卷子答案网-一个不只有答案的网站2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的数字特征
一、选择题（共20小题；）
1. 某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 粒，补种的种子数记为 ，则 的数学期望为
A. B. C. D.
2. 已知随机变量 满足下列分布列，当 且不断增大时
A. 增大， 增大
B. 减小， 减小
C. 增大， 先增大后减小
D. 增大， 先减小后增大
3. 甲、乙两自动车床生产同种标准件， 表示甲机床生产 件产品中的次品数， 表示乙机床生产 件产品中的次品数，经过一段时间的考察，， 的分布列分别是
据此判断
A. 甲比乙质量好 B. 乙比甲质量好
C. 甲比乙质量相同 D. 无法判定
4. 设 是一个随机变量，若 ，则
A. B. C. D.
5. 已知随机变量 满足 ，，则下列说法正确的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 如果 是离散型随机变量，，，，那么 和 分别是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 从某班 名学生（其中男生 人，女生 人）中任选 人参加学校组织的社会实践活动．设所选 人中女生人数为 ，则均值 等于
A. B. C. D.
8. 已知离散型随机变量 ，若随机变量 ，则 的数学期望 的值为
A. B. C. D.
9. 若随机变量 的分布列如下表所示，，则
A. B. C. D.
10. 已知随机变量 满足 ，，则下列选项正确的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11. 已知随机变量 满足 ，，．若 ，则
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
12. 某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是 ，同学乙猜对成语的概率是 ，且规定猜对得 分，猜不对得 分，则这两个同学各猜 次，得分之和 （单位：分）的均值为
A. B. C. D.
13. 已知随机变量 ， 满足 ，若 ，，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
14. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次， 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差
A. B. C. D.
15. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 ，现有 颗子弹，命中后的剩余子弹数目 的期望为
A. B. C. D.
16. 某群体中每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体 位成员中使用移动支付的人数，，，则
A. B. C. D.
17. 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验 次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 ，则此人试验次数 的数学期望是
A. B. C. D.
18. 已知 ，，随机变量 的分布列如下：
若 ，则
A. B. C. D.
19. 已知随机变量 ，若 ，则 ， 分别是
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
20. 某城市有甲、乙、丙 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 ，，，且此人是否游览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则 等于
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；）
21. 已知 是离散型随机变量，，，，那么 ， ．
22. 中国福利彩票 游戏（以下简称 ），是以一个 位自然数（如： 记作 ）为投注号码的彩票，投注者从 这些 位自然数中选择一个进行投注，每注 元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金 元，反之则获得奖金 元，某人随机投了一注，他的奖金的期望是 元．
23. 已知随机变量 的概率分布如下：
那么 ， ．
24. 设离散型随机变量 的可能取值为 ，，，，，又 的数学期望 ，则 ．
25. 一个袋中装有 个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球的概率是 ，则袋中的白球个数为 ；若从袋中任意摸出 个球，记得到白球的个数为 ，则随机变量 的均值 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 为了响应教育部颁布的 《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．如图中，已知课程 A，B，C，D，E 为人文类课程，课程 F，G，H 为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取 的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．
（1）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少
（2）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组 M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取 名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人 元，选择课程G的同学参加，费用为每人 元．
（i）设随机变量 表示选出的 名同学中选择课程G的人数，求随机变量 的分布列；
（ii）设随机变量 表示选出的 名同学参加科学营的费用总和，求随机变量 的期望．
27. ， 两组各有 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：，，，，，，
组：，，，，，，
假设所有病人的康复时间互相独立，从 ， 两组随几各选 人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙．
（1）求甲的康复时间不少于 天的概率．
（2）如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
（3）当 为何值时，， 两组病人康复时间的方差相等 （结论不要求证明）
28. 已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为 ．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关．
（1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；
（2）如果在一个用药周期内出现 次或 次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为 ，求 的期望．
29. 如图，某工人的住所在 处，上班的企业在 处，开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择：环城南路经过路口 ，环城北路经过路口 ，中间路线经过路口 ．如果开车到 ，，，， 五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为 ，，，，，此外再无别的路口会遇到红灯．
（1）为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线
（2）对于（）中所选择的路线，求其堵车次数的方差．
30. 某科研团队硏发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了 位患者和 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：
（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（2）从该地区患者中随机选取 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求 的分布列和数学期望；
（3）假设该地区有 万人，患病率为 ．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 并说明理由
答案
1. B 【解析】．
2. C 【解析】由题意可知，随机变量 满足二项分布，即 ，
易得 ，，
所以当 且不断增大时， 增大， 先增大后减小．
3. A 【解析】，，
所以 ，所以甲车床生产的零件次品较少．
4. A 【解析】由 ，得 ，
所以 ．
5. D
【解析】因为随机变量 满足 ，，
所以 ，，
解得 ，．
6. D 【解析】，．
7. B
8. B 【解析】由题设离散型随机变量 ，若随机变量 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
9. B 【解析】因为分布列中所有概率和为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，，
解得 ，，．
10. B
【解析】；．故 ，．
故选：B．
11. A 【解析】因为随机变量 满足 ，，，
，所以 ，
，
，
，
，
，
所以 ，．
12. A 【解析】由题意得 ，则
，
，
，
所以 ．
13. A 【解析】因为 ，所以 ，，
又 ，，所以 ，．
14. C
15. C
【解析】由题意知 ，
因为当 时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，
所以 ，
因为当 时，表示前两次都没射中，第三次射中，
所以 ，
因为当 时，表示第一次没射中，第二次射中，
所以 ，
因为当 时，表示第一次射中，
所以 ，
所以 ．
16. B 【解析】某群体中每位成员使用移动支付的概率都为 ，可看做是独立重复事件，该群体 位成员的支付情况满足 ，
其中
解得 ，且 ，故 ．
17. B 【解析】试验次数 的可能取值为 ，，，
，，．
所以 的分布列为
所以 ．
18. C
19. B
20. A
【解析】 的可能取值为 ，， 表示这三个景点都游览了或都没有游览，
所以 ，，
所以 的分布列为
所以 ．故选A．
21. ，
22.
23. ，
24.
25. ，
【解析】设袋中的白球个数为 ，则有 ，
即 ，
由此解得 ．
的所有可能取值分别为 ，，，，
且 ，
，
，
，
因此 ．
26. （1） 选择人文类课程的人数为 （人）；
选择自然科学类课程的人数为 （人）．
（2） （i）依题意，随机变量 可取 ，，．
，，．
故随机变量 的分布列为
（ii）法 ：依题意，随机变量 ，
所以随机变量 的数学期望为
（ii）法 ：依题意，随机变量 可取 ，，．
所以随机变量 的分布列为
所以随机变量 的数学期望为
27. （1） 设“甲康复的时间不少于 天”为事件 ．
由“从 ， 两组随机地各选 人”，可认为基本事件数为 ，其中满足“甲康复的时间不少于 天”的基本事件数为 ，所以 ．
（2） 设事件 为“甲是 组第 个人”，事件 为“乙是 组第 个人”，．
由题知，当甲是从 组中康复时间为 ， 两人中选或乙是从 组中康复时间为 ， 两人中选时，必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”．故甲是从 组中康复时间为 ，，，， 五人中选取，且乙是从 组中康复时间为 ，，，， 五人中选取，
可认为基本事件数为 ，其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为 ．
设事件 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此 .
（3） 或 ；
28. （1） 方法一：设持续 天为事件 ，，
用药持续最多一个周期为事件 ，
所以 ，，，，
则 ．
方法二：设用药持续最多一个周期为事件 ，则 为用药超过一个周期，
所以 ，
所以 ．
（2） 因为随机变量 可取 ，，
所以 ，，
所以 ．
29. （1） 设这位个人选择行驶路线：，， 时堵车的次数分别为 ，，，
则 ， 的可能取值均为 ，，，
的可能取值为 ，，，．
，
，
．
所以 ．
，
，
．
所以 ．
，
，
，
，
所以 ．
综上， 最小，
所以这位工人应该选择行驶路线 ．
（2） 由（）知，
，，
，，
则
所以该条行驶路线堵车次数的方差为 ．
30. （1） 由题意知， 位患者中有 位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率佔计为 ．
（2） 由题意可知 ，其中 ，．
的所有可能的取值为 ，，，．
，
，
，
．
所以 的分布列为
故 的数学期望 ．
（3） 此人患该疾病的概率未超过 ，理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为 ，其中患者人数为 ．
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 ，
所以此人患该疾病的概率未超过 ．
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