卷子答案网-一个不只有答案的网站睢宁重点中学高二年级12月考数学试卷
一、单选题(每小题5分，共40分)：
1.正项等比数列中，，，则（ ）
A. 9 B. 6 C. D. 3
2.已知，则（ ）
A.2 B.3 C. D.0
3.直线与曲线相切于点，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
4.已知，则（ ）
A. B.C. D.
5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)
6.已知公差的等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.是中的最大值
C.是中的最小值 D.
7.已知为偶函数，当时，.若，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知抛物线C：，过点（0,3）的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为点D，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)：
9.已知，关于曲线C：，下列说法正确的是（ ）
A.曲线C不可能是圆 B.曲线C可能是双曲线
C.曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆 C.曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆
10.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是（ ）
A.数列为等比数列 B.数列为等差数列
C. D.
12.数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用.数列是把中的分母不大于的分子与分母互质的分数从小到大排成一列,并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶数列，记为，并记其所有项之和为.数列还有一个神奇的性质.若设的相邻两项分别为，，则.下列关于数列说法正确的是（ ）
A. B.数列中共有18项
C.当时，的最中间一项一定是
D.若中的相邻三项分别为，，，则
三、填空题(每小题5分，共15分)：
13.已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为______．
14.已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围为______．
15已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.
16.小张计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10%，第十年年底小张一次性将本金和利息取回，则小张共可以取得______万元（结果用数字作答）．参考数据：，，．
四、解答题(共55分)：
17.(10分)已知正项数列的前项和为，，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，证明.
18.(10分)已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与与交于两点，当时，求直线的方程.
19.(11分) 已知数列的前项和为，.
（1）设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20.(12分) 已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex.
(1) f(x)在上是增函数，求a的取值范围；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
21(12分)设函数（a为非零常数）
（1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）讨论函数的单调性.
22已知函数在点处的切线方程为．
⑴求函数的解析式；
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；
⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
答案解析
一、单选题(每小题5分，共40分)：
1.正项等比数列中，，，则（ ）D
A. 9 B. 6 C. D. 3
详解：故选D
2.已知，则（ ）
A.2 B.3 C. D.0
【详解】已知，得，
由导数的定义可得.
故选：B
3.直线与曲线相切于点，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【详解】直线与曲线相切于点
将代入可得:解得:
由,解得:.可得
根据在上,解得:
故选:.
4.已知，则（ ）
A. B.C. D.
【详解】求导得，
所以，解得
故选:D
5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)
答案 B
解析 令g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以g(x)在R上是减函数，又ln2>0,2>0，
所以g(ln2)
A.B.是中的最大值
C.是中的最小值 D.
【详解】因为等差数列前项和为，且，
则，
所以，即，
又，且，故A正确；
公差，
当时，由可得，，则是中的最小值，且，
当时，由可得，，则是中的最大值，且，
故BCD错误；
故选：A
7.已知为偶函数，当时，.若，则（ ）B
A. B.
C. D.
详解：为偶函数，图像关于直线对称，当时，为增函数，
又，所以比离对称轴远，即.平方，移项，因式分解，可得答案B正确
8.已知抛物线C：，过点（0,3）的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为点D，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
故选：A
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)：
9.已知，关于曲线C：，下列说法正确的是（ ）
A.曲线C不可能是圆 B.曲线C可能是双曲线
C.曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆 C.曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆
【详解】A.当时，，方程化简为，即为圆的方程，故A错误；
B. 当时，，曲线表示双曲线，故B正确.
C.曲线方程整理为，当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，故C正确；
D.当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，故D错误；
故选：BC
10.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【详解】对于A，，A不正确；
对于B，，B不正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：CD
11.已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是（ ）
A.数列为等比数列 B.数列为等差数列
C. D.
【详解】对A，，
即，，
故数列为首项为1，公比为3的等比数列，A对；
对BC，，
即，即，
故数列为首项为，公比为2的等比数列，
故，故，
故数列不为等差数列，，BC错；
对D，由A得，又，两式相加得，
即，D错.
故选：BCD
12.数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用.数列是把中的分母不大于的分子与分母互质的分数从小到大排成一列,并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶数列，记为，并记其所有项之和为.数列还有一个神奇的性质.若设的相邻两项分别为，，则.下列关于数列说法正确的是（ ）
A. B.数列中共有18项
C.当时，的最中间一项一定是
D.若中的相邻三项分别为，，，则
【详解】对于A，列举数列：，，可知，A错误；
对于B，列举可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19项，B错误；
对于C，由于数列按照大小排列，且若在中，则一定也在中，又当时，在中，所以个数一定为奇数个.因此根据的定义可得，中间一项一定为，C正确；
对于D，由于，，整理即可得到，D正确.
故选：CD.
三、填空题(每小题5分，共20分)：
13.已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为______．
【详解】因为,则
令,即,且
所以,所以的单调递增区间为
故答案为：
14.已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围为______．
详解：在上是增函数，
15已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.
16.小张计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10%，第十年年底小张一次性将本金和利息取回，则小张共可以取得______万元（结果用数字作答）．参考数据：，，．
【详解】依题意，小张每年向公司投资金额构成以10为首项，2为公差的等差数列，
，因此每年的投资到第十年年底的本金和利息和为，
10次投资到第十年年底本金和利息总和为，
则，
于是得，
两式相减得
，
则有，
所以小张共可以取得305万元.
故答案为：305
四、解答题：
17.(10分)已知正项数列的前项和为，，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，证明.
（1）
18.(10分)已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与与交于两点，当时，求直线的方程.
19.(12分) 已知数列的前项和为，.
（1）设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解(1)因为，
当时，，解得得；
当时，由，得，
两式相减得，即，
则，即，
又，故，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，所以．
(2)由（1）得，
所以,
所以，
则，
两式相减，得
，
所以．
20.(12分) 已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex.
(1) f(x)在上是增函数，求a的取值范围；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解(2)因为f(x)＝ex，所以f(x)的定义域为R，
f′(x)＝ex＋ex＝ex.
当a≥2时，f′(x)≥0，则f(x)在R上是增函数；
当a<2时，f′(x)＝ex＝ex，
所以f′(x)＝0 x＝±；f′(x)>0 x<－或x>；f′(x)<0 －
综上，当a≥2时，f(x)在R上是增函数；当a<2时，f(x)在(－，)上是减函数，在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函数．
21.(12分)设函数（a为非零常数）
（1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）讨论函数的单调性.
解（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
22（12分已知函数在点处的切线方程为．
⑴求函数的解析式；
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；
⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
解：⑴
根据题意，得即解得
所以．
⑵令，即．得．
1 2
+ +
增 极大值 减 极小值 增 2
因为，，
所以当时，，．
则对于区间上任意两个自变量的值，都有
，所以．
所以的最小值为4．
⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．
则．
因为，所以切线的斜率为．
则=，
即．
因为过点可作曲线的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
所以函数有三个不同的零点．
则．令，则或．
0 2
+ +
增 极大值 减 极小值 增
则 ，即，解得．
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