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人教版八年级年级上册数学期末最短路径专题训练
一、单选题
1．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
3．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若△CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（ ）
A．78 B．39 C．42 D．30
4．如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（ ）
A． B． C． D．
7．如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
9．如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．
10．如图，在中，，，点是边的中点，连结，，若点，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
11．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ．
12．如图，在中，8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值是 ．
13．如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为 ．
14．如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则∠MPN的度数是 ．
15．如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ．
16．如图，在中，，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，等腰三角形的底边长为4，的面积是16，腰的垂直平分线分别交边于点．若为边的中点，为线段上一动点，求周长的最小值．
18．如图所示，点为（其中为锐角）内的一点，，分别为点P关于，的对称点，连接，交于点M，交于点N，已知．连接，．
(1)求的周长．
(2)若一动点从点P出发，到达上一点，再从这点出发到达上一点，然后又回到点P，所经过的最短路程是多少？请说明理由．
19．如图，在中，，，试解决下列问题：
(1)在边上找一点P，边上找一点Q，使最小；
(2)已知，求的最小值．
20．如图，在所给的方格图中，完成下列各题
(1)画出格点关于直线对称的；
(2)求的面积；
(3)在上画出点P，使最小．
()
()
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示，
则
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小．
【详解】解：∵垂直平分，
∴点B，C关于对称．
∴当点P和点D重合时，的值最小．
此时，
∵，
周长的最小值是，
故选：C．
3．D
【详解】如图，连接AD，交EF于点M．
∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，CD=BC=3．∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为A，AM=CM，∴此时△CDM的周长最小，∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13－CD=13－3=10，∴S△ABC=BC·AD=×6×10=30．
4．C
【分析】过点作，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得，则，连接交于，在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，证明，根据全等三角形的性质得，过点作于，根据含角的直角三角形的性质求出，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点作，使，连接，
∵，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
连接交于，
在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，
∵，
，
在和中，
，
，
，
过点作于，
，
，
的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系、最短距离问题、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．D
【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得．
【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F，
则，，
∴，
∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，
∵四边形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径．
6．C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到当时，的值最小，即的值最小，即可得到结论．
【详解】解：连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
的最小值的最小值，
，
当时，的值最小，即的值最小，
的最小值是线段的长度，
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
7．B
【分析】由题意等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点A关于直线的对称点M，连接交于E′，此时的值最小，最后依据周长的最小值求值即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵都是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴点E在射线上运动()，
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，
∵
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∴周长的最小值．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短路径问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出的值最小．
8．B
【分析】作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，当三点共线，时，的值最小，利用所对直角边等于斜边一半求出，最后根据边长关系计算的长即可．
【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，
∴，,
∴，
当三点共线，时，的值最小，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
9．
【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F，
则即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．
【详解】解：，点是边的中点，
垂直平分，
．
过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示．
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键．
11．
【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到．
【详解】解：在下方作，使，连接．
则，．
∴，
即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接，
是的垂直平分线，
，
∴，最小，
此时点与点重合．
所以的最小值即为的长，为8．
所以的最小值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．
13．
【分析】作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．
【分析】首先求出证明，，推出，可得结论．
【详解】解：∵P点关于的对称点是，P点关于OA的对称点是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．3
【分析】如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
∵，，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴是点到直线的最短距离，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题最短路线问题，涉及等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质等知识．解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线段和的最小值．
16．
【分析】作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，则根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值，进而根据△ADC的面积可进行求解．
【详解】解：作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，如图所示：
∴，
根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质、等积法及最短路径问题，熟练掌握利用轴对称的性质求最短路径问题是解题的关键．
17．10
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，三线合一，解题的关键是连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：10．
18．(1)
(2)最短路程为，理由见解析．
【分析】（1）根据轴对称的性质进行解答即可；
（2）在和上分别任取一点，（不同于点M，N），即动点从点P出发，所经过的路线为，根据轴对称的性质得出，，得出动点所经过的路线长，根据两点之间，线段最短，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，是点P关于，的对称点，
∴，，
∴的周长．
（2）解：最短路程为．
理由：在和上分别任取一点，（不同于点M，N），如图所示，即动点从点P出发，所经过的路线为，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
即动点所经过的路线长，
∵两点之间，线段最短，
∴此时所经过的路程大于的长度，只有路径为时，路程才最短，最短距离为．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，数形结合．
19．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）寻找点A关于的对称点，过点作的垂线段即可；
（2）利用等腰三角形和角平分线的性质说明的最小值等于的长即可．
【详解】（1）解：如图，延长到点，使，过点作于点Q，交于点P，连接，则点P，Q即为所求的点．
根据作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当、P、Q在同一直线上，且时，最小，即最小．
（2）解：由（1）中作图易知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故的最小值为2．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等腰三角形的判定和性质．
20．(1)见解析
(2)2
(3)见解析
【分析】此题主要考查了轴对称变换以及最短路线求法．
（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：的面积为：；
（3）解：如图所示：连接，交点于点P，即点P为所求．
()
()