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期末综合练习卷（基础卷）2023-2024学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．若抛物线平移得到，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
6．在平面直角坐标系中，已知，现将A点绕原点O逆时针旋转得到，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将一个三角板，绕点A按顺时针方向旋转，连接，且，则线段（ ）
A．﹣ B． C． D．1
9．如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
二、填空题
11．已知m是一元二次方程一个根，则的值为 ．
12．若点与点关于原点对称，则 ．
13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91．设每个支干长出个小分支，根据题意列方程为 ．
14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了 m．
15．如图，在半径为6的中，，则劣弧的长为 ．（结果保留）
16．如图所示，P是正方形内一点，将绕点B按顺时针方向旋转能与重合，若，则
17．如图，的半径为，是延长线上一点，，切于点，那么的切线的长为 ．
18．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数）．
其中正确的结论有 （填序号）
三、问答题
19．用个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏．
(1)使摸到红球的概率为1；
(2)使摸到黑球的概率为，摸到红球的概率也为；
(3)若有绿球2个，使摸到红球概率为，问黑球的个数是多少．
20．为做好防疫保供两不误，全力保障市民生活所需，截至目前，某市63家企业推出了126个APP或小程序，提供线上下单、线下无接触配送服务．某超市销售箱装高档水果，每箱水果盈利50元，超市每天可销售20箱．为提高利润，超市决定降价销售，经调查发现，每箱水果降价1元，超市每天可多售出2箱．当每箱水果降价多少元时，该超市的日盈利最大，最大是多少？
21．已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．
22．寿春农场（文蔬苑）深受广大同学喜爱．如图所示，农场内有一长方形的空地．长为x米，宽为12米，学生部把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲种植小青菜，乙种植花卉，丙开辟成池塘．
(1)请用含x的代数式表示花区域的边长：_______米；
(2)若池塘的面积为32平方米，请求出x的值．
23．如图，中，点E在边上，，将线段绕点A旋转到的位置，使得．连接，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
24．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出点和点的坐标；
(3)若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．
25．如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：圆C与x轴相切；
(3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【详解】A、是一元一次方程，此选项不符合题意．
B、是一元二次方程，此选项符合题意．
C、属于二元二次方程，此选项不符合题意．
D、是分式方程，此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟知一元二次方程就是只含有一个未知数、且未知数的最高次数是二次的整式方程．
2．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据，配方得进行作答即可．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
3．D
【分析】求得阴影部分所在扇形圆心角为在圆周角中所占的比即为所求的概率．
【详解】解：因为，所以顾客获奖的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何型概率，这是基础题．
4．C
【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法求解即可得到答案．
【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为，
，
∴直线与的位置关系是相离，
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键．
5．D
【分析】左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．
【详解】解：A：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意；
B：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意；
C：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意；
D：平移后抛物线的解析式为：，即，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的平移．熟记相关结论即可．
6．A
【分析】根据旋转的性质进行判断作答即可．
【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，
∵将A点绕原点O逆时针旋转得到，
∴由旋转的性质可得，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，绕原点旋转90度的点的坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7．B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
B、一次函数中，，二次函数中，，故选项符合题意；
C、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
D、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
故选：B．
8．A
【分析】连接，延长交于点，由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，可证是的垂直平分线，由勾股定理可求的值，即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长交于点，
，，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，，
是等边三角形
，且，
是的垂直平分线，
，
，
，，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，证明是的垂直平分线是本题的关键．
9．A
【分析】连接、、、，由垂径定理得到，，，，，由勾股定理得到，，当时，M、O、N三点共线时，当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，分别求解即可．
【详解】解：连接、、、，如图所示，
∵的直径为26，
∴，
∵点M、N分别是弦的中点，，，
∴，，，，
∴，，
当时，M、O、N三点共线，
当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，
当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，
∴线段的长度的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．B
【分析】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解．
【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下，
∴、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意；
、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意；
、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，不符合题意；
、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率，理解折线图中横轴与纵轴的关系，掌握概率的计算方法是解题的关键．
11．2023
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由m是一元二次方程一个根得，然后代入所给代数式求解即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023．
12．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意列方程得：．
故答案为：．
14．
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【详解】解：∵，
∴汽车刹车后到停下来前进了m；
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用配方法求二次函数最值的问题，根据已知得出顶点式是解题的关键．
15．
【分析】根据可以得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到的度数，然后即可求得的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，
∴，
∵的半径为6，
∴劣弧的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长的计算、圆周角定理，解答本题的关键是求出的度数，明确弧长公式．
16．
【分析】首先根据正方形的性质得到，再根据旋转的性质得，，则为等腰直角三角形；然后根据等腰直角三角形的性质，运用勾股定理求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵绕点B顺时针方向旋转能与重合，
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
所以等于．
故答案为：．
【点睛】本题是有关旋转的性质的题目，关键涉及到了正方形与等腰直角三角形的性质．
17．
【分析】可证， 由，即可求解．
【详解】解：切于点，
，，
在中，
，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，掌握性质是解题的关键．
18．③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向可以得出，由抛物线与轴的交点可以判断，由抛物线的对称轴可以判断，再根据抛物线与轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．
【详解】解：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，
，
，
，故①错误，不符合题意；
②二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，
，故②错误，不符合题意；
③二次函数的图象与轴的另一个交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，故③正确，符合题意；
④由①得：，
，
由②得：，
，
，故④正确，符合题意；
⑤二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，取最大值，最大值为，
当时，，
，故⑤正确，符合题意；
综上所述：正确的结论有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．
19．(1)见详解
(2)见详解
(3)1个
【分析】（1）根据摸到红球的概率为1，即为，是一个必然事件，设计规则即可；
（2）摸到红球、黑球的概率都是，因此可得红球、黑球的数量是均等的，设计规则即可；
（3）有绿球2个，那么摸到绿球概率为，摸到红球概率为，摸到黑球的概率为，因此可得10球中有绿球2个，红球7个，即可知道黑球的个数．
【详解】（1）解：摸到红球的概率为1，即为，因此这个球都是红球，从个除颜色外完全相同的红球中随机摸出1球，得到红球的可能性为1；
（2）解：袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和5个黑球，从中随机摸出1球，得到红球或黑球的可能性为；
（3）解：因为有绿球2个，
那么摸到绿球概率为，
因为摸到红球概率为，即红球7个，
那么摸到黑球的概率为，
黑球的个数为，
所以黑球的个数是1个．
【点睛】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义是设计规则的前提．
20．每箱水果降价20元时，该超市的日盈利最大，最大是1800元
【分析】设每箱水果降价x元，每天获利元，列出函数关系式，根据二次函数的最值求解．
【详解】解：设每箱水果降价x元，每天获利元，
由题意可得：
，
∴当每箱水果降价20元时，该超市的日盈利最大，最大是1800元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．
21．弧的度数为
【分析】连接．由题意可求出，根据同圆半径相等结合等腰三角形的性质可求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据弧、弦、圆心角的关系求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即弧的度数为．
【点睛】本题考查同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．正确的连接辅助线是解题关键．
22．(1)
(2)x的值20或16
【分析】（1）由甲和乙为正方形，且该地长为x米，宽为12米，可得出丙的长，也即乙的边长．
（2）由（1）已求得丙的长，再求出丙的宽，即可得出丙的面积，由此列出方程，求解x即可．
【详解】（1）解：因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：米．
同样乙的边长也为米，
故答案为：；
（2）解：结合（1）得，丙的宽为，
所以丙的面积为：
列方程得：
解方程得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出有关的线段的长．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，利用“SAS”证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，进而得到的度数，再由全等三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵将线段绕点A旋转到的位置，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．
24．(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数解析式求图象与交点坐标，顶点坐标即可，
（3）设点坐标，然后根据数量关系列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由点和点得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）得：，
当时，，
∴点，
由，
∴顶点；
（3）设，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（不合题意，舍去），，
∴点．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用．
25．(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】〔1〕可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点，可求得抛物线的解析式；
〔2〕联立直线和抛物线解析式可求得、两点的坐标，那么可求得C点坐标和线段的长，可求得圆的半径，可证得结论；
〔3〕过点C作于点H，连接，可求得，利用〔2〕中所求B、D的坐标可求得，那么可求得和的长，可求得其比值．
【详解】（1）解：抛物线的图象的顶点坐标是，
可设抛物线解析式为，
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：联立直线和抛物线解析式可得，
解得或，
，，
为的中点，
点的纵坐标为，
，
圆的半径为，
点到轴的距离等于圆的半径，
圆与轴相切；
（3）解：如图，过点作，垂足为H，连接，
由〔2〕可知，，
在中，由勾股定理可求得，
，
，
，
．
【点睛】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识．在〔1〕中注意利用抛物线的顶点式，在〔2〕中求得B、D的坐标是解题的关键，在〔3〕中求得、的长是解题的关键．此题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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