卷子答案网-一个不只有答案的网站期中考试试题（理科数学）参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D B B D A A D B B B C
二、填空题
13. 38 14． 15． 16．
三、解答题
17．（1）设的公差为，的公比为，
由题得，解得，则.
（2），
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
.
18．（1）解：根据题意，得到列联表如下：
可得，
所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）解：由题意，人进球总次数的所有可能取值为，
可得，，
0 1 2 3
，
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望为.
19．（1）因为平面平面，且平面平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以．
因为，，，所以，故．
又，平面，所以平面．
因为平面，所以，平面平面．
（2）作的高，因为，，，
所以，所以，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．
所以，可以建立如图所示空间直角坐标系，其中轴．
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则即
令得，，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则即 令得，，
所以平面的一个法向量为．，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
20．（1）因为，所以，
又因为函数在处有极小值，
所以，解得或，
当时，，则时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，可得函数在处取得极小值；
当时，，则时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，
可得函数在处取得极大值，不合题意，舍去．所以c的值为3.
（2）， 函数定义域为R，，
当时，恒成立，在R上单调递增，
时，有一个零点-1；
时，，，恰有一个零点.
当时，解得或，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
时，有极大值，时，有极小值，
恰有一个零点，或
解得，综上可知，函数恰有一个零点，实数a的取值范围为.
21．（1）设动点,依题意有整理,得.
动点的轨迹方程为,
当时,轨迹是焦点在轴上的双曲线,
当时,轨迹是焦点在轴上的椭圆,
当时,轨迹是圆,
当时,轨迹是焦点在轴上的椭圆,且点不在曲线上;
（2）设直线的方程为,,
由,解得，
由韦达定理有:,且,
构成等比数列,
即:,
由韦达定理代入化简得:,,
此时,即.
故.
又为定值. ，当且仅当时等号成立.
综上:.
22．（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，
所以半圆的极坐标方程为，
曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．
（2）由（1）得：|MN|＝|．
显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．
此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，
设PC2与直线MN垂直于点H，
如图所示：
在Rt△OHC2中，|，
所以点P到直线MN的最大距离d，
所以．
23．（1），
故等价于或或，
解得，
不等式的解集为；
（2）当时，；
当时，；
当时，，
故函数的的最小值为，即
利用柯西不等式可得，
即，当且仅当时等号成立，
结合，即当时，取得最小值4.
答案第14页，共14页金苹果锦城第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试（理科数学）
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
第I卷（选择题)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．不等式“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，设，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
10．已知双曲线的左、右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则当取得最大值时，该双曲线的渐近线方程为
A．B． C． D．
11．已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
12．如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，给出下列命题:①四棱锥的体积恒为定值；②直线与直线交于点，直线与直线交于点，则、、三点共线；③当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点至少有两个；④为底面对角线和的交点，在棱上存在点，使平面，其中真命题是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相，为了解学生对这一新闻的关注度，某班主任在开学初收集了50份学生的答题问卷，并抽取10份问卷进行了解，现采用系统抽样的方法，将这50份答题问卷从01到50进行编号，分成10组，已知第一组中被抽到的号码为03，则第8组中被抽到的号码为 ．
14．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为是 .
15．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为
16．已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为
三、解答题：本题共7小题，17-21题为必答题，每天12分，22—23为选作题，10分，共70分.
17．已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，记的前项和为，求.
18．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男 女同学各100名进行调查，部分数据如下表所示.
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：.
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
19．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．若函数在处有极小值．
(1)求c的值．
(2)函数恰有一个零点，求实数a的取值范围．
21．已知两个定点，，动点M满足直线与的斜率之积为定值.
(1)求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；
(2)若，设直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为，k，（其中），的面积为S，以OE，OF为直径的圆的面积分别为，.若，k，恰好构成等比数列，求的取值范围.
考生从22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．
（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；
（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
(1)求的解集；
(2)若函数的最小值为，且，求的最小值.
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