卷子答案网-一个不只有答案的网站9.1.2线性回归方程
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．线性回归直线一定过样本点中心
B．在回归分析中，为0.91的模型比为0.88的模型拟合的效果好
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
【答案】D
【分析】根据回归方程相关知识逐项判断即可.
【解析】回归直线必过样本点中心，故A正确；
拟合系数越大拟合效果越好，故B正确；
残差点分布区域越窄，拟合精度越高，故C正确；
相关系数越接近于1，相关性越强，故当时，r的值越大，变量间的相关性越弱，故D错误.
故选：D
2．下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
B．若，且，则
C．相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%
D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
【答案】A
【分析】根据相关系数的概念，可判定A不正确；C、D正确，根据正态分布曲线的对称性，可判定B正确.
【解析】对于A中，根据相关系数的定义知：相关系数越大且，两个变量的线性相关性越强，所以A不正确；
对于B中，若，且，
可得，所以B正确；
对于C中，根据相关系数的概念，当相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为，所以C正确；
对于D中，根据数据的残差的定义，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以D正确.
故选：A.
3．对四组数据进行统计后，获得了如下图所示的散点图，对于其相关系数的比较，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正相关、负相关以及线性相关关系的强弱可得出结果.
【解析】由题意可知，第一、四组数据正相关，第二、三组负相关，
当相关系数的绝对值越大，数据的线性相关性越强，
且第一组数据的线性相关性较第四组强，则，
第二组数据的线性相关性较第三组强，则且，，则.
因此，.
故选：C.
4．据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.1，则（ ）
A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点
C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1
【答案】C
【分析】根据直线的斜率大小判断A；求出判断B；再求出经验回归方程判断C；计算残差判断D作答.
【解析】对于A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值增加速度变慢，A错误；
对于B，由及得：，因为去除的两个样本点和，
并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为，
因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B错误；
对于C，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B知，，解得，
所以重新求得的回归方程为，C正确；
对于D，由选项C知，，当时，，则，
因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D错误.
故选：C
5．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可.
【解析】由散点图可知这两个变量为负相关，所以．
因为剔除点后，剩下点的数据更具有线性相关性，更接近1，
所以 ．
故选：D．
6．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：
3 4 5 6
标准煤 3 4
已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据以上数据求出的线性回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了（ ）
附：在线性回归方程中，，其中为样本平均值.A．标准煤 B．标准煤
C．标准煤 D．标准煤
【答案】A
【分析】根据表中数据和回归方程公式，代入求解得回归方程，并利用方程对数据进行估计即可.
【解析】，，
，，
所以线性回归方程为，
当，，.
故选：A.
二、多选题
7．对经验回归方程，下列正确的有（ ）
A．决定系数越小，模型的拟合效果越好
B．经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
C．不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值
D．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
【答案】BCD
【分析】利用相关系数与模型的拟合效果可判断A选项；利用经验回归方程的特点可判断BC选项；利用残差平方和与模型的拟合效果可判断D选项.
【解析】对于A选项，决定系数越小，模型的拟合效果越差，A错；
对于B选项，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体，B对；
对于C选项，经验回归方程得到的是响应变量的预报值，不是响应变量的精确值，C对；
对于D选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D对.
故选：BCD.
8．已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（ ）．
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为
C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D．样本的残差为
【答案】ABD
【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC ，再由残差的概念判断D.
【解析】，x新平均数，．
y新平均数，∴，∴．
新的线性回归方程，x，y具有正相关关系，A对．
新的线性回归方程：，B对．
由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；
，，，D对．
故选：ABD．
9．某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999—2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：
该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的有（ ）
A．变量与正相关
B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况
C．若选择模型二，的图象一定经过点
D．当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1
【答案】AD
【分析】根据散点图和变量关系依次判断即可.
【解析】对A，根据散点图易得变量与正相关，故A正确；
对B，由散点图可得与的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，故B错误；
对C，若选择模型二，，令，则图象经过点，故C错误；
对D，当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1，故D正确.
故选：AD.
10．已知关于变量x，y的4组数据如表所示：
x 6 8 10 12
y a 10 6 4
根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r（参考公式：），则（ ）A． B．变量x，y正相关 C． D．
【答案】AC
【分析】根据回归直线必过点解得，所以选项A正确；由回归方程和表格可知选项B错误；利用相关系数求出，所以选项C正确，选项D错误.
【解析】回归直线必过点，，，解得，所以选项A正确；
由回归方程和表格可知，变量x，y负相关，所以选项B错误；
，所以选项C正确，选项D错误.
故选：AC
三、填空题
11．以下两个变量成负相关的是_____．
①学生的学籍号与学生的数学成绩；
②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；
③气温与冷饮销售量；
④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．
【答案】②
【分析】根据相关关系的知识确定正确答案.
【解析】①无相关关系；②负相关；③④正相关.
故答案为：②
12．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据可求得回归直线方程为，根据该回归方程，预测当时，，则___________.
广告费支出x（万元） 2 3 4 5 6
销售额y（万元） 25 37 50 56 64
【答案】9.6
【分析】根据预测值以及样本中心点求得.
【解析】，
所以，解得.
故答案为：
13．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限x（单位：年） 1 2 3 4 5 6 7
失效费y（单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90
由上表数据可知，y与x的相关系数为______.
（精确到0.01，参考公式和数据：，，，）
【答案】0.99
【分析】分别求出，，，再利用参考公式和数据计算即可.
【解析】由题意，知，
，
.
所以.
所以y与x的相关系数近似为0.99.
故答案为：0.99.
四、解答题
14．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度（℃）与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：
(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，.
【答案】(1)答案见解析；
(2)44.
【分析】（1）直接套公式求出系数r，即可判断；（2）套公式求出回归方程，把代入，即可求解.
【解析】（1）由题意可知：.
.又，所以相关系数.
因为相关系数，所以与的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，，，.
所以,
所以.
所以与的回归直线为.
当时，.即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44.
15．某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天每天（用表示）的接种人数y（单位：百人）的相关数据，并制作成如图所示的散点图．
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的线性回归方程；（系数用分数表示）
(2)预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．（结果保留整数）
参考数据：，，，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
【答案】(1)
(2)第13天
【分析】（1）根据已知条件及参考数据，求出，进而即可求出回归方程；
（2）利用（1）的回归方程及已知条件，结合不等式的解法即可求解.
【解析】（1）∵，，
∴，
又，，
∴，
∴y关于t的线性回归方程为．
（2）令，得，
∴预测第13天的接种人数会首次突破2500人．
16．秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）
如下：
日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
日期代码 1 2 3 4 5 6 7
杯数 4 15 22 26 29 31 32
(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，与哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？
(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.
参考公式和数据：其中
回归直线方程中，
22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2
【答案】(1)图见解析，更适宜作为关于的回归方程模型；
(2)，到第9天才能超过35杯；
(3)分布列见解析.
【分析】(1)根据散点图趋势即可判断；
(2)利用非线性回归方程转化为线性回归方程的方法求解；
(3)根据超几何分布求分布列.
【解析】（1）
根据散点图，知更适宜作为关于的回归方程模型；
（2）令，则，
由已知数据得，
，
所以，
故关于的回归方程为，
进而由题意知，令，整理得，即，
故当时，即到第9天才能超过35杯；
（3）由题意知，这7天中销售超过25杯的有4天，则随机变量的可能取值为
，，
，，
则随机变量的分布列为
0 1 2 39.1.2线性回归方程
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．线性回归直线一定过样本点中心
B．在回归分析中，为0.91的模型比为0.88的模型拟合的效果好
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
2．下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
B．若，且，则
C．相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%
D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
3．对四组数据进行统计后，获得了如下图所示的散点图，对于其相关系数的比较，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.1，则（ ）
A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点
C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1
5．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（ ）
A． B．
C． D．
6．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：
3 4 5 6
标准煤 3 4
已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据以上数据求出的线性回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了（ ）
附：在线性回归方程中，，其中为样本平均值.A．标准煤 B．标准煤
C．标准煤 D．标准煤
二、多选题
7．对经验回归方程，下列正确的有（ ）
A．决定系数越小，模型的拟合效果越好
B．经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
C．不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值
D．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
8．已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（ ）．
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为
C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D．样本的残差为
9．某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999—2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：
该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的有（ ）
A．变量与正相关
B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况
C．若选择模型二，的图象一定经过点
D．当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1
10．已知关于变量x，y的4组数据如表所示：
x 6 8 10 12
y a 10 6 4
根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r（参考公式：），则（ ）A． B．变量x，y正相关 C． D．
三、填空题
11．以下两个变量成负相关的是_____．
①学生的学籍号与学生的数学成绩；
②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；
③气温与冷饮销售量；
④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．
12．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据可求得回归直线方程为，根据该回归方程，预测当时，，则___________.
广告费支出x（万元） 2 3 4 5 6
销售额y（万元） 25 37 50 56 64
13．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限x（单位：年） 1 2 3 4 5 6 7
失效费y（单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90
由上表数据可知，y与x的相关系数为______.
（精确到0.01，参考公式和数据：，，，）
四、解答题
14．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度（℃）与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：
(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，.
15．某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天每天（用表示）的接种人数y（单位：百人）的相关数据，并制作成如图所示的散点图．
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的线性回归方程；（系数用分数表示）
(2)预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．（结果保留整数）
参考数据：，，，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
16．秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）
如下：
日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
日期代码 1 2 3 4 5 6 7
杯数 4 15 22 26 29 31 32
(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，与哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？
(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.
参考公式和数据：其中
回归直线方程中，
22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2
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