上海市重点中学2023-2024高三上学期12月阶段性测试数学试题（含答案）

2023学年上海市重点中学高三第一学期12月阶段性测试
一、填空题（共54分,第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（本题4分）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
2．（本题4分）如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其第60百分位数为 .

3．（本题4分）已知集合，则 ．
4．（本题4分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为 .
5．（本题4分）设、是实数，且，则的最小值是 ．
6．（本题4分）密切圆（Osculating Circle），也称曲率圆，即给定一个曲线及其上一点P，会有一个圆与曲线切在P点，而且是与曲线在该点邻近最贴近的圆，换言之，没有一个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此圆称为曲线在点P处的密切圆，密切圆可能是与曲线在该点相切的圆中半径最大的（比如在抛物线顶点处的内切圆），曲线上某点的曲率圆的半径称为曲率半径.抛物线C：在顶点处的（曲率半径为 .
7．（本题5分）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为

8．（本题5分）2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：）
9．（本题5分）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作n次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后所得的面积为 ；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ．

10．（本题5分）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是
11．（本题5分）已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ．
12．（本题5分）已知曲线的方程为，则下列说法中：
①无论取何值，曲线都关于原点中心对称；
②存在唯一的实数使得曲线表示两条直线；
③当时，曲线上任意两点间距离的最大值为；
④当时，曲线是双曲线.
所有正确的序号是 .
二、单选题（共18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13．（本题4分）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（本题4分）若不等式，当时总成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．（本题5分）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积的最大值为
D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
16．（本题5分）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，数列有界 B．当时，数列有界
C．当时，数列有界 D．当时，数列有界
三、解答题（共78分）
17．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.
18．（本题14分,第1小题6分，第二小题8分）已知椭圆的焦点是，，且，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值.
19．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．
(1)求；
(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
20．（本题18分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题8分）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．
(1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；
(2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
(3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．
21．（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题共8分，分为第1小问4分，第2小问4分）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数,对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列 请说明理由.2024 年上海市回民中学高三第一学期 12 月阶段性测试
参考答案与评分细则
一、填空题（共 54 分,第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1． 3,0
2. 14
3． x | 0 x 3
4. 6
5．4 2.
3
6．
2
7. 15
3
8．74

9. ； 4 π 1 1
16 2n
10． a 0,2 且 a {1, 2, 3}
11．6
12．①③④
13-16.ACCB
17．
11π π 2π
（1）观察图象可得 A 2，函数 f (x)的周期T π ，解得 2，2分12 12
即 f (x) 2sin(2x
π
) f ，由 2sin
π π
0，得 kπ，
12 6 6
π即 kπ ， k Z，-----------------------------------------------------------------------------------4 分
6
π
而 | | ，则 ，-----------------------------------------------------------------------------------5 分
2 6
所以函数 y f (x)
π
的解析式是 f (x) 2sin 2x .----------------------------------------------6 分
6
（2）将 f (x)
π
的图象向左平移 个单位长度，
12
π π π
可得到函数 y 2sin 2 x 2sin 2x 12 6 3
的图象，

1
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 2 ，纵坐标不变，
{#{QQABSYKEggggAhBAARgCAQFaCEKQkACAAKoOQFAEMAABABNABAA=}#}
得到函数 g(x)的图象，则 g(x) 2sin
π
4x ，--------------------------------------------------9 分
3
当0 x
π π
时， 4x
π 4π
----------------------------------------------------------------------10分
4 3 3 3
则 3 2sin 4 x
π
2 ，
3
π
所以 3 g(x) 2，因此 g(x)在 0, 上的值域为[ 3, 2] .--------------------------------14分 4
18．
（1）由题意得： F1F2 2c 2
c 1
， ，解得 c 1,a 2，-------------------------------2 分
a 2
故b2 a2 c2 4 1 3，-------------------------------------------------------------------------------4 分
x2 y2
故椭圆 C的方程为 1；----------------------------------------------------------------------6 分
4 3
2 2
（2）联立 y x m x y与 1得，7x2 8mx 4m2 12 0，
4 3
64m2 28 4m2 12 0，解得 7 m 7 ，----------------------------------------------7 分
2
设M x1, y1 ,N x2 , y x x 8m ,x 4m 122 ，则 1 2 7 1x2
，------------------------------------8 分
7
2 2
故 MN 1 12 x x 2 8m 4m 121 2 4x1x2 2
4
7 7
2 64m
2 16m2 48 336 48m 2
2 ，---------------------------------------------------10 分
49 7 49
又 MN 12 2 ，
7
2 336 48m
2 12 2
所以 ，解得m 2，满足 7 m 7 ，-------------------------14分
49 7
故实数m的值为 2

19 ．（1）由题意知 PAB 0 4
，OC AB，OA OB 100，

PA PB 100则 ， PO 100 tan ，---------------------------------------------------------------2 分
cos
所以 PC 100 100 tan .--------------------------------------------------------------------------------3 分
所以栈道总长度为 f PA PB PC AB
200
100 100 tan 200 100 2 sin 3 0 ------------------6 分（定义域 1分）cos cos 4
{#{QQABSYKEggggAhBAARgCAQFaCEKQkACAAKoOQFAEMAABABNABAA=}#}
F 5 f 500 2 sin （2）建造栈道的费用为 3cos
则 F 500 2sin 1 2 --------------------------------------------------------------------------------7 分cos
F ( ) 0 sin 1 0 π π令 ，得 ，又 ，解得 ，------------------------------------------8 分
2 4 6
0 π π π当 时， F ( ) 0，当 时， F ( ) 0，
6 6 4
则 F( )

在 0,
π π π
单调递减，在 , 单调递增，-------------------------------------------------10分
6 6 4
π
故 F F 500 3 3min ，-------------------------------------------------------------------12分 6
此时 PC 100 100 tan π 100 100 3 --------------------------------------------------------------14分
6 3
100 3
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为 100 米时，建造费用最小，最小费用为
3
500(3 3)万元.
20．
（1）由 P1 1,1 知 z 1 i，则 f z z 1 2 i，故Q1(2,1)；---------------------------------2 分
设 P2 (x, y)，则 f z z 1 x 1 yi，
由Q2 1,1 知 x 1 1, y 1，则 x 0, y 1，即 P2 (0,1) .----------------------------------------------4 分
（2）直线 l上的任意一点 P x, y “对应”到点Q x1, y1 ，
z x yi, f z z2 x2 y2 2 xyi，且 y kx t，
x2 y2 x1, 2xy y
2
1，即Q x y 2 , 2xy ，---------------------------------------------------------6 分
由题意，点Q x 21, y1 仍在直线 l上，则 2xy k x y 2 t ，又 y kx t，
则 2x kx t k 2 2 x kx t t，--------------------------------------------------------------------8 分
3
展开整理得 k k x2 2t 2k 2t x kt 2 t 0 ，
{#{QQABSYKEggggAhBAARgCAQFaCEKQkACAAKoOQFAEMAABABNABAA=}#}
k 3 k 0

则 2t 2k 2t 0，解得 k t 0，---------------------------------------------------------------------10分
kt 2 t 0
所以，所求的有序实数对 k , t 为 0,0 .
z 1
（3）满足条件的一个有序实数对为 1,1 ，即 a 1,b 1， f z ，-------------12分
z 1
证明如下：
设 z x yi,x, y R,x 0，则 f z 1
x 1 yiz
z 1 x 1 ， yi
x 1f z yi
x 1 yi x 1 2 y 2

，x 1 yi x 1 yi x 1 2 y 2
x 1 2 2 y 2 x 1 y 2 4x 0 x 1 2 y2 x 1 2∵ ，∴ y
2，
x 1 2 y 2
f z 1，即 f z A，满足条件①；---------------------------------------15分
x 2 1 y 2
设 m ni,m,n R，且 1，即 m2 n2 1，得 m 2 n 2 1，
由 f z z 1得 ，
z 1
1 2 2 2 m 1 ni
则 z 1 1 1
1 1 m 1 n i m 1 ni m 1 ni
2 m 1 22ni 1 m n2
1 2ni 2 2 ， m 1 n2 m 1 n2 m 1 2 n2 m 2 1 n2
1 m2 n2
则Re z 2 0 ，满足条件②，-----------------------------------------------------------18分 m 1 n 2
综上，满足条件的一个有序实数对为 1,1 .
21．
1
（1）当 a 时， f x x
2 e
x 1 1 x2 ，2
f x ex 1 xex x ex 1 x 1 ，----------------------------------------------------------------1 分
令 f x 0,则 ex 1 x 1 0 ，解得 x 0或 x= 1，------------------------------------------2 分
当 x ( , 1) 0, 时， f (x) > 0；
{#{QQABSYKEggggAhBAARgCAQFaCEKQkACAAKoOQFAEMAABABNABAA=}#}
当 x ( 1,0)时， f x 0；
所以 f x 的单调递增区间为 ( , 1)和 0, ，单调递减区间为 ( 1,0) .-------------------4 分
（2） f x x ex 1 ax 2 x ex 1 ax ,
令g x =ex 1 ax ,依题意，当 x 0,1 时，g x 0恒成立,
x
由g x =e 1 ax，得，g x =ex a，
又因为 x 0,1 ,
x
所以 e 1,e ，--------------------------------------------------------------------------------------------5 分
当 a 1 x时,g x =e a 0 , g x
所以 g x 在 0,1 单调递增，
g x g 0 =e0 1 a 0 0 ,不合题意;---------------------------------------------------------------6 分
当1 a e时,令g x =e x a 0 ,解得 x ln a ,
当 x (lna,1)时， f (x) > 0；
当 x (0, ln a)时， f x 0；
所以 g x 在 (ln a,1)单调递增，在 (0, ln a)单调递减.
若要使g x 0恒成立,则需 g 1 =e 1 a 0 ,解得 a e 1，
故此时 e 1 a e；----------------------------------------------------------------------------------------8 分
当 a e时， g x =e x a 0 ，
所以 g x 在 0,1 单调递减，
所以 g x g 0 =e0 1 a 0 0 ,符合题意；--------------------------------------------------------9 分
综上，实数 a的取值范围为 e 1, .---------------------------------------------------------------10分
（3）① f x ex， f bn ebn n，故bn ln n，
构造函数 h x x 1 2 ln x ---------------------------------------------------------------------------11分
{#{QQABSYKEggggAhBAARgCAQFaCEKQkACAAKoOQFAEMAABABNABAA=}#}
x 2，则 h x 1 2 x 1
x
函数 h x 在 2, 3上单调递增， h 2 0，
2
故 h x 0在 2, 恒成立， h x 单调递增，
故 h n n 1 2 ln n h 2 1 ln 2 2 0，即 n 1 ln n，n 2，------------------------13分
n 1 n 1 2当 时， ln n 0，------------------------------------------------------------------------14分
2 2
综上所述： n 1 ln n恒成立，即bn n 1 .
f x 2x x a f n 2n② ，则 n n， f bn 2bn bn n，
设 a b ，即 2p p b p，则 22 p 2pp q q p q，
x
设函数 k x 2 x，函数单调递增，对于任意 p N*，有唯一的 q N*与之对应，
n
即数列 an 中每一项，都有bn中的项与之相等， an 2 n单调递增，
故 cn 2
n n，---------------------------------------------------------------------------------------------16分
2
假设数列 cn 中存在连续三项构成等比数列， c c c ，m 2，m N*m m 1 m 1 ，
m 2 m 1 m 3 故 2 m 2 m 1 2m 1 m 1 2m，整理得到 1，无正整数解.--------18分
2 2
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.
{#{QQABSYKEggggAhBAARgCAQFaCEKQkACAAKoOQFAEMAABABNABAA=}#}

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