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第四章 图形的认识
1 几何初步及相交线与平行线
考点整合
考点 1 线与角(冷考点)
1.下图中用量角器测得的度数是 ( )
A.50° B.80° C.130°
2.图1 是光的反射规律示意图.其中，PO 是入射光线，OQ 是反射光线，法线KO⊥MN,∠POK是入射角, 是反射角,∠KOQ=∠POK.图2中,光线自点 P射入,经镜面 EF反射后经过的点是 ( )
A. A 点 B. B 点 C. C 点 D. D 点
3.如图,直线AB、CD 相交于点 O,射线 OM平分∠BOD,若 则∠AOM等于 ( )
4.如图,已知. BD C 为 AB 的中点,则线段 CD的长为__________cm.
考点2 相交线与平行线(必考点)
5.在同一平面内,过直线外一点 P作的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线与n的位置关系是 ( )
A.相交 B.相交且垂直 C.平行 D.不能确定
6.如图,分别过 的顶点A,B 作 AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 ( )
B.75°
7.一把直尺和一个含 角的直角三角板按如图方式放置，若 则∠2= ( )
8.如图,在弯形管道 ABCD 中，若 ∥拐角 则 的大小为 ( )
9.下图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD平行，入射光线与出射光线 m 平行.若入射光线与镜面 AB 的夹角 则 的度数为 ( )
A.100°40′ B.99°80′ C.99°40′
10.如图, ∥点 A 在直线 上,点 B 在直线 上, 则 的度数是 ( )
11.如图,矩形 ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为 E，当水杯底面 BC 与水平面的夹角为 时, 的大小为 ( )
12.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知 则∠2的度数为__________.
考点3 命题与定理(冷考点)
13.下列命题,其中是真命题的是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
14.下列命题:
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形.
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
方法技巧
方法 与平行线相关的计算与证明
方法解读
解决与平行线有关的求角度问题的方法：
1.分析所求角与已知角的位置关系，同时需要熟练掌握平行线的性质，考虑结合平角，直角及三角形内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，角平分线等知识.
2.注意几个隐含条件，如直尺的两边是平行的,三角板的角是30°,45°,60°,90°.
例 如图,AB∥CD,点E在AB上,EC平分∠AED,若∠1=65°,则∠2 的度数为( )
A.45° B.50° C.57.5° D.65°
解题关键 根据平行线的性质，结合内错角、角平分线的相关知识求解.
变式 1 如图,AB∥，CB平分则 的度数为( )
变式2 一副三角板如图放置，则
变式3 如图,在四边形 ABCD中, ∥
(1)求 的度数；
(2)AE 平分 交 BC于点E, 求证： ∥
分层练习
基础练
1.下列语句正确的是( )
A.延长射线 AB B.线段 MN叫做点 M,N间的距离
C.两点之间，直线最短 D.直线a,b相交于点P
2.下列四个命题中，真命题有 ( )
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②实数与数轴上的点是一一对应的；
③三角形的一个外角大于任何一个内角；
④平面内点 A(-1,2)到x轴的距离是2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线.小明的画法如下：在平面内，①将含 30°角的三角板的最长边与直线a紧贴，另一块三角板的最长边与含 30°角的三角板的最短边紧贴；②将含 30°角的三角板沿与另一块三角板的贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，如图，则a∥b，小明这样画图的依据是( )
A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行 D.两直线平行，同位角相等
4.如图,直线 ∥ ,等腰直角△ABC的两个顶点A、B 分别落在直线 、 上,∠ACB =90°,若∠1=16°,则∠2的度数是( )
A.34° B.29° C.24° D.19°
5.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点 P，点 F 为焦点.若 则 的度数为 ( )
6.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上,墙面 于点D，一束光线 AO 照射到镜面 MN上,反射光线为OB,点B在PD上,若 则 的度数为 ( )
A.35°
7.如图,将木条a,b与 c 钉在一起， 要使木条a与 b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是( )
8.如图,已知. ∥BE 平分∠ABC,且交 CD于 D 点, 则∠C的度数是 ( )
9.如图,已知 点E 在线段AD上(不与点 A,点 D 重合),连接 CE.若则∠A= ( )
A.10°
10.某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，AB∥CD，DC的延长线交 AE 于点 F.若 则∠DCE 的度数为 ( )
A.110° D.75°
11.如图,在△ABC 中,∠A=75°,若 过点 C 作 CE ∥ BD,则∠ACE的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
12.如图,AB∥CD,∠B=∠D,直线 EF与AD,BC 的延长线分别交于点E,F,求证:∠DEF=∠F.
提升练
13.如图, ∥则 的度数为 ( )
14.如图,直线 ∥截线c,d相交成 角, 则 的度数是( )
15.如图, ∥则∠1 的度数是 ( )
A.30°
16.要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案(如图1 和图2)：
方案 Ⅰ
①作一直线 GH,交AB,CD于点 E,F;
②利用尺规作∠HEN=∠CFG;
③测量∠AEM的大小即可.
方案Ⅱ
①作一直线 GH,交AB,CD 于点 E,F;
②测量∠AEH 和∠CFG的大小;
③计算180°-∠AEH-∠CFG即可.
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是 ( )
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ 、Ⅱ都可行 D.Ⅰ、Ⅱ都不可行
17.如图,在 的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D均在格点上，则AB 与CD之间的距离为 ( )
B.2
18.如图,在 中, 过点 A 作 按下列步骤作图：①以点 C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC 于点 F,G;②分别以点 F,G为圆心,大于 的长度为半径画弧，两弧交于点 H；③作射线 CH 交 AB 于点 E,交 AM 于点 D,若 1:2,则 的值为 ( )
19.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过.如果拐角∠A是 拐角∠B 是150°，拐弯三次后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C=__________.
20.如图，将三个相同的三角板(内角分别为 30°,60°,90°)的一个顶点重合放置,如果∠1=22°,∠2=26°,那么∠3 的度数是_________.
21.如图,在△ABC中,CF ⊥AB于F,ED∥CF,∠1=∠2.
(1)求证:FG∥BC;
(2)若∠A =60°,∠AGF=70°,求∠B 及∠2 的度数.
22.已知 O 为直线AB 上的一点,∠COE 是直角,OF 平分∠AOE.
(1)如图1,若∠COF=34°,则∠BOE=______________;
(2)如图1,若∠BOE=80°,则∠COF=______________;
(3)若∠COF=m°,则 与∠COF 的数量关系为____________;
(4)当∠COE 绕点 O 逆时针旋转到图2 的位置时,(3)中∠BOE 与∠COF 的数量关系是否仍然成立 请说明理由.
参考答案
考点整合
1. C
2. B 如图所示，根据直线的性质补全图2 并作出法线OK，
根据入射角=反射角可以看出 OB是反射光线.故选 B.
思路分析
根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可.
3. A
4.答案 1
5. C 6. B 7. B 8. A
9. C ∵入射角=反射角,
∵AB∥CD,∴∠2=∠3=40°10',∴∠4=∠3=40°10',
故选 C.
10. A ∵AB=BC,∴∠C=∠BAC=25°(等边对等角),
在 中,
∥
故选 A.A
11. D 过点 C作 ∥交 AB 于点 F.
∵AE∥水平面,∴CF∥水平面,
∵四边形ABCD是矩形,
∥ 故选 D.
12.答案 78°
13. D
14. B 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故①是假命题；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，②是真命题；一个角为 且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故③是假命题；对角线相等的平行四边形是矩形，④是真命题.故真命题的个数是 2.故选 B.
方法技巧
例 B ∵AB∥CD,
∵EC平分∠AED,
变式 1 B ∵AB∥CD,∠AEC=40°,∴∠DCE=∠AEC=40°,
∵CB平分∠DCE, ∴∠ABC=∠DCB=20°.
变式2 答案 105
解析 设 AC、DF的交点为 O.
∵∠E=30°,∠F=90°,∴∠D=60°.
∵DE∥AC,∴∠D=∠AOD=60°.
∵∠A=45°,∴∠1=∠A+∠AOD=105°.
变式3 解析 (1)∵AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180°.
∵∠B=80°,∴∠BAD=100°.
(2)证明:∵AE平分∠BAD,
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE=50°.
∵∠BCD=50°,∴∠BCD=∠AEB.∴AE∥DC.
分层练习
1. D 2. B 3. A
4. B ∵ 等腰直角
又∵直线 ∥ .故选 B.
5. C 由平行光束可知∠1+∠PFO=180°,∵∠1=155°,∴∠PFO=25°,
∵∠POF=∠2=30°,∴∠3=∠POF+∠PFO=55°,故选 C.
6. C 根据光的反射可得∠AOC=∠BOD,∵∠AOC=35°,∴∠BOD=35°,
∵ PD ⊥ CD,∴ ∠OBD = 90°-∠BOD=55°,故选C.
7. D 8. C 9. C 10. A 11. C
12.证明 ∵AB∥CD,∴∠DCF=∠B,
∵∠B=∠D,∴∠DCF=∠D,∴AD∥BC,∴∠DEF=∠F.
13. D 如图,过点 E 作EF∥a,
∵a∥b,∴EF∥a∥b,∴∠1+∠AEF=180°,∠FED+∠3=180°,
∵∠1=116°,∠2=96°,∴∠3=148°,故选 D.
14. B 如图,
∵∠1=145°33',∴∠3=180°-∠1=34°27',
∵a∥b,∴∠4=∠3=34°27',∵∠A=30°,∠2=∠4+∠A,
∴∠2=64°27'.故选 B.
15. C 如图,∵a∥b,∴∠1=∠4.
∵∠3 是△ABC的一个外角,∴∠3=∠4+∠2.
∵∠3=80°,∴∠1+∠2=80°.
∵∠1-∠2=20°,∴2∠1+∠2-∠2=100°,∴∠1=50°.故选 C.
16. C 对于方 案 Ⅰ,∵ ∠HEN=∠CFG,∴CD∥MN,根据两直线平行，内错角相等可得直线 AB与 CD 所夹锐角等于∠AEM,故方案 Ⅰ 正确.对于方案Ⅱ，直线AB 与 CD 所 夹 锐角、∠AEH、∠CFG是三角形的三个内角.故方案Ⅱ正确.故选 C.
17. C 连接AC,BD.四边形 ABDC 的面积为
由题意可知AB=CD,BD=CA,∴四边形ABDC 是平行四边形，
设AB 与CD之间的距离为h，则 故选 C.
18. D 过点 E 作 EK⊥ BC 于点 K, 如图，
由题中作图得CD平分∠ACB，
∵∠BAC=90°,∴EK=AE,又AE:EB=1:2, ∴∠B=30°,∴∠ACB=60°,
∴∠ACD=∠BCD=30°,∵AM∥BC,∴∠ADC=∠DCB,∴∠ADC=∠ACD,∴AD=AC,
故选 D.
19.答案 150°
解析 过点 B 作 BE∥AD,如图,
∵AD∥CF,∴BE∥AD∥CF,∴ ∠1 = ∠A = 120°,∠2+∠C=180°,
∵ ∠ABC = 150°,∴∠2=∠ABC-∠1=30°,∴∠C=150°.
20.答案 12°
解析 如图.∵ ∠2+∠3+∠4=60°,∠2=26°,∴∠3+∠4=34°.
∵∠3+∠4+∠5= 60°,∴∠5=26°.
∵∠1+∠3+∠5=60°,∠1=22°,∴∠3=60°-26°-22°=12°.
21.解析 (1)证明:∵DE∥FC,∴∠1=∠BCF.
又∵∠1=∠2,∴∠2=∠BCF,∴FG∥BC.
(2)∵ 在△AFG 中,∠A = 60°,∠AGF=70°,∴ ∠AFG = 180°-∠A -∠AGF=50°.
由(1)知FG∥BC,∴∠B=∠AFG=50°.
∵CF⊥AB,DE∥FC,∴ED⊥AB,∴∠1=90°-∠B=40°,∴∠2=40°.
22.解析(1)68°.
详解:∵∠COE = 90°,∠COF=34°,∴∠EOF=90°-34°=56°.
∵OF 平分∠AOE,∴∠AOE=2∠EOF=112°,∴∠BOE=180°-112°=68°.
(2)40°.
详解:设∠COF=n°,则∠EOF=90°-n°,∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°,
∴∠BOE = 180°-(180°-2n°)=2n°=80°,∴∠COF=40°.
(3)2m°;∠BOE=2∠COF.
详解:若∠COF=m°,则∠EOF=90°-m°,∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°,
∴∠BOE=180°-(180°-2m°)=2m°.∴∠BOE=2∠COF.
(4)∠BOE 与∠COF的数量关系仍然成立.理由如下：
设∠COF=x°,∵∠COE 是直角,
又∵ OF 平分
即
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