卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年广东省惠州市高三（上）第一次调研数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．设U＝{x|x是不大于6的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，求 U（A∪B）＝（ ）
A． B．{4，6}
C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4，5，6}
2．设复数z满足z（1﹣i）＝1+i，则z的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
3．若（x+2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．15 D．﹣15
4．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．14π B．18π C．30π D．44π
6．甲乙两位游客慕名来到惠州旅游，准备分别从惠州西湖、博罗罗浮山、龙门南昆山、惠东盐洲岛和大亚湾红树林5个景点中各随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择罗浮山，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
7．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），且当x∈[0，1]时，f'（x）＞π，则不等式f（x）≤sinπx在[﹣3，3]上的解集为（ ）
A．[﹣2，0]∪[2，3] B．[﹣1，3] C．[﹣1，2] D．[﹣3，﹣2]∪[0，2]
二、多选题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
（多选）9．已知a＝log2e，b＝ln2，，则下列关系式中，正确的是（ ）
A．a＞b B．a＞c C．c＞a D．a+b＝2
（多选）10．下列说法正确的是（ ）
A．残差图中若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高
B．在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数
C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9
D．某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675人
（多选）11．若过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x﹣1）ex的图象相切，则实数λ可能是（ ）
A． B． C． D．0
（多选）12．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，以正方体中心O为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球O的半径
B．球O在正方体外部分的体积大于
C．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则
D．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13．设sinα＝，α∈（，π），则tanα的值为 ．
14．已知函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2，则f（x）的解析式可以是 .（写出满足条件的一个解析式即可）
15．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 ．
16．已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交抛物线C于P，Q两点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，b＝4，求△ABC的面积．
18．设等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn＝3﹣，求{bn}的前n项和Sn．
19．如图，在五面体ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD＝2BE，AB＝BC．
（1）问：在线段CD上是否存在点P，使得PE⊥平面ACD？若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
（2）若，AC＝2，AD＝2，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值．
20．学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p1，p2．
（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；
（2）用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F（1，0），O为坐标原点，线段OA的中点为D，且|BD|＝|DF|．
（1）求C的方程；
（2）已知点M，N均在直线x＝2上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM，AN分别交椭圆C于另一点P，Q，证明：直线PQ与直线OT垂直．
22．已知函数，a＞0．
（1）讨论f（x）极值点的个数；
（2）若f（x）恰有三个零点t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）和两个极值点x1，x2（x1＜x2）．
（ⅰ）证明：f（x1）+f（x2）＝0；
（ⅱ）若m＜n，且mlnm＝nlnn，证明：．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．设U＝{x|x是不大于6的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，求 U（A∪B）＝（ ）
A． B．{4，6}
C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4，5，6}
【分析】可求出集合U，然后进行并集和补集的运算即可．
解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，
∴A∪B＝{1，2，3，5}， U（A∪B）＝{4，6}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，全集的定义，并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．设复数z满足z（1﹣i）＝1+i，则z的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
【分析】先利用复数的运算法则求出复数z，然后利用复数的定义进行判断即可．
解：因为z（1﹣i）＝1+i，
所以，
故z的虚部为1．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算，涉及了复数的定义的理解，解题的关键是先利用复数的运算化简复数z．属于基础题．
3．若（x+2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．15 D．﹣15
【分析】令x＝1即可求解．
解：由题意：令 x＝﹣1，得 a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
4．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，
即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．
5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．14π B．18π C．30π D．44π
【分析】确定每段圆弧的中心角是，第n段圆弧的半径为n，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前n项和公式计算．
解：由题意每段圆弧的中心角都是，第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，
则，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
6．甲乙两位游客慕名来到惠州旅游，准备分别从惠州西湖、博罗罗浮山、龙门南昆山、惠东盐洲岛和大亚湾红树林5个景点中各随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择罗浮山，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
解：事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择罗浮山，
则， 所以 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
7．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】作出图象，求出相应的长度，根据离心率的关系进行转化求解即可．
解：设双曲线的一条渐近线为y＝，
过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF2|＝b，
则|OP|＝a，cos∠PF2O＝，
在△PF1F2中，cos∠PF2O＝＝，
得|PF1|2＝4c2﹣3b2＝4（a2+b）2﹣3b2＝4a2+b2，
∵e＝，得＝1+＝3，
得＝2，
则＝＝＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，根据条件建立方程求出相应长度，利用离心率的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．
8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），且当x∈[0，1]时，f'（x）＞π，则不等式f（x）≤sinπx在[﹣3，3]上的解集为（ ）
A．[﹣2，0]∪[2，3] B．[﹣1，3] C．[﹣1，2] D．[﹣3，﹣2]∪[0，2]
【分析】根据题意得到函数f（x）是周期为4的函数，且图像关于x＝1对称，令g（x）＝f（x）﹣πx，得到g（x）在[0，1]上为增函数，求得f（x）﹣πx≤sinπx﹣πx，即f（x）≤sinπx，在同一坐标系中作出两函数的草图，由图象观察即可得解．
解：∵f（2+x）＝f（﹣x），∴f（4+x）＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴函数f（x）是周期为4的函数，且函数图像关于x＝1对称，
令g（x）＝f（x）﹣πx，g′（x）＝f′（x）﹣π，
∵当x∈[0，1]时，f'（x）＞π，
∴当x∈[0，1]时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）＝f（x）﹣πx在[0，1]上为增函数，
∴当x∈[0，1]时，g（x）≥g（0）＝f（0）﹣π×0＝0，即f（x）﹣πx≥0，
设h（x）＝sinπx﹣πx，x∈[0，1]，h'（x）＝πcosπx﹣π＝π（cosπx﹣1）≤0，
即函数h（x）在[0，1]上单调递减，则sinπx﹣πx≤0，即sinπx≤πx，
故f（x）≥sinπx在[0，1]上恒成立，
由对称性及周期性作函数f（x）的示意图及函数y＝sinπx的图象如下，
由图象可知，不等式f（x）≤sinπx在[﹣3，﹣3]上的解集为[﹣2，0]∪[2，3]．
故选：A．
【点评】本题考查函数的性质及不等式的求解，考查导数的应用，考查运算求解能力，旨在培养学生的数学抽象思维及数形结合思想，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
（多选）9．已知a＝log2e，b＝ln2，，则下列关系式中，正确的是（ ）
A．a＞b B．a＞c C．c＞a D．a+b＝2
【分析】由换底公式可得，，根据0＜ln2＜1可比较a，b，c的大小，根据基本不等式可得a+b＞2．
解：，，
因为0＜ln2＜1，所以，所以，即a＞b．
因为ln3＞lne＝1，所以，即c＞a．
所以c＞a＞b，故AC正确，B错误．
，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题．
（多选）10．下列说法正确的是（ ）
A．残差图中若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高
B．在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数
C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9
D．某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675人
【分析】根据残差的定义即可判断A；根据频率分布直方图的特征即可判断B；根据百分位数的定义即可判断C；根据分层抽样的抽样比即可求解D．
解：对于A，由残差定义，如果样本数据点分布的带状区域越狭窄，
说明该模型的似合精度越高，故A正确；
对于B，在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故B错误；
对于C，∵8×0.75＝6，
∴该组数据的第75百分位数为第6个数和第7个数的平均数为10，故C错误；
对于D，设该校女生人数为n，由已知可得，
解得n＝675，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查残差的定义、频率分布直方图的特征、百分位数的定义、分层抽样的抽样比等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．若过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x﹣1）ex的图象相切，则实数λ可能是（ ）
A． B． C． D．0
【分析】设切点为（x0，y0），利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点的坐标，可得λ＝，问题转化为该方程有三个不等根，令f（x）＝（﹣x2+2x﹣1）ex，再由导数求极值得答案．
解：设切点为（x0，y0），
由f（x）＝（x﹣1）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex．
则f′（x0）＝，
∴过点P的切线方程为y＝，
代入点P（1，λ）坐标并化简，可得λ＝，即这个方程有三个不等根，
令f（x）＝（﹣x2+2x﹣1）ex，求导得到f′（x）＝﹣（x﹣1）（x+1）ex，
函数在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又f（﹣1）＝﹣，f（1）＝0，当x→﹣∞时，f（x）→0，当x→+∞时，f（x）→﹣∞，
∴要使方程λ＝有三个不等实数根，则﹣＜λ＜0，
结合选项可得：实数λ可能是或．
故选：BC．
【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键，是中档题．
（多选）12．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，以正方体中心O为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球O的半径
B．球O在正方体外部分的体积大于
C．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则
D．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则
【分析】对于A，画出图形易知正方体的棱切球的半径；对于B，结合球的体积和正方体体积公式即可判断；对于CD，取AB中点E，可知E在球面上，根据空间向量的数量积运算即可判断．
解：对于A，如图所示，正方体的棱切球O的半径，
故A错误；
对于B，若球体、正方体的体积分别为V1，V2，
球O在正方体外部的体积，
故B正确；
对于C、D，取AB中点E，可知E在球面上，
可得，
所以，
点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，
所以（当PE为直径时，），
所以，
故C错误，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了空间几何体体积的运算，属中档题．
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13．设sinα＝，α∈（，π），则tanα的值为 ﹣ ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα的值．
解：∵sinα＝，α∈（，π），
∴cosα＝﹣＝﹣，
∴tanα＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14．已知函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2，则f（x）的解析式可以是 f（x）＝2x .（写出满足条件的一个解析式即可）
【分析】利用待定系数法求解即可，若设f（x）＝ax，然后代入化简求出a即可．
解：设f（x）＝ax，则由f（x+1）＝f（x）+2，
得a（x+1）＝ax+2，解得a＝2，
所以f（x）＝2x，
故答案为：f（x）＝2x（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了待定系数法在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
15．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 [﹣2，2] ．
【分析】建立坐标系，设出点P的坐标，利用向量的数量积，转化求解即可．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），D（2，0），C（1，），D（﹣1，）
当点P在BC上时，设P（x，），x∈[﹣1，1]，＝（2，0），＝（x，），
则＝2x∈[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．
16．已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交抛物线C于P，Q两点，则的取值范围是 ．
【分析】根据题意，求出抛物线方程，设，不妨取x1＞0，x2＞0，再根据点B，P，Q三点共线，得kBP＝kBQ，进而得到x1x2＝1，再进而化简，可求解．
解：因为点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，所以2p＝1，，
所以，抛物线方程为x2＝y，
设点，
不妨取x1＞0，x2＞0，由点B，P，Q三点共线，得kBP＝kBQ，得，
故原式＝，
令，
故原式＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的交点相关问题，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，b＝4，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简可求A；
（2）结合余弦定理先求出c，然后结合三角形面积公式可求．
解：（1）因为，
由正弦定理得sinB+sinBcosA＝sinAsinB，
因为sinB＞0，
所以1+cosA＝sinA，
所以sinA﹣cosA＝1，
即2sin（A﹣）＝1，
由A为三角形内角得A＝；
（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以21＝16+c2﹣4c，
解得c＝5（舍负），
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝＝5．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18．设等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn＝3﹣，求{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）先根据题干已知条件列出关于首项a1的方程，解出a1的值，进一步推导出公差d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
（2）先将n＝1代入题干表达式计算出a1b1的值，当n≥2时，由，可得，两式相减进一步推导即可计算出anbn的表达式，再根据第（1）题中得到等差数列{an}的通项公式即可推导出数列{bn}的通项公式，并判别出数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，最后根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和Sn．
解：（1）依题意，由d＝2a1，
可得a5＝a1+4d＝a1+4 2a1＝9a1＝9，解得a1＝1，
则d＝2a1＝2×1＝2，
∴an＝1+2 （n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．
（2）由题意，当n＝1时，，
当n≥2时，由，
可得，
两式相减，
可得anbn＝3﹣﹣3+＝，
∵当n＝1时，也满足上式，
∴，n∈N*，
由（1）知an＝2n﹣1，
则＝ （）n﹣1，
∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，
∴Sn＝＝．
【点评】本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归思想，等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19．如图，在五面体ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD＝2BE，AB＝BC．
（1）问：在线段CD上是否存在点P，使得PE⊥平面ACD？若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
（2）若，AC＝2，AD＝2，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值．
【分析】（1）分别取AC，CD的中点O，P，连接OB，PE，OP，易证四边形OBEP为平行四边形，从而知OB∥PE，再证OB⊥平面ACD，进而得证；
（2）延长AB，DE交于一点F，连接CF，利用定义证明∠ACD即为平面ECD与平面ABC的夹角，再解直角三角形，得解．
解：（1）当P为线段CD的中点时，PE⊥平面ACD，证明过程如下：
分别取AC，CD的中点O，P，连接OB，PE，OP，则，
因为AD∥BE，AD＝2BE，
所以OP∥BE，OP＝BE，即四边形OBEP为平行四边形，
所以OB∥PE，
因为AD⊥平面ABC，OB 平面ABC，所以AD⊥OB，
由AB＝BC，O为AC中点，知OB⊥AC，
又AC∩AD＝A，AC，AD 平面ACD，
所以OB⊥平面ACD，
所以PE⊥平面ACD，
综上，存在，且当P为线段CD的中点时，PE⊥平面ACD．
（2）在平面ABED中，延长AB，DE交于一点F，连接CF，则CF为平面ECD与平面ABC的交线，
由于AD∥BE，AD＝2BE，所以B为AF的中点，
因为O为AC的中点，所以OB∥CF，
由（1）知，OB⊥平面ACD，
所以CF⊥平面ACD，
又AC，CD 平面ACD，
所以CF⊥AC，CF⊥CD，
因为AC 平面ABC，CD 平面ECD，且AD⊥平面ABC，AC 平面ABC，
所以AD⊥AC，则∠ACD为锐角，
故∠ACD即为平面ECD与平面ABC夹角，
在Rt△ACD中，AC＝2，AD＝2，所以，
所以，
故平面ECD与平面ABC夹角的余弦值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，平面与平面夹角的定义与找法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
20．学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p1，p2．
（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；
（2）用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望．
【分析】（1）由题意，设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，利用互斥事件和独立事件的概率共求得p1＝0.575和p2＝0.425，结合，即可得到结论；
（2）先得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，
则教师甲获得冠军的概率
＝0.4×0.5×0.75+0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.15+0.225+0.15+0.05＝0.575，
则教室以获得冠军的概率p2＝1﹣p1＝0.425，
因为，
解得|p1﹣p2|＝0.15，
又，
所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别；
（2）已知X的所有取值为﹣15，0，15，30，
此时P（X＝﹣15）＝0.4×0.5×0.75＝0.15，P（X＝0）＝0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.425，
P（X＝15）＝0.4×0.5×0.25+0.6×0.5×0.25+0.6×0.5×0.75＝0.35，P（X＝30）＝0.6×0.5×0.25＝0.075，
则X的分布列为：
X ﹣15 0 15 30
P 0.15 0.425 0.35 0.075
所以E（X）＝﹣15×0.15+0×0.425+15×0.35+30×0.075＝5.25．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F（1，0），O为坐标原点，线段OA的中点为D，且|BD|＝|DF|．
（1）求C的方程；
（2）已知点M，N均在直线x＝2上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM，AN分别交椭圆C于另一点P，Q，证明：直线PQ与直线OT垂直．
【分析】（1）由题意得A，D，B的坐标，再由|BD|＝|DF|，整理可得b2＝a+1，结合隐含条件即可求得a与b的值，则椭圆方程可求；
（2）设M（2，m），N（2，n），可得T（2，），由已知可得，推出4+mn＝0，写出AM所在直线方程，与椭圆方程联立求得P点坐标，同理求得Q点坐标，再由即可证明PQ⊥OT．
【解答】（1）解：由题意，A（﹣a，0），D（，0），B（0，b），
由|BD|＝|DF|，得|BD|2＝|DF|2，即，可得b2＝a+1，
又a2＝b2+c2＝b2+1，解得a＝2，b＝，
∴椭圆C的方程为；
（2）证明：设M（2，m），N（2，n），可得T（2，），
∵以MN为直径的圆经过O点，∴OM⊥ON，即，
∴4+mn＝0，
∵，∴lAM：y＝，
联立，得（m2+12）x2+4m2x+4m2﹣48＝0．
∴，得，
＝，则P（，）；
同理可得Q（，）．
∴，
又，
∴＝．
又mn+4＝0，∴＝2﹣2＝0．
∴，即PQ⊥OT．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．
22．已知函数，a＞0．
（1）讨论f（x）极值点的个数；
（2）若f（x）恰有三个零点t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）和两个极值点x1，x2（x1＜x2）．
（ⅰ）证明：f（x1）+f（x2）＝0；
（ⅱ）若m＜n，且mlnm＝nlnn，证明：．
【分析】（1）求导得f′（x）＝﹣（x＞0），分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，极值，即可得出答案．
（2）（ⅰ）证明：由（1）知：0＜a＜且x1x2＝1，又f（）＝ln﹣a（﹣x）＝﹣f（x），即可得出答案．
（ⅱ）由（ⅰ）知f（）＝﹣f（x），0＜a＜，t1＜x1＜t2＝1＜x2＜t3，则t1t3＝1，进而可得t1t2t3＝1，令h（x）＝xlnx，x＞0，求导分析单调性可得0＜m＜＜n＜1，要证明：＞n（lnn+1），只要证明ln[（1﹣m）e﹣m]＞nln（n+1），只需证明ln（1﹣m）+1﹣m＞lnn+1+ln（lnn+1），又t（x）＝lnx+x在（0，+∞）上单调递增，只需证明1﹣m＞lnn+1（易证n＞ln+1），即证明m+n＜1，即可得出答案．
解：（1）f′（x）＝﹣a﹣＝﹣（x＞0），
设函数g（x）＝ax2﹣x+a，
当x≥时，g（x）开口向上，Δ＝1﹣4a2≤0，
所以f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值点，
当0＜a＜时，g（x）＝0在（0，+∞）上有两个解x1＝，x2＝，
因为x1x2＝1，
所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，在（x2，+∞）上单调递减，
所以f（x）有两个极值点，
综上所述，当a≥时，f（x）无极值点，
当0＜a＜时，f（x）有两个极值点．
（2）（ⅰ）证明：由（1）知：0＜a＜且x1x2＝1，
因为f（）＝ln﹣a（﹣x）＝﹣lnx﹣a（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x1）+f（x2）＝f（x1）+f（）＝0．
（ⅱ）由（ⅰ）知f（）＝﹣f（x），0＜a＜，t1＜x1＜t2＝1＜x2＜t3，
所以t1t3＝1，
所以t1t2t3＝1，
令h（x）＝xlnx，x＞0，
h′（x）＝lnx+1，
所以h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
因为x＞1时，h（x）＞0，
0＜x＜1时，h（x）＜0，
所以0＜m＜＜n＜1，
所以要证明：＞n（lnn+1），
只要证明ln[（1﹣m）e﹣m]＞nln（n+1），
只需证明ln（1﹣m）﹣m＞lnn+ln（lnn+1），
只需证明ln（1﹣m）+1﹣m＞lnn+1+ln（lnn+1），
又因为t（x）＝lnx+x在（0，+∞）上单调递增，
所以只需证明1﹣m＞lnn+1（易证n＞ln+1），
只需证明1﹣m＞n，即证明m+n＜1，
因为0＜m＜，
所以lnm＜﹣1，
所以mlnm＜﹣m，
因为mlnm＝nlnn，
所以m＜﹣nlnn，
所以m+n＜n﹣nlnn，
令φ（x）＝x﹣xlnx，＜x＜1，
φ′（x）＝﹣lnx＞0，
所以φ（x）在（，1）上单调递增，
所以φ（n）＜φ（1）＝1，
所以m+n＜1，
所以＞n（lnn+1）成立．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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