卷子答案网-一个不只有答案的网站项城市第三高级中学2023-2024学年高三上学期第一次月考
数学试卷宏素
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数若，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．以下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，则函数的图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
7．已知，，且，若恒成立，则实数的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知函数是上的偶函数，当，且时，有．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数，则下列函数是倒函数的为（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．“，”是假命题
B．“，”是真命题
C．是的充分不必要条件
D．，的充要条件是
11．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，；③，当时，都有．则下列选项成立的是（ ）
A． B．，，使得
C．若，则 D．若，则
12．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称 B．4是函数的周期
C． D．方程恰有4不同的根
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，则__________．
14．已知幂函数的图象过点，则__________．
15．已知函数为上的奇函数，当时，，则__________．
16．已知函数是上的增函数，那么实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）
18．（12分）设命题：实数满足；命题：实数满足．
（1）若，且，都为真，求实数的取值范围；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．（12分）设函数
（1）若不等式的解集为，试求，的值；
（2）若，，求不等式的解集．
20．（12分）一公司某年用98万元购进一台生产设备，使用年后需要的维护费总计万元，该设备每年创造利润50万元．
（1）求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？
（2）求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？
21．（12分）已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）求的值．
22．（12分）函数对任意的实数，，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
参考答案
1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．BD
10．ABD
【详解】，但，A中命题是假命题，正确；
，，，，，所以，即，B正确；
，但，不充分，C错误；
，，
因此充分条件为，即，D正确．
故选：ABD．
11．ABC
【详解】由题意，函数满足，，所以函数为偶函数，
又由，当时，都有，
所以函数在为单调递增函数，则在为单调递减函数，
又由，所以A正确；
因为函数为连续函数，且为偶函数，当时，函数为单调递增函数，
得到恒成立，当时，恒成立，
所以对任意，，使得，所以B正确；
由函数为偶函数，则函数为奇函数，
又由函数在为增函数，在为减函数，且，
当时，若，即，解得，
当时，若，即，解得，
所以不等式的解集为，所以C正确；
由，可得，解得，所以D不正确．
故选：ABC．
12．ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案．
【详解】对于A：因为是偶函数，所以，即，
所以关于对称，故A正确．
对于B：因为，所以，
所以，即周期，故B正确．
对于C：，，
所以，故C错误；
对于D：因为，，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，故D正确．
故选：ABD．
13．
【分析】由对数的运算性质可得出，利用指数的运算性质可求得结果．
【详解】，，因此，．
故答案为：．
14．3
【分析】由幂函数知，再代入求即可．
【详解】因为幂函数，故，即过，故，
故．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查幂函数的定义域运算，属于基础题型．
15．
【分析】由题意可得，然后再结合奇函数的性质可求得结果．
【详解】因为函数为上的奇函数，当时，，
所以，得，
所以当时，，
所以，
故答案为：．
16．
【解析】由分段函数的单调性结合指数函数的单调性可得，即可得解．
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
17．（1）；（2）．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解．
【详解】（1）由题意，根据指数幂的运算性质，
可得．
（2）根据对数的运算性质，
可得
．
【点睛】本题主要考查了指数幕的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．
18．（1）；（2）．
【解析】（1）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题，，再结合命题，都为真时，即可求解实数的取值范围；
（2）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题，，由是的充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解．
【详解】（1）由不等式，可得，当时，解得，即为真时，，
由，可得，解得，即为真时，，若，都为真时，实数的取值范围是．
（2）由不等式，可得，
因为，所以，即为真时，不等式的解集为，
又由不等式，可得，即为真时，不等式的解集为，
设，，
因为是的充分不必要条件，可得集合是的真子集，则，解得，
所以实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了根据复数命题的真假，以及必要不充分条件求解参数的取值范围，以及一元二次不等式和绝对值不等式的求解，其中解答中熟记不等式的解法，求得命题，是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
19．（1），
（2）答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集确定1和3是方程的两个根，结合韦达定理即可求得答案；
（2）求出方程的两根为和2，分类讨论两根的大小，即可求得不等式解集．
【详解】（1）由题意知1和3是方程的两个根，且，
即有，解得，．
（2），则不等式，即
即，
因为，方程的两根为和2，
所以：
①当，即时，不等式的解集为；
②当，即时，不等式的解集为；
③当且，即时，不等式的解集为．
20．（1）10年，102万元；
（2）7年，12万元．
【分析】（1）设该设备使用年后获得总利润为万元，则，结合二次函数的性质即可求解；
（2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解．
【详解】（1）设该设备使用年后获得总利润为万元，
则，
该二次函数为开口向下、对称轴为的抛物线，
所以当时，函数即总利润取得最大，且最大值为102万元；
（2）由（1）可知，年平均利润为
，
当且仅当即时，等号成立，
所以使用设备7年后的年平均利润最大，且最大值为12万元．
21．（1）；（2）证明见解析；（3）1008．
【分析】（1）根据指数函数的单调性列出方程求出即可；
（2）化简即可得出结论；
（3）利用（2）的结论即可得出答案．
【详解】（1）函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，所以，得或（舍去）．
（2）由（1）知，
所以
．
（3）由（2）知，
，，
．
【点睛】本题考查了指数函数的性质与函数最值的计算，考查指数幂的运算，属于中档题．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）令，代入等式，可求得；
（2）令，代入等式，结合，可得到，从而可知是奇函数，然后用定义法可证明在上为增函数；
（3）原不等式可化为，结合函数的单调性，可得出，解不等式即可．
【详解】（1）证明：令，则，．
（2）证明：令，则，
，
对任意的，都有，即是奇函数．
在上任取，，且，则，
，即，
函数在上为增函数．
（3）原不等式可化为，
由（2）知在上为增函数，可得，即，
，，解得，故原不等式的解集为．
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题．
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