卷子答案网-一个不只有答案的网站2023 年高二上学期第一次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题一、单选题 （本题共计 8 小题，总分 40 分）
1. 已知 a ( 2, 3,1),b (2,0, 4),c
( 4, 6,2)，则下列结论正确的是（ ）
A. a / /c ,b / /c B. a / /b ,a c
C. a / /c ,a b D. 以上都不对
2. a =（2，﹣1，3），b =（﹣1，4，﹣2）， c=（3，2，λ），若 a,b,c三向量共面，
则实数 等于（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3．直线 4x 2y 3 0与直线 2x my 0互相平行，则它们之间的距离为（ ）．
A 3 5 B 3 5
3
． ． C．3 D．
10 5 2
4．下列命题中正确的是（ ）
A．每一条直线都有斜截式方程
y 1
B．方程 k 与方程 y 1 k(x 2)可表示同一直线
x 2
C．直线 l过点P x ,y0 0 ，倾斜角为 90°，则其方程为 y y0
D．倾斜角是钝角的直线，其斜率为负数
5. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，则平面 AB1D1与平面 BDC1的距离
2 3
（ ）A. 2a B. 3a C. a D. a
3 3
6．已知m,n,a,b R，且满足3m 4n 16，3a 4b 1，则 m a 2 n b 2
的最小值为（ ）
A 1．3 B． 2 C．1 D． 2
7．已知 ABC的顶点 A 1,2 ，C 5,2 ， ABC的平分线 BH 所在直线方程为 y x，
则直线BC的方程为（ ）
A．3x 2y 1 0 B． x 2 y 1 0
C． x 3y 5 0 D． x 3y 1 0
试卷第 1页，共 4页
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8. 在矩形 ABCD中， AB 2， AD 2 3，沿对角线 AC将矩形折成一个大小为 的
1
二面角 B AC D，若 cos ，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
3
①四面体 ABCD外接球的表面积为16 ②点 B与点D之间的距离为 2 3
③四面体 ABCD 4 2的体积为 ④异面直线 AC与 BD所成的角为60
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．直线 x y 2 0在 y轴上的截距是 2
B．直线 x 3y 1 0的倾斜角是60
C．直线mx y m 2 0 m R 恒过定点(-1,2)
D．过点 1,2 且在 x .轴 y轴上的截距相等的直线方程为 x y 3 0
10．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底
r r
B．已知向量a//b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一组基底
r r
C．已知空间向量a (1,0,1)，b (2, 1,2)，则 a//b
D．已知空间向量a (1,0,1)，b (2, 1,2)，则向量 a在向量b上的投影向量的坐
8 , 4 , 8 标是 9 9 9
11．已知直线 l1 : ax y 1 0，l2 : x ay 1 0，a R，以下结论正确的是（ ）．
A．不论 a为何值时， l1与 l2都互相垂直
B．直线 l1过定点(0,1)， l2过定点 ( 1,0)
C．如果 l 2 21与 l2交于点M ，则点M的轨迹方程为 x y x y 0
D．如果 l1与 l2交于点M ，则 |MO |的最大值是 2
12．如图，设 E，F 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱DC
上两点，且 AB 2，EF 1，其中正确的命题为（ ）
试卷第 2页，共 4页
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A．三棱锥D1 B1EF 的体积为定值
B．异面直线D1B1与 EF 所成的角为60
C．D1B1 平面 B1EF
D．直线D1B1与平面 B1EF所成的角为30
三、填空题
13 2x y 5 0 x y 2 0 3x y 1 0．过两直线 和 的交点且与直线 平行的
直线方程为
14．已知a为单位向量，向量b在向量 a上的投影向量是2a，且 3a b a ，则实
数 的值为 ．
15. 在空间直角坐标系中，点 A 1,2,0 ,B 0,1,0 ,P 2,2,2 ，则 P到直线 AB的距
离为__________．
16. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问
题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 (x a)2 (y b)2 相关的代数问题，可
以转化为点 A x, y 与点B a,b 之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数
f x sin x 1 ， x 0, π 的值域为______.cos x 1 2
四、解答题
17．已知两点 A( 3,4),B(3,2)，过点P(1,0)的直线 l与线段 AB有公共点．
(1)求直线 l的斜率 k的取值范围；
(2)求直线 l的倾斜角 的取值范围．
18．设直线 l1 : 2x y 1 0, l2 : x y 2 0, l3 : 3x my 6 0 .
（1）若直线 l1, l2 , l3交于同一点，求m的值；
（2）设直线 l过点M (2,0)，若 l被直线 l1，l2截得的线段恰好被点M 平分，求直
线 l的方程.
19．已知四边形 ABCD为菱形（如图 1）， AB 5， BD 2，将△ABD沿 BD折起
到 A1处，使得平面 A1BD 平面
BCD（如图 2）， E为 A1C的中点.
试卷第 3页，共 4页
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(1)求直线 A1B与DE所成角的余弦值；
1
(2)若点F 在 BC上且满足BF BC，求二面角F DE C的平面角的正弦值.
4
20.已知圆 C过点 A(4,0),B(0,4)，且圆心 C在直线 l : x y 6 0上．
(1)求圆 C的方程；
(2)若从点M (4,1)发出的光线经过直线 y x反射，反射光线 l1恰好平分圆 C的圆周，
求反射光线 l1的一般方程．
21．在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，侧面 ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2 2，D是 AA1
的中点，BD与 AB1交于点 O，且 CO⊥平面 ABB1A1．
（1）证明：BC⊥AB1；
（2）若 OC=OA，求直线 CD与平面 ABC所成角的正弦值．
22．四棱锥P ABCD中，底面 ABCD为梯形， AB//CD， AD DC 2， AB 4，
PA PC 2，P AC B为直二面角．
(1)证明：CB PA；
(2) 2若直线 PD与平面PBC所成角的正弦值为 ，求平面 PAB与平面 PBC的夹角的
4
余弦值．
试卷第 4页，共 4页
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第一次月考数学参考答案：
一选择题（每题 5分）
1．C 2．C 3．A 4．D 5 .D 6.A 7. D 8. B
9．AC 10．BD 11．ABD 12．AD
二填空题（每题 5分）
13 3x y 0 3 114 . / 1.5 3 2 15. 16.
2
, 2
2 2
三 解答题（17题 10分，其余各题每题 12分）
17．【详解】（1）因为 A( 3,4),B(3,2)， P(1,0)，
所以 k
4 0
PA 1,k
2 0
1
3 1 PB 3 1
因为直线 l与线段 AB有公共点，
所以由图可知直线 l的斜率 k满足 k kPA或 k kPB ，
所以直线 l的斜率 k的取值范围是 ( , 1] [1, )．
（2）由题意可知直线 l的倾斜角介于直线 PB与 PA的倾斜角之间，
因为直线 PB的倾斜角是 45 ，直线 PA的倾斜角是135 ，
所以 的取值范围是 45 135 ．
18．【详解】试题分析：（1）先求直线 l1，l2交点，再代入 l3得 m的值；（2）设 l1上一点 A(a，
7
1 - 2a)，则得 B (4 - a，2a - 1) 在 l2上，解方程组可得 a= ，再根据两点式求直线 l的方程．3
2x y 1 0， 1 5
试题解析：（1）解 ，得交点C ,
x y 2 0
．
3 3
直线 l1，l2，l3 交于同一点，则点 C 在直线 l3上，
3 1 5 21则 m 6=0，解得m= ．
3 3 5
答案第 1页，共 6页
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（2）设 l1上一点 A(a，1 - 2a)，则点 A 关于 M（2，0）的对称点 B (4 - a，2a - 1) ．
由点 B 在 l2上，代入得 4
7 11
a 2a 1 2 0 7 ，∴a= ，∴ A ， ．3 3 3
直线 l 过两点 A、M，斜率为 - 11，∴ 直线 l 的方程为11x y 22 0．
19. (1)取 BD的中点O，连接 A1O,OC ,因为 ABCD为菱形，所以
A1O BD ,CO BD ,且CO A1O O ，故 BD 平面 A1OC，又因
为平面 A1BD 平面 BCD，所以 A1O 平面 BCD，因此OA1,OB,OC
两两垂直，从而以O为原点，OB所在直线为 x轴，OC所在直线
为 y轴，OA1所在直线为 z轴建立空间直角坐标系，
所以O 0,0,0 ,A1 0,0,2 ,C 0,2,0 ,B 1,0,0 ,D 1,0,0 ,E 0,1,1 , F
3
,
1,0 ,
4 2
所以 A1B 1,0, 2 ,DE 1,1,1 ，
所以直线 A1B与DE所成角的余弦值为
A1B DE 1 1 0 2 2 1
15 ，
A1B DE 12 02 2 2 12 12 12 15
15
故直线 A1B与DE所成角的余弦值为 .
15
(2)由（1）中过程知DC 1,2,0 ,DF 7 1 , ,0 ，
4 2
设平面DEF 和平面DEC的法向量分别为m x1, y1, z1 ,DF x2 , y2 , z2 ，
m DE x1 y1 z1 0
则
m
7 1 ，令 x1 2，则m 2, 7,5 ，
DF x1 y1 0 4 2
n
D E x2 y2 z2 0
则 ，令 y
n DC x 2y 0 2
1，则 n 2,1,1 ，
2 2
设二面角 F DE C的平面角为 ，由图可知 0, 2
m n 2 2 7 1 5 1cos 6 1则 ，
m n 22 7 2 52 2 2 12 12 78 6 13
2
故 sin 1 1 2 39 13
，
13
答案第 2页，共 6页
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所以二面角F DE C 2 39的平面角的正弦值为 .
13
0 4
20.【详解】（1）由 A(4,0),B(0,4)，得直线 AB的斜率为 kAB 1，线段中点D(2, 2)4 0
所以 kCD 1，直线 CD的方程为 y 2 x 2，即 y x，
x y 6 0 x 3
联立 y x ，解得 y ，即
C(3,3)，
3
所以半径 r | AC | (4 3)2 (0 3)2 10 ，
所以圆 C的方程为 (x 3)2 (y 3)2 10；
（2）由 l1恰好平分圆 C的圆周，得 l1经过圆心C(3,3)，
设点 M关于直线 y x的对称点 N (x, y)，
x 4 y 1
则直线 MN与直线 y x垂直，且线段 MN的中点 , 在 y x上，
2 2
y 1
( 1) 1 x 4 x 1
则有 y 1 x 4 ，解得 ，所以
N ( 1, 4)，
y 4
2 2
3 4 7
所以直线 CN即为直线 l1，且 kl k 1 CN 3 ， 1 4
7
直线 l1方程为 y 3 (x 3)，即7x 4y 9 0 .4
21.【详解】（1）证明：由题意，因为 ABB1A1是矩形，
D为 AA1中点，AB=2，AA1=2 2，AD= 2，
AB 2
所以在直角三角形 ABB1中，tan∠AB1B= BB = ，1 2
AD
在直角三角形 ABD中，tan∠ABD= = 2 ，
AB 2
所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，
所以在直角三角形 ABO中，故∠BOA=90°，即 BD⊥AB1，
又因为 CO⊥侧面 ABB1A1，AB1 侧面 ABB1A1，所以 CO⊥AB1，
又BDI CO O，所以 AB1⊥面 BCD，
因为 BC 面 BCD，所以 BC⊥AB1；
（2）解：如图，分别以 OD，OB1，OC所在的直线为 x，y，z轴，以 O为原点，建立空间
直角坐标系，
答案第 3页，共 6页
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A 0 2 3则 （ ，﹣ ，0），B 2 6（﹣ ，0，0 2 3），C（0，0， ），
3 3 3
B 0 4 3 2 61（ ， ，0），D（ ，0，0），
3 6
2 6 4 3 2 3
又因为CC1 =2 AD，所以C1 , ,3 3 3 ，
2 6 2 3 2 3 2 3
所以 AB =（﹣ ， ，0）， AC =（0， ， ），DC =
2 6 4 3 2 3
1 （ ， ， ），3 3 3 3 6 3 3
2 6 2 3
CD =（ ，0，﹣ ），
6 3
设平面 ABC的法向量为 n =（x，y，z），
n AB 2 6 2 3 x y 0 3 3 n 则有 ，可取 =（1， 2，﹣ 2），
n AC 2 3 y
2 3
z 0
3 3
设直线 CD与平面 ABC所成角为α，
sin cos CD,n 15则 ，
5
所以直线 CD与平面 ABC 15所成角的正弦值为 ．
5
22．【详解】（1）取 AB中点 E，连接CE，
AE CD 2， AE //CD， 四边形 ADCE为平行四边形，
1
CE AD 2，即CE AB， AC BC；
2
又P AC B为直二面角，平面 PAC 平面 ABC AC， BC 平面 ABC，
BC 平面 PAC，又 PA 平面 PAC， CB PA .
（2）连接DE，交 AC于点O，
由（1）知：四边形 ADCE为平行四边形， O为 AC中点，
PA PC， PO AC，
答案第 4页，共 6页
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O,E分别为 AC, AB中点， OE //BC ，又 BC 平面PAC， OE 平面 PAC，
则以O为坐标原点，OC,OE,OP正方向为 x, y, z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设OA OC a， OD OE 4 a2 ， PO 4 a 2 ，
D 0, 4 a 2 ,0 ， P 0,0, 4 a2 ，C a,0,0 ， B a, 2 4 a2 , 0 ，
DP 0, 4 a 2 , 4 a 2 ， BP a, 2 4 a2 , 4 a2 ， BC 0, 2 4 a2 ,0 ，
设平面PBC的法向量 n x1, y1, z1 ，
BP n ax 2 4 a2 y 4 a2 z 0
1 1 2 ，令 x 4 a2 ，解得： y1 01 ， z1 a，
BC n 2 4 a
2 y1 0
n 4 a 2 ,0,a ；
2直线 PD与平面 PBC所成角的正弦值为 ，
4
DP n 2
a 4 a a 2 ，解得： a 1，
DP n 2 8 2a2 2 2 4
A 1,0,0 ， B 1, 2 3,0 ， P 0,0, 3 ，平面PBC的法向量 n 3,0,1 ，
PA 1,0, 3 ， AB 2,2 3,0 ，
设平面PAB的法向量m x2 , y2 ,z2 ，
PA m
x
2
3z 2 0
，令 y2 1，解得： x 3， z2 1， m 3,1,1 ；
AB m 2x2 2 3y
2
2 0
m n 3 1
cos m, n 5 ，
m n 2 5 5
平面 PAB与平面PBC 5的夹角的余弦值为 .
5
答案第 5页，共 6页
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