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中考热点十九几何综合探究
板块二相似构造
专项突破7射影定理
1.【问题背景】(1)如图1，在中，于，求证：
【变式迁移】(2)如图2，已知为上一点，且，若，求的值；
【拓展创新】(3)如图3，四边形中，为边上一点，且，直接写出的值.
2.问题背景：(1)如图1，在Rt中，于点，求证：；
尝试应用：(2)如图2，在中，，点为中点，于点交于点，若.求的值；
拓展创新：(3)如图3，在Rt中，，点为中点，于点交于点，若，直接写出的值
专项突破8一线三等角型相似
1.(1)如图1，在中，，点分别是边上的点，
且.求证；
(2)如图2，在中，为边的中点，分别是边上一点，，求证：平分；
(3)如图3，若为等边三角形，，点在线段上，4，求的长.
2.如图，在等腰中，是边上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点.
(1)【问题提出】如图1，当是的中点时，求证：；
(2)【问题探究】如图2，若.求的值；
(3)【问题拓展】如图3，若为的中点，连接，在点的运动过程中，直接写出的最小值.
专项突破7射影定理
1.解:(1),
,
;
(2)过点作于点,则,
,
,
.又;
(3)过点作于点,延长相交于点,
,
设,则.
,
,
图3
,
,
,
,
,
,
又.
2.解：(1),
,
同理:,即;
(2)设,在.Rt中,,
点为中点,,
,同(1)的方法得,,过点作交于点,
,设,则,
;(3)同(1)的方法得,,
点为中点,,
.
专项突破8一线三等角型相似
1.解:(1),
;
(2),
平分;
(3)在左侧作,在右侧作,点在直线上,
,
易证,
又,
.
2.解:(1),
和均为等边三角形,,
为的中点,平分,
;
(2)过点作于点.
,
,
,
,
,设,
图3
则,
;
(3)连接,过点作于点,过点作于点,
,
在点运动的过程中,为定角,且,
,的最小值为2.
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