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【2023秋北师大版七上数学满分讲练】
01选择题压轴题十四大题型总结
【题型1 化简绝对值】 1
【题型2 数轴上的距离和动点问题】 2
【题型3 有理数运算的应用】 3
【题型4 整式加减中无关型或恒成立问题】 4
【题型5 整式加减的应用】 6
【题型6 一元一次方程解与参数的问题】 7
【题型7 一元一次方程的应用】 8
【题型8 展开与折叠】 9
【题型9 由不同方向看物体的形状判断小立方体的个数】 11
【题型10 与线段有关的计算】 12
【题型11 与角度有关的计算】 12
【题型12 数式或图形规律的探索】 12
【题型13 数式或图形中新定义问题】 14
【题型14 数式或图形中多结论问题】 15
【题型1 化简绝对值】
【例1】（2023上·天津和平·七年级耀华中学校考期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
【变式1-1】（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．2
【变式1-2】（2023上·浙江杭州·七年级校考期末）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式1-3】（2023上·广东东莞·七年级校考期末）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（ ）
A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边
【题型2 数轴上的距离和动点问题】
【例2】（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第四十三中学校考期末）如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和8，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点返回至点时，整个运动过程停止．设运动时间为秒．
(1)当时，点对应的有理数是___________，的长度是___________．
(2)①当时，若点运动到整数点2，则点所在的数字是___________；
②点运动到原点时，点所在的数字是___________；
(3)我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”．当，两点第一次在整点处重合时，此整点对应的数是___________．
【变式2-1】（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，数轴上有，，三点，个单位长度，，，三点所对应的数分别为，，，且．动点，分别从点，处同时出发，在数轴上向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，当点重合时，，两点都停止运动．若运动过程中的某时刻点，满足，则此时动点在数轴上对应的数是 ．
【变式2-2】（2023上·河北沧州·七年级校考期末）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（ ）
①小聪：若点P，Q相对而行，当时，点P和点Q重合；
②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，点P和点Q重合；
③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，点P，Q之间的距离为8；
④小俐：当时，点P，Q之间的距离可能为6
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】（2023上·湖南永州·七年级统考期末）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：
(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；
(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？
(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
【题型3 有理数运算的应用】
【例3】（2023上·江苏无锡·七年级校联考期末）随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +4 -3 -5 +10 -8 +23 -6
(1)根据记录的数据可知前三天共卖出_____斤；
(2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤；
(3)若冬季每斤按7元出售，每斤冬枣的运费平均2元，那么小明本周一共收入多少元？
【变式3-1】（2023上·江苏苏州·七年级期末）小王上周五在股市以收盘价每股25元买进某公司的股票1000股，在接下来的一周交易日内，他记下该股票每日收盘价比前一天的涨跌情况单位：元：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
星期二收盘时，该股票每股多少元？
本周内，该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的2.5‰的交易费，卖出股票还需支付成交金额的1‰的手续费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【变式3-2】（2023上·陕西渭南·七年级统考期末）出租车司机王师傅某天早上营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天早上所接六位乘客的行车里程()如下：
2，+5，-4，+1，-6，-2
(1)将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在早上出发点的什么位置
(2)若汽车耗油量为，这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油多少升
(3)若出租车起步价为6元，起步里程为 (包括)，超过部分(不足按计算)每千米1．5元，王师傅这天早上共得车费多少元
【变式3-3】（2023上·湖南·七年级校考期末）已知、两地相距50米，小乌龟从地出发前往地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米……，按此规律行进，如果数轴的单位长度为1米，地在数轴上表示的数为．
(1)求出地在数轴上表示的数；
(2)若地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点，第八次行进后到达点，点、点到地的距离相等吗？说明理由？
(3)若地在原点右侧，那么经过次行进后，小乌龟到达的点与地之间的距离为多少(用表示)？
【题型4 整式加减中无关型或恒成立问题】
【例4】（2023上·江苏南京·七年级校联考期末）代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
﹣x﹣2 … 0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 a …
2x﹣2 … ﹣6 ﹣4 b 0 2 …
2x+1 … ﹣3 ﹣1 1 3 5 …
【初步感知】
（1）根据表中信息可知：a＝ ；b＝ ；
【归纳规律】
（2）表中﹣x﹣2的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，﹣x﹣2的值就减少1．类似地，2x+1的值随着x的变化而变的规律是： ；
（3）观察表格，下列说法正确的有 （填序号）；
①当﹣x﹣2＞2x+1时，x＞﹣1
②当﹣x﹣2＜2x+1时，x＞﹣1
③当x＞1时，﹣x﹣2＜2x﹣2
④当x＜1时，﹣x﹣2＞2x﹣2
【应用迁移】
（4）已知代数式ax+b与mx+n（a，b，m，n为常数且a≠0，m≠0），若无论x取何值，ax+b的值始终大于mx+n的值，试分别写出a与m，b与n的关系．
【变式4-1】（2023下·四川眉山·七年级校考开学考试）若对任何都成立，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式4-2】（2023上·四川遂宁·七年级四川省遂宁市第二中学校校考期末）一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式．
（1）为________次________项式．
（2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值．
（3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值．
【变式4-3】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．我们把数轴上点A到点C的距离表示为，同理，A到点B的距离表示为．
(1)在图1的数轴上， 个长度单位；在图2中刻度尺上， ；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 ；刻度尺上的对应数轴上的 个长度单位；
(2)在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数；
(3)点，分别从，出发，同时向右匀速运动，点的运动速度为5个单位长度秒，点的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒．在，运动过程中，若的值不会随的变化而改变，请直接写出符合条件的的值．
【题型5 整式加减的应用】
【例5】（2023上·广东广州·七年级执信中学校考期末）水果批发市场梨的价格如下表：
购买梨（千克） 单价
不超过10千克的部分 6元/千克
超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克
超出20千克的部分 4元千克
(1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）；
(2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克；
(3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）．
【变式5-1】（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期末）如图所示是婷婷家所在区的一条公路路线图，粗线是大路，细线是小路，七个公司，，，，，，分布在大路两侧，有一些小路与大路相连，现要在大路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）
A．路口C B．路口D C．路口E D．路口F
【变式5-2】（2023下·浙江杭州·七年级期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是 ．
【变式5-3】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字与百位数字的和为：，十位数字与个位数字的和为：，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为：，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个“七上八下数”，交换其百位数字和十位数字得到新数，并且定义，若与个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”，并说明理由．
【题型6 一元一次方程解与参数的问题】
【例6】（2023上·浙江宁波·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023下·安徽芜湖·七年级竞赛）方程的解是x＝（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023上·江苏南通·七年级统考期末）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则 ．
【题型7 一元一次方程的应用】
【例7】（2023上·辽宁沈阳·七年级校考期末）如图，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如果图中标注为1的正方形边长是5，那么这个完美长方形的周长为 ．
【变式7-1】（2023上·湖北武汉·七年级湖北省水果湖第一中学校联考期末）下表是某校七~七年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数
七年级 12.5 4 3
七年级 10.5 3 3
七年级 7 a b
表格中a、b的值正确的是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2
【变式7-2】（2023上·山东临沂·七年级校考期末）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为
【变式7-3】（2023上·重庆九龙坡·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）由于竞争激烈，某超市准备提前进行“双十一”促销活动，将A、B、C三种糖果采用两种不同方式搭配成礼盒销售，分别是“心意满满”礼盒、“幸福多多”礼盒，每盒的总成本为盒中A、B、C三种糖果成本之和（盒子由供货商提供，成本不计）．“心意满满”礼盒每盒只装有A糖果、B糖果各800克；“幸福多多”礼盒每盒装有400克A糖果、800克B糖果、1200克C糖果；“心意满满”礼盒的售价是60元．利润率是25%；“心意满满”礼盒、“孝福多多”礼盒一共买出81盒，每克B糖果的成本价是每克C糟果成本价的3倍，当天盘点结算时，把A糖果与B糖果每克的成本价弄反了，这导故卖出的实际总成本比盘点结束的总成本少200元，那么实际总成本应为 元．
【题型8 展开与折叠】
【例8】（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考期末）如图所示，图1为一个棱长为8的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：
（1）如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则______，______．
（2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是______（填“x”或“y”或“2”）
（3）图1中，点M为所在棱的中点，在图2中找点M的位置，直接写出图2中△ABM的面积．
【变式8-1】（2023上·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与重合的数字是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式8-2】（2023下·七年级单元测试）如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2023上·河南郑州·七年级校考期末）如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是 ；
A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断．
（2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
【题型9 由不同方向看物体的形状判断小立方体的个数】
【例9】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）一个几何体从正面和上面看到的图形如图所示，若这个几何体最多由个小正方体组成，最少由b个小正方体组成，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．21 D．22
【变式9-1】（2022上·广东佛山·七年级统考期中）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．在该几何体的表面（除最底层）喷上黄色的漆，若现在你手头还有一个相同的小正方体添上去，考虑颜色，要使从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，则新添的正方体至少要在 个面上着色．
【变式9-2】（2023上·山东淄博·七年级统考期中）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体从上面看如图所示，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体从正面看是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】（2023·浙江·七年级统考期末）一个立体图形，从正面看到的形状是图①，从左面看到的形状图是图②．搭这样的立体图形，最少需要 个小正方体，最多可以有 个正方体．
【题型10 与线段有关的计算】
【例10】（2023上·江苏盐城·七年级校考期末）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ．
【变式10-1】（2023·浙江·七年级统考期末）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式10-2】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、，现在以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，则点表示的数是 ．
【变式10-3】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
【题型11 与角度有关的计算】
【例11】（2023上·江苏泰州·七年级统考期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
【变式11-1】（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么 ．
【变式11-2】（2023上·重庆渝北·七年级统考期末）已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式11-3】（2023·浙江金华·七年级期末）如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过 分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
【题型12 数式或图形规律的探索】
【例12】（2023上·山东济南·七年级济南育英中学校考期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（2023上·浙江湖州·七年级校考期末）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数 ．
【变式12-2】（2023上·河北邯郸·七年级校考开学考试）一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，每两块之间的距离是米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有___________块．（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【变式12-3】（2023上·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（ ）
A． B． C． D．
【题型13 数式或图形中新定义问题】
【例13】（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）定义：对于任意一个三位自然数，若满足十位数字比百位数字大，个位数字比十位数字大，那么称这个三位数为“向上数”；对于任意一个三位自然数，若满足十位数字比百位数字小，个位数字比十位数字小，那么称这个三位数为“向下数”．将“向上数”的倍记为，“向下数”的倍记为，若是整数，则称每对，为“七上八下数对”．在所有“七上八下数对”中，的最大值是 ．
【变式13-1】（2023上·重庆·七年级校联考期末）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ．
【变式13-2】（2023上·江苏常州·七年级统考期末）定义：一种对于三位数abc(其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同)的F运算：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F运算也会得到一个定值，这个定值为（ ）
A．4159 B．6419 C．5179 D．6174
【变式13-3】（2023上·江西抚州·七年级校联考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ．
【题型14 数式或图形中多结论问题】
【例14】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式14-1】（2023上·安徽安庆·七年级统考期末）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：① ；②；③ ；④ ，其中正确结论的有 （ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【变式14-2】（2023上·四川宜宾·七年级统考期末）规定：，，例如，.
下列结论中，正确的是 （填写正确选项的番号）.
①若，则； ②若，则；
③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是7.
【变式14-3】（2023上·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【2023秋北师大版七上数学满分讲练】
01选择题压轴题十四大题型总结
【题型1 化简绝对值】 1
【题型2 数轴上的距离和动点问题】 5
【题型3 有理数运算的应用】 10
【题型4 整式加减中无关型或恒成立问题】 14
【题型5 整式加减的应用】 19
【题型6 一元一次方程解与参数的问题】 25
【题型7 一元一次方程的应用】 28
【题型8 展开与折叠】 32
【题型9 由不同方向看物体的形状判断小立方体的个数】 35
【题型10 与线段有关的计算】 35
【题型11 与角度有关的计算】 42
【题型12 数式或图形规律的探索】 48
【题型13 数式或图形中新定义问题】 52
【题型14 数式或图形中多结论问题】 55
【题型1 化简绝对值】
【例1】（2023上·天津和平·七年级耀华中学校考期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案．
【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴
=
=
=
=
=0；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，．
【变式1-1】（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．2
【答案】D
【分析】根据|a d|＝10，|a b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．
【详解】解：∵|a d|＝10，
∴a和d之间的距离为10，
假设a表示的数为0，则d表示的数为10，
∵|a b|＝6，
∴a和b之间的距离为6，
∴b表示的数为6，
∴|b d|＝4，
∴|b c|＝2，
∴c表示的数为8，
∴|c d|＝|8 10|＝2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数．
【变式1-2】（2023上·浙江杭州·七年级校考期末）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少．
【详解】解：∵，，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
∵，，，
∴，
分三种情况讨论，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
∴，，则．
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论．
【变式1-3】（2023上·广东东莞·七年级校考期末）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（ ）
A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边
【答案】B
【分析】可得，从而可得 ；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解．
【详解】解： 是的中点，
，
；
A． 在的左边，，，，
，
故此项不符合题意；
B． 在与之间时，，，，
，
故此项符合题意；
C．在与之间时，，，，
，
故此项不符合题意；
D．在的右边时，，，，
，
故此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键．
【题型2 数轴上的距离和动点问题】
【例2】（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第四十三中学校考期末）如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和8，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点返回至点时，整个运动过程停止．设运动时间为秒．
(1)当时，点对应的有理数是___________，的长度是___________．
(2)①当时，若点运动到整数点2，则点所在的数字是___________；
②点运动到原点时，点所在的数字是___________；
(3)我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”．当，两点第一次在整点处重合时，此整点对应的数是___________．
【答案】(1)3，2；
(2)①7；②6.5或；
(3)
【分析】（1）根据移动的速度和时间求出移动的距离，再根据数轴表示数的方法及数轴上两点间的距离进行计算即可；
（2）①根据点Q运动到整数点2求出移动的时间，再求出点P所在的数字；
②分别求出4次到原点时所用的时间，再求出点Q移动的距离，进而得出答案；
（3）分析得出P，Q两点第一次在整点处重合时，移动的时间为11秒，即点P返回到点A，点Q移动到点A，进而可得答案．
【详解】（1）解：当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为，
则的长度是为，
故答案为：3，2；
（2）解：①当时，若点Q运动到整数点2，
则移动的时间为，
∴点P移动的距离为，
∵，
∴点P所在的数字为，
故答案为：7；
②当点P第1次运动到原点时，，
此时点Q所表示的数为，
当点P第2次运动到原点时，，
此时点Q所表示的数为，
当点P第3次运动到原点时，，
此时点Q所表示的数为，
当点P第4次运动到原点时，，
此时点Q所表示的数为，
综上所述，点运动到原点时，点所在的数字是或，
故答案为：6.5或；
（3）解：∵点P、Q每秒移动的距离之和为3个单位长度，且重合时移动的距离之和为11的整数倍，
∴当P，Q两点第一次在整点处重合时，移动的时间为11秒，即点P返回到点A，点Q移动到点A，
∴此整点对应的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，理解数轴表示数的方法是解决问题的关键．
【变式2-1】（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，数轴上有，，三点，个单位长度，，，三点所对应的数分别为，，，且．动点，分别从点，处同时出发，在数轴上向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，当点重合时，，两点都停止运动．若运动过程中的某时刻点，满足，则此时动点在数轴上对应的数是 ．
【答案】或
【分析】根据数轴上两点间的距离可得，联立方程求得，，，根据题意可求得当点，运动的时间为秒时，，两点都停止运动；分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别求得和的值，代入求解即可得到当或时，点，满足；分别求得的值，即可求得此时点在数轴上对应的数．
【详解】解：∵，∴，即，∴，即，又∵，联立得，解得，∴，
∵动点，分别从点，处同时出发，在数轴上向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，设点，的运动时间为，则，，
当点重合时，，两点都停止运动，
即，
∴，
解得：，即当点，运动的时间为秒时，点重合；
当点在点的左侧时，，
，
若满足，即，
解得：；
当点在点的右侧时，，
，
若满足，即，
解得：；
∵，，
故当或时，点，满足；
当时，，则此时点在数轴上对应的数是，
当时，，则此时点在数轴上对应的数是，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题等，分别求得和的值是解题的关键．
【变式2-2】（2023上·河北沧州·七年级校考期末）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（ ）
①小聪：若点P，Q相对而行，当时，点P和点Q重合；
②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，点P和点Q重合；
③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，点P，Q之间的距离为8；
④小俐：当时，点P，Q之间的距离可能为6
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据4位同学的描述分别列式求解判断即可．
【详解】解：①小聪：若点P，Q相对而行，
当时，
P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：，
∴点P和点Q重合，
∴①正确；
②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，
当时，
P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：，
∴点P和点Q重合，
∴②正确；
③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，
当时，
P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：，
，
∴点P，Q之间的距离为8，
∴③正确；
④小俐：当时，
若点P，Q相对而行，
P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：，
，
∴此时点P，Q之间的距离为6，
∴④正确．
综上所述，正确的有①②③④，有4个．
故选：D．
【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意正确列出算式求解．
【变式2-3】（2023上·湖南永州·七年级统考期末）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：
(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；
(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？
(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
【答案】(1)2.5
(2)15
(3)
【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间；
（2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间；
（3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3
∴BC=1-(-9)=10(个单位)，
∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒，
∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，
∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)；
（2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)，
∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，
∴动点P从点A运动至D点需要的时间为
6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)；
（3）设运动时间为t秒，
①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等；
②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)，
∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，
解得t=5，
此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在；
③当3
解得t=或t=，
∴P表示的数是或；
④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t，
∴t-4-0=0-(8-2t)，
解得t=4(不合题意，舍去)，
综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示动点表示的数，根据运动过程分类讨论．
【题型3 有理数运算的应用】
【例3】（2023上·江苏无锡·七年级校联考期末）随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +4 -3 -5 +10 -8 +23 -6
(1)根据记录的数据可知前三天共卖出_____斤；
(2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤；
(3)若冬季每斤按7元出售，每斤冬枣的运费平均2元，那么小明本周一共收入多少元？
【答案】(1)296 ;(2)31; (3)3575.
【分析】（1）根据前三天销售量相加计算即可；
（2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（3）将总数量乘以价格差解答即可．
【详解】解：（1）4-3-5+300=296（斤）．
答：根据记录的数据可知前三天共卖出296斤．
（2）23+8=31（斤）．
答：根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售31斤．
（3）∵+4-3-5+10-8+23-6=15＞0，
∴一周收入=（15+100×7）×（7-2）
=715×5
=3575（元）．
答：小明本周一共收入3575元．
故答案为296；31；3575元．
【点睛】此题考查利用正数和负数解决实际问题，此题的关键是读懂题意，列式计算．
【变式3-1】（2023上·江苏苏州·七年级期末）小王上周五在股市以收盘价每股25元买进某公司的股票1000股，在接下来的一周交易日内，他记下该股票每日收盘价比前一天的涨跌情况单位：元：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
星期二收盘时，该股票每股多少元？
本周内，该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的2.5‰的交易费，卖出股票还需支付成交金额的1‰的手续费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【答案】(1)26.3元 (2)28元；26.2元 (3) 收益1922元
【分析】（1）由题意可知：星期一比上周的星期五涨了2元，星期二比星期一跌了0.7元，则星期二收盘价表示为25+2-0.7，然后计算；
（2）星期一的股价为25+2=27；星期二为27-0.7=26.3；星期三为26.3+1.7=28；星期四为28-1.8=26.2；星期五为26.2+0.8=27；则星期三的收盘价为最高价，星期四的收盘价为最低价；
（3）计算上周五以25元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出时的价钱×（1-2.5‰-1‰）-买进时的价钱×（1+2.5‰）即为小王的收益．
【详解】（1）星期二收盘价为25+2-0.7=26.3（元/股）．
（2）收盘最高价为25+2-0.7+1.7=28（元/股），收盘最低价为25+2-0.7+1.7-1.8=26.2（元/股）．
（3）小王的收益为：27×1000（1-2.5‰-1‰）-25×1000（1+2.5‰）=1843（元）．
∴小王的本次收益为1843元．
【点睛】考核知识点：有理数运算的运用.
【变式3-2】（2023上·陕西渭南·七年级统考期末）出租车司机王师傅某天早上营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天早上所接六位乘客的行车里程()如下：
2，+5，-4，+1，-6，-2
(1)将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在早上出发点的什么位置
(2)若汽车耗油量为，这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油多少升
(3)若出租车起步价为6元，起步里程为 (包括)，超过部分(不足按计算)每千米1．5元，王师傅这天早上共得车费多少元
【答案】（1）西4千米；（2）2升；（3）49.5元
【分析】（1）计算出六次行车里程的和，看其结果上午正负即可判断位置；
（2）求出所记录的六次行车里程的绝对值的和，再计算油耗即可；
（3）分别计算每位乘客的车费求和即可．
【详解】解：（1）（千米）
答：将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在早上出发点西侧4千米处；
（2）（千米），
答：这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油2升；
（3）（元）
答：王师傅这天早上共得车费49.5元．
【点睛】本题考查的知识点是正数和负数，理解正负数所代表的意义是解此题的关键．
【变式3-3】（2023上·湖南·七年级校考期末）已知、两地相距50米，小乌龟从地出发前往地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米……，按此规律行进，如果数轴的单位长度为1米，地在数轴上表示的数为．
(1)求出地在数轴上表示的数；
(2)若地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点，第八次行进后到达点，点、点到地的距离相等吗？说明理由？
(3)若地在原点右侧，那么经过次行进后，小乌龟到达的点与地之间的距离为多少(用表示)？
【答案】(1)34或
(2)点、点到地的距离相等，理由见解析
(3)即经过次行进后，小乌龟到达的点与点的之间的距离为或或
【分析】本题考查了数轴、有理数加减法的应用，
（1）分地在地的左侧和地在地的右侧两种情况，再分别根据数轴的定义即可得；
（2）先求出点、表示的数，再根据数轴的定义即可得；
（3）先分别求出为奇数时，小乌龟到达的点表示的数和为偶数时，小乌龟到达的点表示的数，再根据数轴的定义即可得．
正确进行分类讨论是解决问题的关键．
【详解】（1）解：由题意，分以下两种情况：
①当地在地的左侧时，
则地在数轴上表示的数为，
②当地在地的右侧时，
则地在数轴上表示的数为，
答：地在数轴上表示的数是34或；
（2）由题意，点表示的数为，
点表示的数为，
则点到地的距离为（米），
点到地的距离为（米），
故点、点到地的距离相等；
（3）由（1）知，当地在原点右侧，地在数轴上表示的数为34，
由题意，分以下两种情况：
①当为奇数时，
小乌龟到达的点表示的数为，此时该点表示的数可能在点的左侧，也可能在点的右侧，
则小乌龟到达的点与地之间的距离为或；
②当为偶数时，
小乌龟到达的点表示的数为，此时该点表示的数必定为负数，在点的左侧，
则小乌龟到达的点与地之间的距离为．
综上，即经过次行进后，小乌龟到达的点与点的之间的距离为或或．
【题型4 整式加减中无关型或恒成立问题】
【例4】（2023上·江苏南京·七年级校联考期末）代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
﹣x﹣2 … 0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 a …
2x﹣2 … ﹣6 ﹣4 b 0 2 …
2x+1 … ﹣3 ﹣1 1 3 5 …
【初步感知】
（1）根据表中信息可知：a＝ ；b＝ ；
【归纳规律】
（2）表中﹣x﹣2的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，﹣x﹣2的值就减少1．类似地，2x+1的值随着x的变化而变的规律是： ；
（3）观察表格，下列说法正确的有 （填序号）；
①当﹣x﹣2＞2x+1时，x＞﹣1
②当﹣x﹣2＜2x+1时，x＞﹣1
③当x＞1时，﹣x﹣2＜2x﹣2
④当x＜1时，﹣x﹣2＞2x﹣2
【应用迁移】
（4）已知代数式ax+b与mx+n（a，b，m，n为常数且a≠0，m≠0），若无论x取何值，ax+b的值始终大于mx+n的值，试分别写出a与m，b与n的关系．
【答案】（1）﹣4，﹣2；（2）x的值每增加1，2x+1的值就增加2；（3）②③；（4）a＝m，b＞n
【分析】（1）将x值代入对应的代数式求值即可；
（2）根据2x+1的变化规律进行描述即可；
（3）结合表格进行分析即可得出结果；
（4）无论x取何值，ax+b的值始终大于mx+n的值，即，合并同类项后可得：，结合代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化的规律即可求解．
【详解】解：（1）当x＝2时，﹣x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4，
故a＝﹣4；
当x＝0时，2x﹣2＝2×0﹣2＝﹣2，
故b＝﹣2，
故答案为：﹣4，﹣2；
（2）2x+1的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，2x+1的值就增加2；
故答案为：x的值每增加1，2x+1的值就增加2；
（3）①当x＜﹣1时，﹣x﹣2＞-1，2x+1＜-1,所以﹣x﹣2＞2x+1，故①说法错误；
②当x＞﹣1时，﹣x﹣2＜-1，2x+1＞-1,所以﹣x﹣2＜2x+1，故②说法正确；
③当x＞1时，﹣x﹣2＜-3，2x-2＞0,所以﹣x﹣2＜2x-2，故③说法正确；
④当x＜1时，结合②③可知两个代数式值大小不能确定，故④说法错误；
故答案为：②③；
（4），
∵无论x取何值，ax+b的值始终大于mx+n的值，即
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了代数式求值和代数式值的变化规律，解题关键是得出代数式值的变化规律．
【变式4-1】（2023下·四川眉山·七年级校考开学考试）若对任何都成立，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】先把已知条件式变形为，再根据题意可得，由此求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵对任何都成立，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，正确推出是解题的关键．
【变式4-2】（2023上·四川遂宁·七年级四川省遂宁市第二中学校校考期末）一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式．
（1）为________次________项式．
（2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值．
（3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值．
【答案】（1）六，四；（2）；（3）．
【分析】（1）根据一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，即可解答；
（2）计算出，根据不含二次项，即二次项的系数为0，求出，的值，即可解答；
（3）先将关于的二次多项式变形，根据二次多项式的特点求出、的值，进而求出当时，该多项式的值．
【详解】解：（1）为六次四项式；
故答案为：六，四；
（2），
中不含二次项，
，，
，，
；
（3）．
是关于的二次多项式
，即．
又当时，原代数式的值是
解得：．
关于的二次多项式
当时，原式．
【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念．
【变式4-3】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．我们把数轴上点A到点C的距离表示为，同理，A到点B的距离表示为．
(1)在图1的数轴上， 个长度单位；在图2中刻度尺上， ；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 ；刻度尺上的对应数轴上的 个长度单位；
(2)在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数；
(3)点，分别从，出发，同时向右匀速运动，点的运动速度为5个单位长度秒，点的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒．在，运动过程中，若的值不会随的变化而改变，请直接写出符合条件的的值．
【答案】(1)10； 6； 0.6；
(2)b的值是0，点Q所表示的数为2或10
(3)或．
【分析】（1）等于、两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得，用在刻度尺上的数值除以数轴上的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的对应数轴上的多少长度单位；
（2）到在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得的值，由于，可以列式求得点所表示的数；
（3）根据列出式子，的值不会随的变化而改变，所以的系数为0，可求得的值．
【详解】（1），
刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，点对齐刻度，
在图2中刻度尺上，，
，
数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的，
，
刻度尺上的对应数轴上的个单位长度，
故答案为：10，6，0.6，；
（2）点对齐刻度，
数轴上点所对应的数为，，
，，
设点在数轴上对应的点为，则，
，
解得：或，
点所表示的数为4或12，
的值是0，点所表示的数为4或12；
（3）由题意得，点追上点前，即，
，，
，
的值不会随的变化而改变，
，
解得：，
点追上点后，即，
，，，
，
的值不会随的变化而改变，
，
解得：，
或．
【题型5 整式加减的应用】
【例5】（2023上·广东广州·七年级执信中学校考期末）水果批发市场梨的价格如下表：
购买梨（千克） 单价
不超过10千克的部分 6元/千克
超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克
超出20千克的部分 4元千克
(1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）；
(2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克；
(3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）．
【答案】(1)，
(2)9，19，25
(3)当时，共需要付费元；当时，共需要付费元；
【分析】本题考查列代数式，分段收费的问题；要注意购买的千克数在哪个段，就按哪个段的价格算总费用；总费用单价数量；
（1）5千克在“不超过10千克的部分”按6元千克收费；第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），按6元/千克、5元/千克分段收费；
（2）由小强买梨花了元可知，买梨的千克数不超过10千克，按单价为6元/千克收费；
由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，按6元/千克、5元/千克分段收费；由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，按6元/千克、5元/千克、4元/千克分段收费；
（3）由两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克可知，的取值范围不确定，需要用分类讨论的思想进行解答，
当时，分别算第一次和第二次的总费用；
当时，注意第一次购买有2段费用，第二次购买有3段费用，然后再相加；
分类讨论思想的运用是解题的关键．
【详解】（1）解：千克在“不超过10千克的部分”按6元千克收费，
元；
第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），
元
故答案为：，；
（2）由小强买梨花了元可知，买梨的千克数不超过10千克，单价为6元/千克，
故小强购买梨千克；
由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，
故小强购买梨千克；
由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，
故小强购买梨千克；
故答案为：9，19，25；
（3）两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克，
第二次购买千克，
当，时，需要付费为：
元，
当，时，需要付费为：
元，
故当时，小强两次购买梨共需要付费元；
当时，小强两次购买梨共需要付费元；
【变式5-1】（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期末）如图所示是婷婷家所在区的一条公路路线图，粗线是大路，细线是小路，七个公司，，，，，，分布在大路两侧，有一些小路与大路相连，现要在大路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）
A．路口C B．路口D C．路口E D．路口F
【答案】B
【分析】本题主要考查了实际问题中的大小比较，列代数式，整式的加减，根据给定图形，用表示个公司到大公路最近的小公路距离和，，再求出到路口，，，的距离总和，比较大小作答．
【详解】解∶观察图形知，七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，
令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为， ， ， ， ，
路口为中转站时，距离总和．
路口为中转站时，距离总和．
路口为中转站时，距离总和 ．
路口为中转站时，距离总和，
∴，
∴这个中转站最好设在路口．
故选∶ B．
【变式5-2】（2023下·浙江杭州·七年级期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是 ．
【答案】
【分析】本题需先设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，再结合图形分别得出图形（3）的阴影周长和图形（4）的阴影周长，相等后列等式可得：a＝2y，x＝3b，最后根据长方形面积公式可得结论．
【详解】解：设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，
由两个长方形ABCD的AD＝3b＋2y＝a＋x，
∴图（3）阴影部分周长为：2（3b＋2y＋DC x）＝6b＋4y＋2DC 2x＝2a＋2x＋2DC 2x＝2a＋2DC，
∴图（4）阴影部分周长为：2（a＋x＋DC 3b）＝2a＋2x＋2DC 6b＝2a＋2x＋2DC 2（a＋x 2y）＝2DC＋4y，
∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，
∴2a＋2DC＝2DC＋4y，a＝2y，
∵3b＋2y＝a＋x，
∴x＝3b，
∴S1：S2＝ab：xy＝2yb：3yb＝，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，根据题意结合图形得出3b＋2y＝a＋x ，2a＋2DC＝2DC＋4y是解题的关键．
【变式5-3】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字与百位数字的和为：，十位数字与个位数字的和为：，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为：，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个“七上八下数”，交换其百位数字和十位数字得到新数，并且定义，若与个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”，并说明理由．
【答案】（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由见详解；（2）2562、6153、3426、7017
【分析】（1）根据“七上八下数”的定义，直接判断即可；
（2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，根据、与个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，可得，从而得，再对d的值进行分类讨论即可．
【详解】解：（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由如下：
∵2571的千位数字与百位数字的和为：2+5=7，十位数字和个位数字和为：7+1=8，
∴2571是七上八下数，
∵4425的千位数字与百位数字的和为：4+4=8≠7，十位数字和个位数字和为：2+5=7≠8，
∴4425不是七上八下数；
（2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，其中a+b=7，c+d=8，
其中1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，则交换百位数字和十位数字后得到新数为=1000a+100c+10b+d，
∴==，
∵与个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，
∴设，
∴，
∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，
∴是正整数，
∵c+d=8，即c=8-d，
∴，即：，
当d=0时，＞8，不合题意，舍去；
当d=1时，，
∵0≤b≤6，
∴=0或1或2，
∵n为正整数，
∴没有符合的n值；
当d=2时，，
∵0≤b≤6，
∴=0或1或2或3或4或5或6，
∵n为正整数，
∴=5符合条件，此时，b=5，d=2，a=7-b=2，c=8-d=6，
∴m=2562，
同理：当d=3时，，
∵0≤b≤6，
∴=4或5或6或7或8或9或10，
∵n为正整数，
∴=5符合条件，此时，b=1，d=3，a=7-b=6，c=8-d=5，
∴m=6153；
同理：当d=4时，没有满足条件的n；
当d=5时，没有满足条件的n；
当d=6时，m=3426；
当d=7时，m=7017；
当d=8时，没有满足条件的n．
综上所述：满足条件的所有“七上八下数”为2562、6153、3426、7017．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，理解“七上八下数”的定义，列出代数式，式解题的关键．
【题型6 一元一次方程解与参数的问题】
【例6】（2023上·浙江宁波·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案．
【详解】∵，得到，
∴的解为，
∵方程的解是，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
【变式6-1】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
将系数化为1，得
是非负整数解
或，，时，的解都是非负整数
则
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【变式6-2】（2023下·安徽芜湖·七年级竞赛）方程的解是x＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，
∴提取公因式，得
，
将方程变形，得
，
提取公因式，得
，
移项，合并同类项，得
，
系数化为1，得
x=.
故选C.
【变式6-3】（2023上·江苏南通·七年级统考期末）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3，，
∴．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
【题型7 一元一次方程的应用】
【例7】（2023上·辽宁沈阳·七年级校考期末）如图，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如果图中标注为1的正方形边长是5，那么这个完美长方形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，设第2个正方形的边长为，根据图形分别表示出10个正方形的边长，根据长方形的对边相等求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
设第2个正方形的边长为，
则第3个正方形的边长为，
第4个正方形的边长为，
第5个正方形的边长为，
第6个正方形的边长为，
第7个正方形的边长为，
第10个正方形的边长为，
第8个正方形的边长为
第9个正方形的边长为
根据长方形的对边相等，可得
解得：
∴长方形的周长为,
故答案为：．
【变式7-1】（2023上·湖北武汉·七年级湖北省水果湖第一中学校联考期末）下表是某校七~七年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数
七年级 12.5 4 3
七年级 10.5 3 3
七年级 7 a b
表格中a、b的值正确的是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2
【答案】D
【分析】对比图表中七、七年级小组活动次数可知，七年级比七年级多活动1次文艺小组，总时间多2小时，由此可以指导文艺小组活动每次2小时，再通过七年级的活动次数可以求出科技小组活动每次1.5小时，然后列代数式，求代数式的整数解．
【详解】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．
设七年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
故选D
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．
【变式7-2】（2023上·山东临沂·七年级校考期末）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为
【答案】
【分析】根据将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，可得，再观察“六角幻星”图可知与相差6，只有，3或0，6满足，依此即可求解．
【详解】解：设右下边为，由满足6条边上四个数之和都相等，它们的和为，如图所示：
观察图形还有，，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知与相差6，只有，3或0，6满足，
则或，
解得或，
当时，，或又有1个为0（不合题意舍去），
当时，符合题意．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键是用字母表示出，，0，3，4，6五个数字，难度较大．
【变式7-3】（2023上·重庆九龙坡·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）由于竞争激烈，某超市准备提前进行“双十一”促销活动，将A、B、C三种糖果采用两种不同方式搭配成礼盒销售，分别是“心意满满”礼盒、“幸福多多”礼盒，每盒的总成本为盒中A、B、C三种糖果成本之和（盒子由供货商提供，成本不计）．“心意满满”礼盒每盒只装有A糖果、B糖果各800克；“幸福多多”礼盒每盒装有400克A糖果、800克B糖果、1200克C糖果；“心意满满”礼盒的售价是60元．利润率是25%；“心意满满”礼盒、“孝福多多”礼盒一共买出81盒，每克B糖果的成本价是每克C糟果成本价的3倍，当天盘点结算时，把A糖果与B糖果每克的成本价弄反了，这导故卖出的实际总成本比盘点结束的总成本少200元，那么实际总成本应为 元．
【答案】4288
【分析】根据题意可得“心意满满”礼盒的成本价格，进而可求出A糖果、B糖果各800克的成本价格为48元；设每克C糟果成本价为x，则，每克B糟果成本价为3x，每克A糖果的成本价为可得实际成本和弄错了的成本分别 元和48元；设买出“心意满满”礼盒m盒，“孝福多多”礼盒n盒，则： ，然后根据“当天盘点结算时，把A糖果与B糖果每克的成本价弄反了，这导故卖出的实际总成本比盘点结束的总成本少200元”列出方程整理得，然后再列出实际成本的代数式，将和整体代入即可解答．
【详解】设“心意满满”礼盒成本价格a元，由题意可得：，解得，
∵“心意满满”礼盒每盒只装有A糖果、B糖果各800克，
∴A糖果和B糖果各800克的成本价格是48元，
设每克C糟果成本价为x，则每克B糟果成本价为3x，每克A糖果的成本价为
∴“幸福多多”礼盒的实际成本为 元；把A糖果与B糖果每克的成本价弄反了“幸福多多”礼盒的实际成本为（元）
设买出“心意满满”礼盒m盒，“孝福多多”礼盒n盒，则：，
根据题意可得：
整理得:
∴实际总成本为：
=
=
=4288（元）．
故答案为：4288．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识点，正确理解题意是解答本题的关键．
【题型8 展开与折叠】
【例8】（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考期末）如图所示，图1为一个棱长为8的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：
（1）如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则______，______．
（2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是______（填“x”或“y”或“2”）
（3）图1中，点M为所在棱的中点，在图2中找点M的位置，直接写出图2中△ABM的面积．
【答案】（1）12；8（2）2；（3）16或80
【分析】（1）正方体展开图中，相对的两个面之间必然隔着一个正方形，由此知道“2”与“x”是相对面，“4”与“10”是相对面，“6”与“y”是相对面，由相对面两个数之和相等，列式计算即可；
（2）由相邻面和相对面的关系，分析判断即可得到答案；
（3）由点M所在的棱为两个面共用，可以判断得到点M的位置，根据三角形面积公式，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵正方体相对面上的两个数字之和相等
∴，
∴，
故答案为：12；8
（2）若面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是“2”
（3）因为点M所在的棱为两个面共用，所以它的位置有两种情况，第一种情况如下图：
设点M左边的顶点为点D，则
第二种情况如下图：
综上所述，的面积为：16或80
【点睛】本题考查正方体的展开图，能够准确区分展开图的相对面和相邻面是解题的关键．
【变式8-1】（2023上·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与重合的数字是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【分析】当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，1与13重合、2与4重合、5与7重合、10与12重合，右面一个正方形折成正方体的盖，此时8与2、4的重合，9与1、13的重合．
【详解】解：当把这个平面图形折成正方体时，与4重合的数字是2、8.
故选：D．
【点睛】本题是考查正方体的展开图，训练学生观察和空间想象的能力．
【变式8-2】（2023下·七年级单元测试）如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可．
【详解】选项A、C、D折叠后都符合题意；
只有选项B折叠后两个画一条线段与另一个画一条线段的三角形不交于一个顶点，与正方体三个画一条线段的三角形交于一个顶点不符．
故选B.
【点睛】此题考查的知识点是几何体的展开图，关键是解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
【变式8-3】（2023上·河南郑州·七年级校考期末）如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是 ；
A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断．
（2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
【答案】（1）C；（2）不正确，理由见解析；（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形见解析
【分析】（1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此与原来的表面积相等；
（2）根据多出来的棱的条数及长度得出答案；
（3）根据展开图判断即可．
【详解】解：（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个相同的小面”，因此与原来的表面积相等，即a＝b
故答案为：a＝b；
（2）如图④红颜色的棱是多出来的，共6条，当且仅当每一条棱都等于原来正方体的棱长的一半，n比m正好多出大正方体的3条棱的长度，故小明的说法是不正确的；
（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形，如图⑤所示．
【点睛】本题考查几何体表面积的意义、棱长之和、几何体的表面展开图，考查学生的观察能力，关键是抓住几何图形变换后边长和棱长的变与不变的量．
【题型9 由不同方向看物体的形状判断小立方体的个数】
【例9】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）一个几何体从正面和上面看到的图形如图所示，若这个几何体最多由个小正方体组成，最少由b个小正方体组成，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．21 D．22
【答案】C
【分析】根据简单组合体正面和上面看到图形，求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：这个几何体小正方体最多时：第一列的有8个小正方体，第二列有1个小正方体，共9个小正方体组成，
最少时：第一列的有5个小正方体，第二列有1个小正方体，共6个小正方体组成，
即，，
∴，
故选：C．
【变式9-1】（2022上·广东佛山·七年级统考期中）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．在该几何体的表面（除最底层）喷上黄色的漆，若现在你手头还有一个相同的小正方体添上去，考虑颜色，要使从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，则新添的正方体至少要在 个面上着色．
【答案】2
【分析】分析几何体，找到可以保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变的正方体放置位置，计算正方体的着色面即可．
【详解】解：为保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，正方体添加的位置如下图所示，
∵小正方体添加后，左面、底面和背面被遮挡且不从右面看，
∴至少需要在正面、顶部两个面上着色，
故答案为：2．
【点睛】本题考查几何体，解题的关键是找出小正方体的添加位置．
【变式9-2】（2023上·山东淄博·七年级统考期中）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体从上面看如图所示，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体从正面看是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
【详解】由俯视图可知，组成该几何体的小正方体分4列，从左到右每列最多的正方体个数为1、2、1、2，
所以从正面看为B．
故选B．
【变式9-3】（2023·浙江·七年级统考期末）一个立体图形，从正面看到的形状是图①，从左面看到的形状图是图②．搭这样的立体图形，最少需要 个小正方体，最多可以有 个正方体．
【答案】 4 7
【分析】利用从上面看到的图，分别写出最少，最多时，正方形的个数，可得结论．
【详解】解：从上面看到的最少的情形见图，有0+2+0+1+10+1=4（个），
从上面看到的最多的情形见图，有1+2+1+1+1+1=7（个），
故答案为：4，7．
【点睛】本题考查由从不同方向看几何体，准确把握空间几何体的几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．
【题型10 与线段有关的计算】
【例10】（2023上·江苏盐城·七年级校考期末）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ．
【答案】或2或
【分析】设三条线段的长分别是，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可．
【详解】∵三条线段的长度之比为，
∴设三条线段的长分别是，
∵到5的距离是6，
∴，
解得，
∴三条线段的长分别为，，3，
如图所示：
①当时，折痕点表示的数是；
②当时，折痕点表示的数是；
③当时，折痕点表示的数是；
综上所述：折痕处对应的点表示的数可能是或2或．
故答案为：或2或
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．
【变式10-1】（2023·浙江·七年级统考期末）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由题意可求出，，，．再根据题意结合速度=路程÷时间讨论即可．
【详解】解：由题意可知．
∵，
∴，，
∴，．
当大货车第一次到达D地时，用时，
∴此时小车行驶路程为．
∵，
∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵，
∴大货车到达C地用时．
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，
则，
解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；
当大货车继续由C地返回B地时，
∵，
∴大货车到达B地用时．
此时大货车共行驶．
∵小车到达C地用时，
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠．
∵小车中途在C地停靠3分钟，即，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠．
当大货车又从B地出发前往D地时，用时，
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了．
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，
则，
解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，
∴此过程两车没相遇．
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，
∴两车此过程必相遇．
综上可知，两车相遇的次数为2次．
故选A．
【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方程是解题关键．
【变式10-2】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、，现在以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，则点表示的数是 ．
【答案】或
【分析】根据题意，点分两种情况：①在右侧；②在左侧，作图求解即可得到答案．
【详解】解：分两种情况：
①如图所示：
点表示的数分别是、，
，
以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，
，
，
点表示的数是；
②如图所示：
点表示的数分别是、，
，
以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，
，
，
点表示的数是；
综上所述，点表示的数是或．
【点睛】本题考查数轴上点表示的数，涉及两点间距离，读懂题意，分类讨论，准确边上线段和差倍分关系是解决问题的关键．
【变式10-3】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
【答案】或13
【分析】画出图形，分两种情况讨论①；②．设，根据直线l上所有线段的长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出的长.
【详解】①当时，如图1
设，则 ， ，，
∵直线l上所有线段的长度之和为91
②当时，如图2,
故答案为：或13
【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l上的线段的条数，及要进行分类讨论.
【题型11 与角度有关的计算】
【例11】（2023上·江苏泰州·七年级统考期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
【答案】或
【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒；
∴运动的时间相同；
设运动时间为秒，
则：，
∵，
∴，
当时：，
∴，
，
∴，
∴，
∴，即：；
当，在上方时：如图，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，即：；
当，在下方时：如图2，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，即：；
综上：与之间的数量关系为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
【变式11-1】（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么 ．
【答案】或
【分析】先通过方程有无数多个解解出的值，然后分类讨论C点的位置直接求解即可．
【详解】关于x的方程有无数多个解
，则，解得
1.当C在内部时，如图
平分，
设，则，，
，解得
2.当C在外部时，如图
平分，
设，则，，
，解得
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查一元一次方程解的情况，以及角的计算，解题关键是无数组解的情况是未知数的系数和常数项分别为0，解题技巧是射线需要分类讨论不同的位置．
【变式11-2】（2023上·重庆渝北·七年级统考期末）已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．
故选D．
【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
【变式11-3】（2023·浙江金华·七年级期末）如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过 分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
【答案】6或
【分析】分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线进行计算即可．
【详解】设时针为OB，分针为OA．
当时针为OB为角平分线时，如图1所示：
设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜-6x゜+，∠BOC=30゜－，依题意得：
60-6x+＝30－
解得x=6；
当时针为OC为角平分线时，如图2所示：
设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－，依题意得：
6x-90＝30－
解得x=；
综合上述可得：经过6分钟或分钟时，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
故答案为：6或．
【点睛】考查了一元一次方程的应用和角平分线的性质，解题关键是分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线和利用方程求得其角度．
【题型12 数式或图形规律的探索】
【例12】（2023上·山东济南·七年级济南育英中学校考期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果．
【详解】解：线段，线段和的中点分别为，，
，
线段和的中点，，
，
发现规律：
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．
【变式12-1】（2023上·浙江湖州·七年级校考期末）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数 ．
【答案】5044
【分析】翻转两次后点B落在数轴上，根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数得出翻转几个周期循环，确定点B落在数轴上推算出移动的距离得出结果.
【详解】如图，翻转两次后点B落在数轴上，以后翻转4次为一个周期，且长方形的周长=2（2+3）=10，
∴一个周期后右边的点移动10个单位长度，
∵，
∴翻转2018次后，点B落在数轴上，
点B所对应的数是，
故答案为：5044.
【点睛】此题考查旋转的性质，长方形的性质，图形规律类运算探究，根据图形得到变化的规律是解题的关键.
【变式12-2】（2023上·河北邯郸·七年级校考开学考试）一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，每两块之间的距离是米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有___________块．（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】设有块石头，为自然数，中间石头的两边都有块石头，两边最远的距离都是米，再往中间的距离依次为，，……，，，除第一次搬石头走1次外，其余石头都需要走2次，列式求解即可．
【详解】解：设有块石头，为自然数，
由题意可得：中间石头的两边都有块石头，两边最远的距离都是米，再往中间的距离依次为，，……，，，
除第一次搬石头走1次外，其余石头都需要走2次，
则：
即
因为石头的总数为奇数个，
所以排除B、D选项，
当石头总数为15块时，即，解得
将代入可得，A选项不符合题意；
当石头总数为17块时，即，解得
将代入可得，则C选项符合题意，
即这些石头共有17块
故选C
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，规律问题的探索，解题的关键是表示出当石头个数为块时，所需要走的距离．
【变式12-3】（2023上·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
四次一个循环，因为，所以它们第2023次相遇在边上，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
【题型13 数式或图形中新定义问题】
【例13】（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）定义：对于任意一个三位自然数，若满足十位数字比百位数字大，个位数字比十位数字大，那么称这个三位数为“向上数”；对于任意一个三位自然数，若满足十位数字比百位数字小，个位数字比十位数字小，那么称这个三位数为“向下数”．将“向上数”的倍记为，“向下数”的倍记为，若是整数，则称每对，为“七上八下数对”．在所有“七上八下数对”中，的最大值是 ．
【答案】
【分析】设“向上数”的百位数字为，则十位数字为，个位数字为，“向下数”的百位数字为，则十位数字为，个位数字为，得到，，即，设，推出，是偶数，，当的值最大时，的值最大，据此即可求解．
【详解】解：设“向上数”的百位数字为，则十位数字为，个位数字为，
“向下数”的百位数字为，则十位数字为，个位数字为，
∴，，∴，，
∴，
∵是整数，
∴是整数，设，
即，
∵，，是偶数，
∴一定是偶数，
，当的值最大时，的值最大，
当时，，此时，
∴；
当时，，此时，
∴；
当时，，此时，
∴；
当时，，此时，
∴；
当时，，此时，
∴；
当时，，此时，
∴；
综上，的最大值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“向上数”“向下数”的定义，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键．
【变式13-1】（2023上·重庆·七年级校联考期末）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ．
【答案】0
【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解．
【详解】∵，，
∴，，
∴当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
∵，
∴的最大值为0．
故答案为：0
【变式13-2】（2023上·江苏常州·七年级统考期末）定义：一种对于三位数abc(其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同)的F运算：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F运算也会得到一个定值，这个定值为（ ）
A．4159 B．6419 C．5179 D．6174
【答案】D
【分析】设这个四位数为1234，再进行若干次F运算即可得到这个定值．
【详解】由题意，不妨设这个四位数为1234，
则经过第1次F运算的结果为，
经过第2次F运算的结果为，
经过第3次F运算的结果为，
经过第4次F运算的结果为，
由此可知，这个定值为6174，
故选：D．
【点睛】本题考查了数字类的规律型问题，掌握理解F运算的定义是解题关键．
【变式13-3】（2023上·江西抚州·七年级校联考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．
【详解】如图，
∵射线是的三等分线，
∴把分成的两部分，
∴或，
∵射线是的三等分线，
∴把分成的两部分，
∴或，
∵，
∴或，
当时，或，
当时，或，
故答案为：或或．
【题型14 数式或图形中多结论问题】
【例14】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．
【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：
，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
共有12种不同的结果，故②错误；
③∵，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
∴当，，都取最小值时，
，
此时，的最小值为，故③正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
【变式14-1】（2023上·安徽安庆·七年级统考期末）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：① ；②；③ ；④ ，其中正确结论的有 （ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案．
【详解】解： 是的三等分点，，
，，
，
，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
是线段的中点，
，
，
，
故②正确；
，
，
，
，
，
故③不正确；
，，
，
，
，
故④正确；
综上，正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．
【变式14-2】（2023上·四川宜宾·七年级统考期末）规定：，，例如，.
下列结论中，正确的是 （填写正确选项的番号）.
①若，则； ②若，则；
③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是7.
【答案】①②④
【分析】根据，进行分析.
【详解】①=0,则x-2=0,y+3=0,x=2,y=-3,所以2x-3y=13.故正确；
②当x<-3时，＝－（x-2）-(x+3)=-x+2-x-3=-1-2x,故正确；
③＝，＝｜x+3|,当x=-时，有f(x)=g(x)，即=|x+3|，故不正确;
④=|x-1-2|+|x+1+3|=|x-3|+|x+4|，当x=0时，|x-3|+|x+4|有最小值为7，即的最小值是7,故正确;
故答案是：①②④.
【点睛】考查了去化简绝对值符号，解题关键是看绝对值符号里是正数还是负数.
【变式14-3】（2023上·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得，所以平分，①正确；
②当时，设，
∵平分，
∴，
∴ ，，
∴，
当时，设，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③时，时，时故③正确；
④当时，当时，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．
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