重庆市巴蜀名校2022-2023高二下学期期中考试数学试题（含解析）

重庆市巴蜀名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。满分150分，考试用时120分钟。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图：
下面关于相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其错误选项可能有0个、1个或2个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求，若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有（ ）
A．24种 B．48种 C．36种 D．60种
3．某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：
月份代号x 1 2 3 4 5 6 7
在线外卖规模y（百万元） 11 13 18 ★ 28 ★ 35
其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（ ）
A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0
4．函数的定义域为R，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点 B．
C．函数在上有极大值 D．函数有三个极值点
5．数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，且，则数列的前n项和（ ）
A． B． C． D．
6．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
7．随机变量X的分布列如下所示
X 1 2 3
P a 2b a
则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的序号是（ ）
A．在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量平均平均增加0.8个单位；
B．利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；
C．已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小；
D．在一组样本数据…，（…，不全相等）的散点图中，若所有样本（…）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为．
10．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．
A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种
11．设为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．数列的公差小于0 B．
C．的最小值是 D．使成立的n的最小值是4045
12．设双曲线的焦距为，离心率为e，且成等比数列，A是E的一个顶点，F是与A不在y轴同侧的焦点，B是E的虚轴的一个端点，为E的任意一条不过原点且斜率为的弦，M为中点，O为坐标原点，则（ ）
A．E的一条渐近线的斜率为
B．
C．（分别为直线的斜率）
D．若，则e恒成立
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．的展开式中含项的系数为_______．
14．若圆与圆外切，则的最大值为_______．
15．已知某品牌电子元件的使用寿命X（单位：天）服从正态分布．
（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为_____________；（2分）
（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在100天后仍能正常工作（要求K能正常工作，A，B中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为________．（3分）
（参考公式：若，则）
16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，请在答题卡上作答，解答须写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知为单调递增数列，为其前n项和，，
（1）求的通项公式；
（2）若为数列的前n项和，证明：．
18．（本小题满分12分）重庆近年来旅游业高速发展，有很多著名景点，如洪崖洞、磁器口、朝天门、李子坝等．为了解端午节当日朝天门景点游客年龄的分布情况，从年龄在22~52岁之间的旅游客中随机抽取了1000人，制作了如图的频率分布直方图．
（1）求抽取的1000人的年龄的平均数、中位数；（每一组的年龄取中间值）
（2）现从中按照分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为X，求X的分布列及．
19．（本小题满分12分）经验表明，一般树的直径（树的主干在地而以上1.3m处的直径）越大，树就越高。由于测量树高比测量直径困难，因此研究人员希望由树的直径预测树高。在研究树高与直径的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6
直径x/cm 19 22 26 29 34 38
树高y/m 5 7 10 12 14 18
（1）请用样本相关系数（精确到0.01）说明变量x和y满足一元线性回归模型；
（2）建立y关于x的一元线性回归方程；并估计当树的直径为45cm时，树高为多少？（精确到0.01）
附参考公式：相关系数
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
参考数据：
20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，．
（1）证明：；
2）若，且，求二面角的正弦值．
21．（本小题满分12分）己知在平面内，点，点P为动点，满足直线与直线的斜率之积为1．
（1）求点P的轨迹方程，并说明表示什么曲线；
（2）若直线l为上述曲线的任意一条切线，证明：点分别到直线l的距离之积为定值，并求出该定值。
22．（本小题满分12分）已知函数，（注：…是自然对数的底数）
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围；
（3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．高 2024 届高二（下）期中考试数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B B C D A D
1．C
【详解】由图知 r3， r1 所对应图中的散点呈现正相关，而且 r1 对应的相关性比 r3相关性更强，故0 r3 r1。由图
知 r2，r4所对应图中的散点呈现负相关，而且 r2对应的相关性比 r4相关性更强，故 r2 r4 0，因此 r2 r4 0 r3 r1，
故选 C.
2．C
4
【详解】当错误选项恰有 1个时，4个选项进行排列有A4 24种；当错误选项恰有 2个时，先排 2个正确选项，再
将 2 2 2个错误选项插入到 3个空位中，有A2A3 12种．故共有 24 12 36种．故选：C．
3．B
1
【详解】依题意， x (1 2 3 4 5 6 7) 4，而 y 23，于是得
7 4b
a 23，
而当 x 7时，35 (7b a ) 0.6 ，即7b a 35.6，联立解得 a 6.2,b 4.2，所以 a b 2.0 .故选：B
4．B
【详解】当 x 3时， f (x) > 0， f x 单调递增，当 3 x 1时， f x 0， f x 单调递减，
所以有 f 2 f 1 ，因此选项 B正确；当 1 x 1时， f (x) > 0， f x 单调递增，
所以 f x 在 1,1 上没有极大值，因此选项 C不正确；当 x 1时， f (x) > 0， f x 单调递增，因此 x 1不是 f x
的极值点，只有当 x 3时， x= 1函数有极值点，所以选项 A不正确，选项 D不正确，故选：B
5．C
【详解】由题意知 Sn n
2 2n①，
当 n 1时， S1 a1 3，当 n 2时， Sn 1 (n 1)
2 2(n 1) n 2 1 ②，①-②，得 an Sn Sn 1 2n 1，
若 n 1， a1 3，符合题意，所以 an 2n 1，则 an 1 2n 3，
b 2 2所以 n 2n 3 2n 1an an 1 2n 1 2n 3
，
则Tn b1 b2 bn 5 3 7 5 2 n 3 2 n 1 2n 3 3 .故选：C.
1
6．D
【详解】由题意可知事件 A发生的情况为甲乙两人只有有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为
C1 12C4 1 9 ,事件 A,B同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为C1C12 4 8，故
P ABP B A 8 ,故选：DP(A) 9
7．A
1
【详解】由题可知 2a 2b 1，即 a b ， E(X ) a 4b 3a 4(a b) 2，
2
D X a 1 2 2 2 3 2 a 2a，则D bX b2D X 2ab2 2b3 b2，
令 f b 2b 3 b 2 2，则 f b 6b 2b 2b 3b 1 ，则 f (b)在 0,
1 1 1
上单调递增，在3
, 上单调递减，所以
3 2
f b f 1 1max
1
，则D bX 的最大值为 .故选：A.
3 27 27
8．D
2
( ) = , ( ) = + 1 1 1【详解】设 2 ，则 '( ) = ，当 0 < < 时， '( ) > 0， ( )单调递增，当 > 2 2
时， '( ) < 0， ( ) 单调递减，则 ( ) = ( ) = = 0，所以 (3) = 3
3 < 0，所以 2 3 < 6，即 < ；

'( ) = 2
1 = 2 ，当 0 < < 时， '( ) < 0， ( )单调递减，当 > 时， '( ) > 0， ( )单调递增，则 ( ) =
2
( ) = 2
+ 1 = 0 9 3 1 9 6，所以 (3) = 2 + > 0， 2 + 1 > ，即 > ，所以 < < ，故选 D.2 2 2 2
二、多选题
9 10 11 12
AB BCD BD ABC
9．AB
【详解】对于 A，在回归直线方程 y 0.8x 12 中， 当解释变量 x 每增加一个单位时, 响应变量 y平均增加 0.8
个单位，故 A正确；
n n
2 2
对于 B，用随机误差的平方和，即:Q yi y i yi a bxi ，并使之达到最小；这样回归直线就是所有直
i 1 i 1
线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫二乘, 所以这种使 “随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；所
n
2
以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得 (yi bxi a) 最小的原理；故 B正确；
i 1
对于 C，对分类变量 X 与Y , 对它们的随机变量 2 的观测值越小，则“ X 与Y 有关系”的把握程度越小，故 C错误；
对于 D，样本相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关
系数为 1 , 故 D错误. 故选：AB.
2
10．BCD
2 2 1
【详解】对于 A，将甲乙捆绑有A2 种方法，若戊在丙丁之间有A2 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有A4
2 1 2 1 2
种方法；若丙丁相邻，戊在左右两边有A2 A2 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有A2 A2 A2 种排法，所
以总的排法有A2 A2 1 2 12 2 A4 A2 A2 A
2
2 24 ，故 A
4
错误；对于 B，若甲在最左端，有A4 24 种排法，若乙在最左端，
1 3
先排甲有A3 3 种排法，再排剩下的 3人有A3 6 ，所以总共有24 3 6 42 种排法，正确；对于 C，先将甲乙
1 1 1 1
丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有A4 种，再插戊有A5 种，总共有A4 A5 20 种，正确；对于 D，先
3 C2 3 3 A3分组，将甲乙丙丁分成 组有 4 种分法，再将分好的 组安排在 个社区有 3 种方法，共有C
2
4 A
3
3 36 种方法，
正确；故选：BCD.
11．BD
n 1 S nS n n 1 a1 an n n 1 a a【详解】对于 A，由 得： 1 n 1 n n 1 ，2 2
整理可得： an an 1， an 1 an 0，即数列 an 的公差大于 0，A错误；
对于 B，由 a2023S2022 a2023S2021 得： a2023 S2022 S2021 a2022a2023 0，
由 A知，数列 an 为递增数列， a2022 0， a2023 0，B正确；
对于 C，由 B知：当 n 2022时， an 0；当 n 2023时， an 0；
S 4044 a a n的最小值为 S2022 ，C错误；对于 D， S 1 40444044 2022 a2022 a2023 2022 S2 2023 S2021 0
，
4045
S a 1 a4045 4045 4045a2023 0， 使得 Sn 0成立的n的最小值为 4045，D正确.故选：BD.2
12．ABC
5 1
【详解】因为 a，c，a c成等比数列，所以 c2 ac a2，所以b2 ac且 e2 e 1 0，解得 e （负根舍），
2
2
e c 1 b
2 b ac c b
又 ，所以 ea a a a2
e，所以 ，即 E的一条渐近线的斜率为 e，故 A正确；
a a
b b
不妨设 F为左焦点，B为虚轴的上端点，则 A为右顶点，则 BF的斜率 kBF ，AB的斜率 kc AB
，所以
a
k k b
2
BF AB 1，所以 AB BF，故 B正确；ac
x2 21 y 1 2 2 1 2 2
设 P x1, y
a b y y y y b y y y b
1 ，Q x2 , y2 ， M x ,y 2 1 2 1 2 1 0 0 0 ，则 x2 2 ，作差后整理得 2 y2 x2 x x x a 2
，即 ，
1 2 1 x2 x1 x0 a
2
2 2 1 a b
k k b
2 c2 a2 ac c
所以 PQ OM 2 2 2 e，故 C正确；a a a a
3
2 2 2 2 2
设直线OP : y kx
1
，则直线OQ : y x，将 y kx代入双曲线方程b2x2 a2 y2 a2b2 x2 a b，得 ，则 y2 a b k
k b2 a2k 2 b2 a2k 2
，
2 a
2b2 k 2 1 1 a2b2 k 2 1
OP x2 y2 ，将 k换成 得 OQ 2 ，则
b2 a2k 2 k b2k 2 a2
1 1 b2 a2 k 2 1 b2 a2 1 1 5 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 与 b的值有关，故 D错误．故选：ABC．OP OQ a b k 1 a b a b 2b
三、填空题
13 14 15 16
5 1 320.4
2 ， . 1125 ,


e
13． 5
5
1 1
5 1 5
【详解】 x2 1 x x2 x x x ， x x
5 r
x 1 T Crx 5 r 1 1 r 的展开式的通项为 r 5 2rr 1 5 C5x ,r 0,1,2,3,4,5 ．
x x
3 4
令5 2r 1，则 r 3， 1 C35 10．令5 2r 3，则 r 4， 1 C45 5，
x2 1 x 1
5 1
故 的展开式中含 项的系数为 10 5 5．故答案为： 5
x x
14. 12
2
【详解】由题可得圆C1 : x a y2 4的圆心为C1 a,0 ，半径为 r1 2，
圆C2 : x
2 2 y b 1的圆心为C2 0,b ，半径为 r2 1 .因为两圆外切，可得 a2 b2 9，
（ a 0,b 0
b
）， 可看作平面直角坐标系中的定点 A 6,0 与圆弧 a2 b2 9 a 0,b 0 上的动点 P a,b 连线a 6
b 1 1
的斜率，结合图形可知，当点 P为 0,3 时， 最大，此时其最大值为 2 ．故答案为： .a 6 2
32
15． 0.4 ， .
125
【详解】由题设知： 98, 8，
1 P 0.25 X 0.25
∴ P(X 100) 0.4 .
2
P 2 2 2 2 (1 2) 2 2 2由题意，要使电路能正常工作的概率 (1
2 32
) .
5 5 5 5 5 5 5 5 5 125
32
故答案为： 0.4 ， .
125
4
1 x
16． ,
ln xe
【详解】由 axex x x x x ln x 0 ，可得 axe x ln x 0 ， axe ln xe 0，可得
e a
，
xex
令 t xex 0 x 0 ，可得 a ln t≥ ，令 g x ln x 1 ln x x 0 ，有 g x ，t x x2
令 g x 0，可得0 x e；令 g x 0，可得 x e；可知函数 g x 的增区间为 0,e ，减区间为 e, ，
所以 g x 1 1 1 g e ，故 a max ，即 a的最小值为 ．e e e
四、解答题
17.【详解】（1）当 n 1时， 2S1 2a1 a
2 1 , 21 所以 a1 1 0，即 a1 1,又 an 为单调递增数列，所以 an 1 .
由 2Sn a
2
n n 2S
2
得 n 1 an 1 n 1，所以 2Sn 1 2S
2 2
n an 1 an 1 ,
2 2
整理得 2an 1 an 1 an 1 ,所以 a
2
n an 1 1
2 .所以 an a
，
n 1 1或-an an 1 1
若-an an 1 1，由 a1 1， a1 = a2 1则a2 = 0,矛盾。
所以 an 1 an 1 ,所以{an}是以 1为首项，1为公差的等差数列，所以 an n ....................5分
an 2 n 2 1 1
（2）bn 2n 1

a a 2n 1

n n 1 n n 1 2n n 2n 1 n 1
T 1 1 1 1
1 1 1 1 1
所以 n

1 2 2 3 2 1 2 2 2 2 2 3 2n

n 2n 1

n 1 21 1 2n 1

n 1 2 .....................10分
18．【详解】（1）年龄平均数为：
x 5 0.01 24.5 0.02 29.5 0.03 34.5 0.09 39.5 0.03 44.5 0.02 49.5 38.75，
0.2 2
中位数为37 5 39 （岁）.....................5分
0.45 9
（2）因为年龄在 32,37 及 37,42 的频率分别为 0.15，0.45，故分层抽样抽取 8人中有 2人年龄在 32,37 ，6
人年龄在 37,42 . X 服从超几何分布，N = 8,M = 2, n = 3, X 的可能取值为 0，1，2，
C3P X 0 6 20 5 P X 1 C
1 2
2C6 30 15 P X 2 C
2 1
2C6 6 3 3 C8 56 14 C
3
8 56 28 C
3
8 56 28则 ， ， ，
X 的分布列为：
X 0 1 2
5 15 3
P
14 28 28
5
E X 2 3 3故 ......................12分
8 4
6 6
19．【详解】（1） xi 168 x 28， yi 66， y 11
i 1 i 1
n 6
(xi x)(yi y) xi yi 6x y
r i 1 i 1 2017 6 28 11 169= =
n n 6 6
2 2 2 2 2 2 4962 6 282 838 6 112 258 112 (xi x) (yi y) xi 6x yi 6y
i 1 i 1 i 1 i 1
169
0.99．
4 1806
x和 y成线性正相关，满足一元回归模型．......................6分
6
xi y i 6x y
（2）b i 1 1696 258 0.66， a 11
169
258 28 7.34，2
x 2i 6x
i 1

y 0.66x 7.34，当 x 45时， y 22.36．......................12分
20．【详解】（1）取 AC中点 E，连接 A1E，D1E，
AB BC, A1A A1C， A1E AC ,BE AC ,A1E BE E ， AC 平面A1EB
又 BA1 平面A1EB， AC BA1
又 A1C1 AC， A1C1 B1A1 .....................6分
(2) AB2 A 2 21B AA1 A1B AB
同理 A1B BC,BC AB B A1B 平面ABC
以 B为坐标原点，过 B作 BE的垂线为 x轴， BE为 y轴， BA1为 z轴，如图建立
空间直角坐标系
令 AB 2，则 B(0,0,0)，C(1, 3,0) , A1(0,0,2) ,C1(2,0,2)

BC (1, 3,0) , BC1 (2,0, 2) , BA1 (0,0, 2)

设平面BCC1的一个法向量为n (x, y, z)，则

n BC 0 x 3
x 3y 0
n BC 0 ，即 ，取1 y 1 ， n ( 3,1, 3) 2x 2z 0
z 3
6

同理，平面A1BC的一个法向量为m ( 3,1,0)

cos n,m 3 1 2 77 ，2 7
二面角的正弦值为 21 .....................12分
7
21．【详解】（1）设 p(x, y)，由题意得
y 2 2kPAkPB
y 1 x y
x 2 x 2 2
2 1(x 2)
轨迹为去掉左右顶点的双曲线.....................5分
（2）设切点 (x0 , y0 )，显然直线斜率存在，则设 l : y k(x x0 ) y0
x2 y2 2
得 (1 k 2 )x2 2k(y kx )x (y kx 2y k(x x ) y 0 0 0 0
) 2 0
0 0
当 k 1时， 直线与渐近线平行，显然不可能是切线。
当 k x 1时，由 0 k 0 ，
y0
x
所以 y 0y (x x
2 2
0 ) y0 yy0 xx0 x0 y0 xx0 2 xx0 yy0 2所以切线方程为 ，
0 ，
2x 2 2x 2 4 4x 2 4 1 x 2
d1d2
0 0 0 0 2
所以 x 20 y
2 2
0 x0 y
2 x 20 y
2 2x 20 0 20 ，所以为定值 2......................12分
22．【详解】（1）（1）当 a 1时， f (x) ex x2 e, f (x) ex 2x，故 f (0) e0 2 0 1, f (0) 1 e，
故在点 (0, f (0))处的切线方程为 y x 1 e；.....................3分
（2）解：由题意知 f (x) ex 2mx 0有且只有一个根且 f (x)有正有负，
构建 g(x) f (x)，则 g (x) ex 2m .
①当m 0时， g (x) 0当 x R 时恒成立， g(x)在R 上单调递增，
g 1
1

因为 e 2m 1 0, g(0) 1 0，
2m
所以 g(x)有一个零点，即为 f (x)的一个极值点；
②当m 0时， g(x) f (x) ex 0在R上恒成立，即 f (x)无极值点；
③当m 0时，当 x ln( 2m), g (x) 0；当 x ln( 2m), g (x) 0，
7
所以 g(x)在 ( ,ln( 2m))单调递减，在 (ln( 2m), )上单调递增，
故 g(x)min g(ln( 2m)) 2m 2m ln( 2m)，
若 g(x)min 0，则 1 ln( 2m) 0
e
，即m< .
2
因为m 0，所以当 x 0时， g(x) 0，
当 x 0时， g(2ln( 2m)) 4m2 4m ln( 2m) 4m[ m ln( 2m)]，
令 m t，则 s(t) t ln(2t), t
e
，故 s (t)
t 1
0，
2 t
e , s(t) s e e e e故 s(t) 在 上为增函数.故 ln 1 ln2 0，
2 2 2 2 2
故 2m[ 2m ln( 2m)] 0 m e，故当 时， g(x)有两个零点，此时 f (x)有两个极值点，
2
当 g(ln( 2m)) 0时， g(x) 0当 x R 时恒成立，即 f (x)无极值点；
综上所述：m 0 ......................7分
（3）解：由题意知，对于任意的 x R ，使得 f (x) n恒成立，则当 n取最大值时，m n取到最小值.
当m 0时，因为 f (x) ex e 0 e e，故当 n e时，m n的最小值为 e；
当m 0时，当 x 0时， f (x) ex mx2 e mx2 e 1，所以 f (x)无最小值，即m n无最小值；
x
当m 0时，由（2）得 f (x)只有一个零点 x0，即 e 0 2mx0 0且 x0 0，
当 x x0时， f (x) 0，当 x x0时， f (x) 0，
所以 f (x)在 , x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增， f (x)min f x e x0 20 mx0 e n ，
m n m ex此时 0 mx20 e，
x0 x0 x0
ex0 2mx 0 m e e e m n ex0 x 2 1 x
1
因为 0 ，所以 ，代入得 0 e e 02x 2x 2x 2
x 0 2 e ，
0 0 0 x0
1 1 x 2
令 (x) e x x 2 e(x
e (x 1) (x 1)
0), (x)
2 x 2x2
(x 0)，
当 x 1时， (x) 0，当 1 x 0时， (x) 0，
所以 (x)在 ( , 1)上单调递减，在 ( 1,0)上单调递增，
(x) ( 1 1 3min 1) e ，此时m ,n e，e 2e 2e
所以m n
1
的最小值为 e ......................12分
e
8

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