卷子答案网-一个不只有答案的网站5.2导数的运算
一、单选题
1．设函数，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知曲线在点处的切线方程为, 则（ ）
A． B． C． D．
3．已知及其导函数定义域为，满足：，，，定义域为，若在点处的切线斜率与在点处的切线斜率相同，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数定义域为R，定义域为在处的切线斜率与在处的切线斜率相等，则（ ）
A．0 B． C． D．
5．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．曲线（）在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
8．若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设定义在上的函数与的导数分别为与，若，，且，则（ ）
A． B．的图像关于点对称
C．的图像关于直线对称 D．的周期为4
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则函数在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中有“巧值点”的函数是（ ）
A． B． C． D．
12．下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
三、填空题
13．函数的图像在点处的切线的倾斜角为______.
14．物体做直线运动，其运动规律是，为时间，单位是s；为路程，单位是m，则它在时的瞬时速度为____m/s．
15．已知曲线在点处的切线与曲线也相切.则______．
16．曲线在处的切线方程为 _____．
四、解答题
17．求下列函数的导数.
(1)；
(2).
18．求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)．
19．已知函数，且，求的导数．
20．求下列函数的导数．
（1）（为常数）；
（2）.
21．已知函数，其中是的导函数.
(1)求；
(2)求曲线过原点的切线方程.
22．已知函数，（a为常数）．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．5.2导数的运算
一、单选题
1．设函数，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据幂函数的求导公式求导即可.
【详解】∵，
∴，
解得.
故选：B.
2．已知曲线在点处的切线方程为, 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.
【详解】根据导数的运算公式
,
当时,,
,即.
满足方程,
即,
.
故选:A.
3．已知及其导函数定义域为，满足：，，，定义域为，若在点处的切线斜率与在点处的切线斜率相同，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数求导求得，，再由斜率相等时导函数值相等解决即可.
【详解】由题知，及其导函数定义域为，满足：
，
所以，
所以，即，
因为，，
所以，
因为在点处的切线斜率与在点处的切线斜率相同，
所以，
所以，
所以，
因为
解得，
故选：B
4．已知函数定义域为R，定义域为在处的切线斜率与在处的切线斜率相等，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】由导数的运算公式及运算法则，分别求解导函数，根据题意可得，即可求解的值.
【详解】解：因为，所以，其中，
又，所以，其中，
由题意可得，所以，且，所以解得.
故选：D.
5．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求解，
【详解】由题意得，则，
，，则所求切线方程为，即，
故选：C
6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由导数法求出切线方程，再求出截距，即可求所围三角形面积.
【详解】，在点处的切线为，截距分别为，故切线与坐标轴所围三角形的面积为.
故选：D
7．曲线（）在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出导数，得到切线斜率，利用两条直线互相垂直时斜率之间的关系，求得答案．
【详解】∵，∴，∴，即切线斜率为，
又∵曲线（）在点处的切线与直线垂直，
∴，即．
故选：A．
8．若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对求导，得到，令，得到，即可得到，然后求即可.
【详解】由，得，令，则，解得，所以，.
故选：D.
二、多选题
9．设定义在上的函数与的导数分别为与，若，，且，则（ ）
A． B．的图像关于点对称
C．的图像关于直线对称 D．的周期为4
【答案】BCD
【分析】根据函数的对称性及周期性的条件判断即可．
【详解】解：，
令，得，故A错误；
，，
，
∵，，
，
令，得，
，
关于直线x＝2对称，
，
∴ 函数的图像关于点对称，故B、C正确；
，
，
，
，
，
即，
，
的周期，故D正确．
故选：BCD．
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则函数在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据凸函数的定义，求出函数的二阶导函数，分别判断即可．
【详解】对于对于，，，
当时，恒成立，故A为凸函数；
对于B.对于，，，
当时，恒成立，故B为凸函数；
对于C.对于，，
，
当时，，，恒成立，故C为凸函数；
对于D.对于，，，
当时，恒成立，故D不是凸函数．
故选：．
11．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中有“巧值点”的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据“巧值点”的定义，结合导数运算，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【详解】对A：，则，令，则，故有“巧值点”；
对B：，则，因为恒成立，故任意的，都是的“巧值点”；
对：，则，令，整理得，方程无根，
故没有“巧值点”；
对：定义域为，则，而，
显然无根，故没有“巧值点”.
故选：.
12．下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】BCD
【分析】根据基本初等函数的导数公式求各选项中函数的导函数.
【详解】A：，错误；
B：，则，正确；
C：，正确；
D：正确.
故选：BCD
三、填空题
13．函数的图像在点处的切线的倾斜角为______.
【答案】##
【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
设直线的倾斜角为，则，
又，
所以，
故答案为：.
14．物体做直线运动，其运动规律是，为时间，单位是s；为路程，单位是m，则它在时的瞬时速度为____m/s．
【答案】####
【分析】对求导，将代入计算即可
【详解】由，则
所以该物体在时的瞬时速度为：m/s
故答案为：
15．已知曲线在点处的切线与曲线也相切.则______．
【答案】1
【分析】由导数的几何意义求解，
【详解】令，，
则，，，则点处的切线方程为
令，，
由题意得，解得，
故答案为：1
16．曲线在处的切线方程为 _____．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义即得.
【详解】因为，
所以，
当时，，，
故切线方程为：，即.
故答案为：.
四、解答题
17．求下列函数的导数.
(1)；
(2).
【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可.
【详解】（1），则.
（2），.
18．求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用导数的运算法则求解.
【详解】（1）解：因为，
所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
，
所以.
19．已知函数，且，求的导数．
【答案】
【分析】根据导数的运算法则求解.
【详解】,
.
20．求下列函数的导数．
（1）（为常数）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用导数运算法则可求得原函数的导数;
（2）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数
【详解】（1）由可得；
（2）由可得
21．已知函数，其中是的导函数.
(1)求；
(2)求曲线过原点的切线方程.
【分析】（1）求出函数的导函数，再令，计算可得；
（2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出的值，再代入求出切线方程.
【详解】（1）解：因为，
所以，
令，得，
∴.
（2）解：由（1）可得，所以，
设切点，则，
所以切线方程为，
由题，
整理得，解得或.
当时，切线方程为；
当时，切线方程为.
综上，曲线过原点的切线方程为或.
22．已知函数，（a为常数）．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论求解.
（2）利用分离参数法，再通过构造函数，利用导数求函数的单调性、最值进行求解.
【详解】（1）函数的定义域为，，
①若，有，函数在上单调递增；
②若，有，
∴当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
综上，当，函数在上单调递增；当，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）∵对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
∴，即，
故得，设，
∵，
当时，，，
∴，故函数在上单调递增；
∴，故．
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