卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年秋人教版九年级数学上册第22章二次函数单元综合练习题
一、选择题（满分30分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B．y＝2x+1 C．y＝x2+x﹣2 D．y2＝x2+3x
2．抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
3．二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3
4．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．y轴 C．直线x D．直线x
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＞0
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．某品牌服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．yx2+10x+1200（0＜x＜60） B．yx2﹣10x+1250（0＜x＜60）
C．yx2+10x+1250（0＜x＜60） D．yx2+10x+1250（x≤60）
9．点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞2 B．m C．m＜1 D．m＜2
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共18分）
11．当a＝ 时，函数y＝（a﹣1）x﹣3是二次函数．
12．已知A（4，y1）、B（﹣4，y2）是抛物线y＝（x+3）2﹣2的图象上两点，则y1 y2．
13．若抛物线y＝x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为 ．
14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．
15．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
16．如图，等腰Rt△DEF的三个顶点分别在等边△ABC的三条边上，∠EDF＝90°．已知AB＝33，则△DEF面积的最小值是 ．
三、解答题（共72分）
17．二次函数的图象如图所示，求这条抛物线的解析式．
18．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高和为20，写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时，BC的长．
19．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤4时，y的最小值是 ，最大值是 ；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
20．已知抛物线y＝x2﹣px．
（1）若抛物线与y轴交点的坐标为（0，1），求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）证明：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点．
21．已知在平面直角坐标系内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
22．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
23．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．直线AC：y＝﹣x+3与x轴y轴的交点分别为A、C，B点坐标为（﹣1，0）．
（1）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象恰好过A、C、B三点，求二次函数的解析式；
（2）P为抛物线上一点，且∠PCO＝∠POC，求点P的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0）．①做DE⊥AC，垂足为点E，若DE＝CE，求D点坐标；
②线段DE是否存在最大值，若存在，求出D点坐标及这个最大值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（满分30分）
1．解：A、，分母中含有自变量，不是二次函数，错误；
B、y＝2x+1，是一次函数，错误；
C、y＝x2+x﹣2，是二次函数，正确；
D、y2＝x2+3x，不是函数关系式，错误．故选C．
2．解：
∵y＝2x2+1＝2（x﹣0）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（0，1），
故选：B．
3．解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1＝1，
∴a+b＝2，
∴a+b+1＝3．
故选：D．
4．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．
则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
故选：C．
5．解：∵当x＝0和x＝2时，y值均为﹣3，
∴点（0，﹣3）和（2，﹣3）关于二次函数图象的对称轴对称，
∴二次函数图象的对称轴为直线x1．
故选：A．
6．解：
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下，
∴函数值y＞0时，自变量x的取值范围是﹣2＜x＜4，
故选：C．
7．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过一，二，三象限．
故选：A．
8．解：设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，由题意得：
y＝（210﹣150﹣x）（20），
x2+10x+1200（0＜x＜60）．
故选：A．
9．解：∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，
∴y1＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，
y2＝（m﹣1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，
∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，
即﹣2m+3＜0，
∴m，
故选：B．
10．解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴b＞0
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵1，
∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，所以②错误；
③当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+mb+c，
即a+b≥m（am+b），所以④错误．
故选：B．
二、填空题（共18分）
11．解：根据题意得：a2+1＝2且a﹣1≠0，
由a﹣1≠0得a≠1，
由a2+1＝2得a＝±1，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：由y＝（x+3）2﹣2可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∵抛物线开口向上，而点A（4，y1）到对称轴的距离比B（﹣4，y2）远，
∴y1＞y2．
故答案为＞．
13．解：坐标系右移上移，得图象左移下移，得
y＝（x+1）2﹣2（x+1）+3﹣3
化简，得
y＝x2﹣1，
故答案为：y＝x2﹣1．
14．解：令函数式y（x﹣4）2+3中，y＝0，
0（x﹣4）2+3，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
15．解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝2，
当函数为一次函数时，a﹣1＝0，解得：a＝1．
故答案为：﹣1或2或1．
16．解：∵△DEF为等腰直角三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥AB于N，则∠AME＝∠DME＝∠BNF＝∠FND＝90°，
∴∠DEM+∠MDE＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠MDE+∠FDN＝90°，
∴∠DEM＝∠FDN，
在Rt△DEM和Rt△FDN中，
，
∴Rt△DEM≌Rt△FDN（AAS），
∴DM＝FN，EM＝DN，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴DN＝EMAM，DM＝FNBN，
∵AB＝33，
∴AMBNAM+BN＝33，
即（1）（AM+AN）＝3（1），
∴AM+BN＝3，
即BN＝3﹣AM，
在Rt△DEM中，DM2+EM2＝DE2，
∴DE2＝（BN）2+（AM）2
＝3（BN2+AM2）
＝3[（3﹣AM）2+AM2]
＝3（2AM2﹣6AM+9），
∴S△DEFDE DF
DE2
（2AM2﹣6AM+9）
＝3（AM）2，
∴当AM时，S△DEF有最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17．解：由图象可知，抛物线的顶点为（1，4），与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把点（﹣1，0）代入得a （﹣1﹣1）2+4＝0，
解得a＝﹣1．
所以二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．
18．解：由三角形的面积公式，得
yx2+10x （0＜x＜20），
当y＝48时，x2+10x＝48．
因式分解，得
（x﹣12）（x﹣8）＝0．
解得x＝12，或x＝8．
即BC的长是12或8．
19．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝（x2﹣6x+9）﹣9+8＝（x﹣3）2﹣1；
（2）∵抛物线y＝x2﹣6x+8开口向上，对称轴为x＝3，
∴当0≤x≤4时，x＝3，y有最小值﹣1；x＝0，y有最大值8；
（3）∵y＝0时，x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或4，
∴当y＜0时，x的取值范围是2＜x＜4．
故答案为﹣1，8．
20．解：（1）对于抛物线y＝x2﹣px，
将x＝0，y＝1代入得：1，
解得，ρ，
则抛物线解析式为：y＝x2x+1，
令y＝0，得到x2x+1＝0，
解得：x1，x2＝2，
则抛物线与x轴交点的坐标为（，0）、（2，0）；
（2）对于一元二次方程x2﹣px0，
∵△＝p2﹣4（）＝p2﹣2p+1＝（p﹣1）2≥0，
∴无论p为何值，抛物线与x轴必有交点．
21．解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+6得0＝9+3b+6，解得b＝﹣5，
所以抛物线的表达式y＝x2﹣5x+6；
（2）∵抛物线的表达式y＝x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
∴S△ABC1×6＝3．
22．解：（1）根据题意得：（30﹣2x）x＝72，
解得：x＝3或x＝12，
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃园的面积为y，
∴y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x）2，
∵a＝﹣2＜0，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当x时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大＝112.5平方米；
∵6≤x≤11，
∴当x＝11时，y最小＝88平方米．
23．解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
24．解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a，
∴y（x﹣1）（x﹣5）x2x+4（x﹣3）2，
∴抛物线的对称轴是：直线x＝3；
（2）存在，P点坐标为（3，）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得，
解得，
∴yx，
∵点P的横坐标为3，
∴y3，
∴P（3，）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：yx+4，
把x＝t代入得：yt+4，则G（t，t+4），
此时：NGt+4﹣（t2t+4）t2+4t，
∵AD+CF＝CO＝5，
∴S△ACN＝S△ANG+S△CGNAD×NGNG×CFNG OC（t2+4t）×5＝﹣2t2+10t＝﹣2（t）2，
∴当t时，△CAN面积的最大值为，
由t，得：yt2t+4＝﹣3，
∴N（，﹣3）．
25．解：（1）∵对于y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0）；C（0，3 ）．
将A，B，C三点坐标代入 y＝ax2+bx+c得：
．
∴解得：．
∴解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵∠PCO＝∠POC，
∴PC＝PO．
∴△PCO是以P为顶点的等腰三角形，
∴点P在线段OC的垂直平分线上，
∴点P的纵坐标为．
令，
∴，
解得：，；
∴满足条件的p点是和．
（3）①∵A（3，0）；C（0，3 ）．，
∴OC＝OA＝3，
∴∠OCA＝45°，
又∵CE＝DE，DE⊥AC，
∴∠DCE＝45°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD∥x轴，
∴点D的纵坐标为3．
令y＝3，
∴﹣x2+2x+3＝3，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴D（2，3）．
②线段DE存在最大值，
过D点作DQ∥y轴，交AC于点Q，如图，
∵DQ∥y轴，
∴∠DQE＝∠OCA．
∵∠OCA＝45°，
∴∠DQE＝45°．
∵DE⊥AC，
∴△DEQ为等腰直角三角形，
∴．
设D（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），
∴DQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）．
∴，
∵0，
∴当时，，
∴当时，y23＝6．
∴D坐标为．
∴线段DE存在最大值，最大值为，此时点D的坐标为（）．
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