卷子答案网-一个不只有答案的网站2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章
第二节 矩形、菱形、正方形的性质与判定 知识精练
基础题
1. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A. AB∥CD B. AD＝BC
C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D
2. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是( )
A. (3，－3) B. (－3，3)
C. (3，3) D. (－3，－3)
第2题图
3. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是( )
A. 互相平分
B. 互相垂直
C. 互相平分且相等
D. 互相垂直且相等
4. (2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为( )
第4题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是( )
A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B. 对角线BD的长度减小
C. 四边形ABCD的面积不变
D. 四边形ABCD的周长不变
第5题图
6. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，EF＝2，BD＝8，则该菱形的面积为( )
第6题图
A. 12 B. 16 C. 20 D. 32
7. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝( )
A. B. C. D.
第7题图
8. (2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝( )
第8题图
A. 45°＋α B. 45°＋α
C. 90°－α D. 90°－α
9. (2023河北)如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
第9题图
10. [新考法—条件开放](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形．
第10题图
11. (2023怀化)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为________．
第11题图
12. (2023绍兴)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是________．
第12题图
13. (2023河南)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为________．
14. [新考法—条件开放](2023十堰)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
第14题图
15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，连接AE，CF，EH⊥CF于点H，FG⊥AE于点G.
(1)判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)若AE＝5，tan∠DAE＝2，EG＝2GF，求AG的长．
第15题图
拔高题
16. (2022青羊区模拟)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α，β，将菱形的“接近度”定义为|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．
第16题图
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为________；
②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．
课时2
基础题
1. (2023湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°
第1题图
2. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为( )
第2题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4 cm，则剪下来图形的周长为( )
第3题图
A. 4 cm B. 4 cm C. 16 cm D. 16 cm
4. (2022青岛改编)如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为________．
第4题图
5. [新考法—数学文化](2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝________.
第5题图
6. (2023天津)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA＝ED＝.
第6题图
(1)△ADE的面积为________；
(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为________．
7. (2023内江)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：FA＝BD；
(2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
第7题图
8. (2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
(2)当CD＝4时，求EG的长．
第8题图
拔高题
9. (2023绍兴改编)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.当E，F，O三点重合时，当点E，F分别为OB，OD的中点时，当E，F分别运动到B，D两点时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是( )
第9题图
A. 菱形→平行四边形→矩形
B. 菱形→矩形→菱形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形
10. (2023武侯区二诊节选)如图①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与点A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与点C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G.
(1)求证：PE∥FG；
(2)如图②，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值．
图①
图②
第10题图
参考答案与解析
1. C
2. C 【解析】∵正方形的边长为3，∴DC＝BC＝3，DC与BC分别垂直于y轴和x轴．∵点C在第一象限，∴点C的坐标为(3，3).
3. D 【解析】如解图，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥DB∥GF，HG∥AC∥EF，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH为平行四边形．要使其为正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，则AC⊥BD，AC＝BD，即对角线一定互相垂直且相等．
第3题解图
4. B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4.∵将线段AB水平向右平移得到线段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CE＝4时， ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.
5. C 【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确，∵向左扭动框架，∴BD的长度减小，故B正确；∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD的面积变小，故C错误；∵平行四边形ABCD的四条边长度不变，∴四边形ABCD的周长不变，故D正确．
6. B 【解析】如解图，连接AC，∵点E，F分别为AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴AC＝2EF＝4.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×8＝16.
第6题解图
7. D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，∴＝tan ∠ACB＝tan 30°＝.
8. D 【解析】∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，∴∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠CBE＋∠DBE＝β＋α.∴∠ADB＝∠ABD＝β＋α.∵∠BAD＋∠ADB＋∠ABD＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－α.
9. B 【解析】∵S正方形AMEF＝16，∴AM＝4.∵M是斜边BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边上的中线，∴BC＝2AM＝8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝4，∴S△ABC＝AB·AC＝×4×4＝8.
10. AD∥BC(答案不唯一) 【解析】当AD∥BC，AD＝BC时，四边形ABCD为平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
11. 3 【解析】如解图，过点P作PF⊥AB于点F，∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC.∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠AEP＝∠AFP.∵AP＝AP，∴△AEP≌△AFP(AAS)，∴PE＝PF.∵PE＝3，∴点P到直线AB的距离为PF＝3.
第11题解图
12. 10°或80° 【解析】如解图，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′.在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°.∵AC＝AE，∴∠AEC＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°.综上所述，∠AEC的度数是10°或80°.
第12题解图
13. 2或＋1 【解析】分两种情况，①当∠DNM＝90°时，如解图①，则MN∥AB，∴＝.∵M是BD的中点，∴BD＝2BM，∴AD＝2AN＝2；②当∠DMN＝90°时，如解图②，连接BN，∵M是BD的中点，∠DMN＝90°，∴BN＝DN＝＝＝，∴AD＝＋1.综上所述，AD的长为2或＋1.
图①
图②
第13题解图
14. 解：(1)四边形BPCO为平行四边形．
理由如下：由作法得，BP＝AC，CP＝BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝AC，OB＝BD,
∴OC＝BP，OB＝CP,
∴四边形BPCO为平行四边形．
(2)当 ABCD的对角线垂直且相等时，四边形BPCO为正方形．
理由：∵AC⊥BD，
∴四边形BPCO为矩形，
∵AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴四边形BPCO为正方形．
15. 解：(1)四边形EGFH是矩形．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BE＝DF，
∴AD－DF＝BC－BE，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠AEH＋∠FHE＝180°.
∵EH⊥CF，FG⊥AE，
∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形；
(2)∵FG⊥AE，
∴∠AGF＝90°.
在Rt△AGF中，tan ∠DAE＝＝2，
∴GF＝2AG.
∵EG＝2GF，
∴EG＝4AG.
∵AE＝AG＋EG＝5，
∴AG＝1，
即AG的长为1.
16. 20°；0° 【解析】①∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴该菱形的“接近度”为|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵当α＝β＝90°时，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°时，菱形是正方形．
课时2
1. C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA＝70°.
2. C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，BE＝DE，∵∠DBC＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD＝BD＝10.∵点F为BC中点，∴EF＝CD＝5.
3. D 【解析】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，∵∠ABC＝45°，∴剪下的图形有一个角为90°，∴有一个角为90°的菱形是正方形，∵AB＝4 cm，根据勾股定理得BC＝4 cm，故剪下来图形的周长为4×4＝16 cm.
4. 【解析】∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，∴AC＝2.∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，∴∠AOE＝90°，∴AC＝AE＝2，AO＝，∴OE＝.
5. 【解析】如解图，连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°， AB＝CD＝5，AD＝BC＝12.在Rt△ABD中，BD＝＝13.∴AC＝BD＝13.∵AC与BD交于点O，∴AO＝CO＝BO＝DO＝.∵S△BCO＝S四边形ABCD＝×12×5＝15，∴S△BCO＝S△BEO＋S△CEO＝BO·EG＋CO·EF＝×(EG＋EF)＝15，∴EF＋EG＝15×＝.
第5题解图
6. (1)3 【解析】(1)如解图，过点E作EM⊥AD于点M，∵△ADE是等腰三角形，EA＝ED＝，AD＝3，∴AM＝AD＝，∴EM＝＝＝2，∴S△ADE＝AD·EM＝×3×2＝3.
(2) 【解析】如解图，延长EM交AG于点N，∵∠BAD＝∠AME＝90°，∴AB∥NE，∴∠ABF＝∠FEN，∠BAF＝∠ENF.又∵点F为BE中点，∴BF＝EF，∴△AFB≌△NFE，∴EN＝BA＝3.由(1)知，EM＝2，∴NM＝1.∵∠NMD＝∠ADC＝90°，且M为AD中点，∴NM∥GD，∴NM为△AGD的中位线，∴GD＝2NM＝2，∴AG＝＝.
第6题解图
7. 证明：(1)∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
又∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AFE和△DCE中，
∵
∴△AFE≌△DCE，
∴AF＝DC.
又∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD；
(2)∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
又∵D是BC的中点，
∴∠ADB＝90°，
由(1)知FA＝BD，
又∵FA∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形．
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形ADBF是矩形．
8. 解：(1)四边形OCDE为菱形，
理由如下：
∵CE是线段OD的垂直平分线，
∴OF＝DF，OC＝DC.
∵CD∥OE，
∴∠EOF＝∠CDF.
∵∠EFO＝∠CFD，
∴△OFE≌△DFC，
∴OE＝CD，
∴四边形OCDE是平行四边形．
又∵OC＝CD，
∴四边形OCDE是菱形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴DO＝OC＝OA，
由(1)可知，OC＝DC，
∴OC＝DO＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DCO＝∠CDO＝60°，
∴∠FDG＝90°－60°＝30°.
∵四边形OCDE是菱形，
∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∠CGD＝90°－∠DCE＝60°，
∴∠EDG＝30°，
∴DG＝EG.
∵CD＝4，
∴tan ∠DCG＝＝，
∴DG＝4·tan 30°＝4×＝，
∴EG＝.
9. B 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∠ABD＝60°，∴∠CDF＝60°，∠EDA＝∠CBD＝30°.∵OE＝OF，O为对角线BD的中点，∴DF＝EB.由对称的性质得DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，∠F2DC＝∠CDF＝60°，∠EDA＝∠E1DA＝30°，∠F1BC＝∠FBC＝30°，∴E1F2＝E2F1，∠E1DB＝60°，∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF1，∴E1F2∥E2F1，∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，如解图①，当E，F，O三点重合时，DO＝BO，∴DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2，∴四边形E1E2F1F2是菱形，如解图②，当E，F分别为OB，OD的中点时，设DB＝4，则DF2＝DF＝1，DE1＝DE＝3，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝2，连接AE，易得AE＝AB＝，根据对称性可得AE1＝AE＝，∵AD2＝12，DE＝9，AE＝3，即AD2＝AE＋DE，∴△DE1A是直角三角形，且∠E1＝90°，∴四边形E1E2F1F2是矩形；如解图③，当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形，∴在这三个位置时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→矩形→菱形．
图①
图②
图③
第9题解图
10. (1)证明：由翻折知，∠APE＝∠OPE，
∵FG平分∠PFC，
∴∠PFG＝∠CFG.
∵AD∥BC，
∴∠APF＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠PFG，
∴PE∥FG；
(2)解：由翻折知，EA＝EO，∠EOP＝90°.
∵E，O，D三点在同一条直线上，
∴∠DOF＝∠EOF＝∠C＝90°.
又∵DF＝DF，∠OFG＝∠CFG，
∴△DOF≌△DCF(AAS)，
∴DO＝DC＝AB.
∵E是AB的中点，
∴设EA＝EB＝EO＝a，
∴OD＝CD＝AB＝2a，
∴DE＝OE＋OD＝3a.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，
∴AD＝＝2a.
∵AD＝nAB，
∴2a＝2na，
∴n＝.
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