轴对称
C．在上单调递减
D．在内的值域为
11．（2020高一上·湛江期末）下列结论正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时， 的最小值是2
C．当 时， 的最小值是
D．若 ， ，且 ，则 的最小值是
12．（2020高一上·宝安期末）下表表示y是x的函数，则（ ）
2 3 4 5
A．函数的定义域是
B．函数的值域是
C．函数的值域是
D．函数是增函数
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知是一次函数，，，则的解析式为
14．从1，2，3，4，5这五个数中去掉（）个数后，剩下的个数的平均数是3的概率是：
15．设a、b、c是中角A、B、C所对的边的长.二次函数在时，取得最小值，则这个三角形三个内角的度数分别为：A= ；B= ；C= .
16．如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线，且.直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧）.则下列判断：①；②；③；④；⑤中，正确的是 .
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点.
（1）求直线的函数关系式；
（2）动点在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.设点移动的时间为秒，的长度为个单位，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当为何值时，四边形为平行四边形？问对于所求的值，平行四边形能否为菱形？请说明理由.
18．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出时，x的取值范围；
（3）过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．
20．如图，在中，，cm，cm，D是BC边上一点，cm，点P为边AC上一动点（点P与A、C不重合），过点P作，交AD于点E．点P以1cm/s的速度从A到C匀速运动.
（1）设点P的运动时间为t（s），DE的长为y（cm），求y关于t的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当t为何值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？并求此时的正切值.
21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：）
22．（2019高三上·上海月考）已知函数
（1）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围；
（2）当a
<0时，解关于x的不等式 。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线性方程组解的存在性，唯一性
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
因为，
等号同时成立的条件为，方程无解，
所以.
故答案为：A.
【分析】整理可得，根据平方关系分析求解.
2．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：根据绝对值得几何意义可知，方程表示数轴上的点到数5与7对应的点的距离和等于到2011与2013对应点的距离的和，所以此点对应的数在7到2011之间，则方程转化为，解得，所以方程的解有一个.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，利用绝对值的几何意义确定方程解得范围，再脱绝对值计算即可.
3．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由 可得，
如果关于x的不等式组恰有三个整数解 ，则，解得，
且k为整数，所以 k的最大值是 35.
故答案为：C.
【分析】解不等式，结合题意可得，运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；确定直线位置的几何要素；直线的斜率；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，解得，由图可知A、C选项，D选项.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式，求得根据图象判断即可.
5．【答案】B
【知识点】平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为直线与 x轴、y轴分别交于点与点，所以，则，令点关于的对称点为，连接交轴于点，连接，则有，，当且仅当重合等号成立，设直线的方程为，则，解得，，所以的值取到最小值时，点P的坐标.
故答案为：B.
【分析】根据题意求出，以及的坐标，再求点关于的对称点为，利用对称性判断取到最小值时，点P的坐标 .
6．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：二次根式有意义，则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义，列不等式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；方程组解的个数与两直线的位置关系
【解析】【解答】解：不等式，可得，因为关于不等式无解，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，求出不等式的解集，根据不等式组无解，即可求得的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意可得，因为，，所以，则图中阴影部分的面积为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，则阴影部分的面积代入计算即可.
9．【答案】A,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，又因为，所以，故A正确；
B、取，则，故B错误；
C、取，则，故C错误；
D、因为，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用不等式的性质，或取特殊值逐项验证即可.
10．【答案】C,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的图象过点，所以，解得，所以；
A、当时，，故A错误；
B、函数不是偶函数，所以图象不关于轴对称，故B错误；
C、在上单调递减，故C正确；
D、在上，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意易得函数，利用幂函数的性质逐项判断即可.
11．【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于选项 ，当 时， ，可得 ，
当且仅当 时取等号，结论成立，故 正确；
对于选项 ，当 时， ， ，
可得 ，
当且仅当 时即取等号，
但 ，等号取不到，因此 的最小值不是2，故 错误；
对于选项 ，因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，故 没有最小值，故 错误；
对于选项 ，因为 ， ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 正确．
故答案为：AD．
【分析】根据基本不等式逐项进行分析，注意等号成立的条件，可得答案。
12．【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】由表格可知：函数的定义域是 ，值域是 ，
此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，
故函数不是增函数；
故答案为：AC.
【分析】根据题意由已知的图表中的数据，结合函数的定义域、值域以及单调性的定义即可得出答案。
13．【答案】3x 2
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设函数，因为，。所以，解得，故.
故答案为：.
【分析】设函数，根据已知条件列式计算即可.
14．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：当时，剩下4个数有5种情况：1234，1235，1245，2345，1345；
当时，剩下3个数共有10种情况：345，245，235，234，145，135，1345，125，124，123；
当时，剩下2个数共有10种情况：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45；
当时，剩下的1个数共有5种情况：1，2，3，4，5；
综上共有30种可能的结果，其中满足剩下的个数的平均数是3的有：1245，234，135，15，24，3共6种，所以剩下的个数的平均数是3的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意写出所有的可能情况，根据古典概型概率公式计算即可.
15．【答案】；；
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为二次函数在时，取得最小值，所以解得，所以三角为等边三角形，故三个内角的度数均为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质列方程组化简可得三角形为等边三角形，从而可得三个内角.
16．【答案】③④⑤
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，因为对称轴为直线，所以，则，当时，故，①错误；，故②错误；由图可知直线的斜率，又因为，所以点，点在直线的左下方，所以，即，综上可知，故③正确 ；因为直线和抛物线有两个交点，所以，解得，由图象可知，所以，故④正确；由，解得，点位于对称轴的左侧，所以，则，又因为，所以，故⑤错误.
故答案为：③④.
【分析】根据二次函数的性质以及直线与抛物线的位置逐项判断即可.
17．【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，则.
轴，垂足为点，，所以
设直线的解析式为
则 ，解得
可得直线的解析式为
（2）解：点从点移动到点共要3秒，所以
秒时，点，所以
（3）解：若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，
所以当或2时，四边形为平行四边形.
①当时，，，故，又在中，，故，此时四边形为菱形
②当时，，，故，又在中，，故，此时四边形不是菱形.
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出点，的坐标，设直线的方程，利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意可知点从点移动到点共要3秒，用表示，从而求得与的函数关系式；
（3）假设四边形为平行四边形，则有，列式求得的值，再分别验证四边形是否为菱形即可.
18．【答案】（1）解：设足球单价为 元， 则篮球单价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解， 符合题意，
.
故足球单价为 60 元， 篮球单价为 90 元.
（2）解：设学校可以购买 个篮球，
由题意得：
，
即，
解得；
为整数，
最大为 116 .
故学校最多可以购买 116 个篮球.
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）设足球单价为 元， 则篮球单价为 元，根据题意列式即可求得足球和篮球的单价，再验证是否符合题意；
（2）设学校可以购买 个篮球，根据题意可得，计算即可求得学校最多购买的篮球数量.
19．【答案】（1）解：由点在反比例函数的图象上，得，所以反比例函数的解析式为，
由点在反比例函数的图象上，得，则点B的坐标为，
依题意，，解得，所以一次函数解析式为.
（2）解：x的取值范围是或.
（3）解：因为轴，，则，有，因此，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为
所以当点C的坐标为或时，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据反比例函数过点，代入即可求得反比例函数的解析式，再由图象过点即可求得的值，代入一次函数即可得解析式；
（2）根据图象直接写答案即可；
（3）根据轴，可得，根据，求得，根据图象即可求得点的坐标.
20．【答案】（1）解：∵在中，AC=4，CD=3，∴AD=5，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
即，（）
（2）解：当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有
DE=PE+BD，即，
解之得，∴， ∵，∴，
在中，
；∴=.
【知识点】圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】（1）在中，根据，可得，求得，即可得 y关于t的函数关系式 ；
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有，求出，再根据，得，在中计算的正切值即可.
21．【答案】（1）解：由题意，当（辆千米）时，（千米小时），
代入，得，解得．
，
当时，，符合题意；
当时，令，解得，
．
综上，．
故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，
（2）解：由题意得，，
当时，为增函数，
，等号当且仅当时成立；
当时，
．
当且仅当，即，时成立，
综上，的最大值约为3250，此时约为87．
故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据已知条件隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时，求得，再分，两种情况解不等式即可；
（2）由题意可得，分，利用函数的单调性以及基本不等式求隧道内车流量的最大值以及隧道内车流量达到最大时的车流密度.
22．【答案】（1）解： 对任意的 恒成立，
当 时， 对任意的 恒成立，所以 成立；
当 ；
综上所述：
（2）解：不等式 ，
方程 的两根为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ；
当 ，即 时，不等式的解集为 ；
当 ，即 时，不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将不等式转化为 对任意的 恒成立，再对 进行分类讨论；（2） ，求出方程的两根为 ，再比较两根的大小，进行不等式求解.