卷子答案网-一个不只有答案的网站尉氏县重点中学2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学试卷
学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、单选题一、单选题（本题共计8小题，总分40分）
1．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．直线与直线互相平行，则它们之间的距离为（ ）．
A． B． C．3 D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．每一条直线都有斜截式方程
B．方程与方程可表示同一直线
C．直线过点，倾斜角为，则其方程为
D．倾斜角是针角的直线，其斜率为负数
5．已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
7．已知的顶点的平分线所在直线方程为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体外接球的表面积为 ②点与点之间的距离为
③四面体的体积为 ④异面直线与所成的角为
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是
B．直线的倾斜角是
C．直线恒过定点
D．过点且在．轴、轴上的截距相等的直线方程为
10．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．已知空间向量，则
D．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是
11．已知直线，以下结论正确的是（ ）．
A．不论为何值时，与都互相垂直
B．直线过定点过定点
C．如果与交于点，则点的轨迹方程为
D．如果与交于点，则的最大值是
12．如图，设分别是正方体的棱上两点，且，其中正确的命题为（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为
C．平面 D．直线与平面所成的角为
三、填空题
13．过两直线和的交点且与直线平行的直线方程为_________．
14．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为_________．
15．在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为_________．
16．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数的值域为_________．
四、解答题
17．已知两点，过点的直线与线段有公共点．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）求直线的倾斜角的取值范围．
18．设直线．
（1）若直线交于同一点，求的值；
（2）设直线过点，若被直线截得的线段恰好被点平分，求直线的方程．
19．已知四边形为菱形（如图1），，将沿折起到处，使得平面平面（如图2），为的中点．
图1 图2
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）若点在上且满足，求二面角的平面角的正弦值．
20．已知圆过点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程．
21．在三棱柱中，侧面为矩形，是的中点，与交于点，且平面．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
22．四棱锥中，底面为梯形，，为直二面角．
（1）证明：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值．
尉氏县重点中学2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学参考答案：
一、选择题（每题5分）
1．C 2． C 3．A 4．D 5．D 6．A 7．D 8．B 9．AC 10．BD 11．ABD 12．AD
二、填空题（每题5分）
13． 14．/ 15． 16．
三、解答题（17题10分，其余各题每题12分）
17．【详解】（1）因为，
所以
因为直线与线段有公共点，
所以由图可知直线的斜率满足或，
所以直线的斜率的取值范围是．
（2）由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，
所以的取值范围是．
18．【详解】试题分析：（1）先求直线交点，再代入得的值；
（2）设上一点，则得在上，解方程组可得，再根据两点式求直线的方程．
试题解析：（1）解，得交点．
直线交于同一点，则点C在直线上，
则，解得．
（2）设上一点，则点A关于的对称点．
由点B在上，代入得．
直线l过两点，斜率为，∴直线l的方程为．
19．（1）取的中点，连接，因为为菱形，所以，且，故平面，又因为平面平面，所以平面，因此两两垂直，从而以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为，
故直线与所成角的余弦值为．
（2）由（1）中过程知，
设平面和平面的法向量分别为，
则，令，则，
则，令，则，
设二面角的平面角为，由图可知
则，
故，
所以二面角的平面角的正弦值为．
20．【详解】（1）由，得直线的斜率为，线段中点
所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线即为直线，且，
直线方程为，即．
21．【详解】（1）证明：由题意，因为是矩形，
为中点，，
所以在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
所以，又，
所以在直角三角形中，故，即，
又因为侧面侧面，所以，
又，所以面，
因为面，所以；
（2）解：如图，分别以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
，
又因为，所以，
所以，
，
设平面的法向量为，
则有，可取，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
22．【详解】（1）取点E，连接，
，∴四边形为平行四边形，
，即；
又为直二面角，平面平面平面，
平面，又平面．
（2）连接，交于点，
由（1）知：四边形为平行四边形，为中点，
，
分别为中点，，又平面平面，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，
，
，
设平面的法向量，
，令，解得：，
；
直线与平面所成角的正弦值为，
，解得：，
，平面的法向量，
，
设平面的法向量，
，令，解得：；
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
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