卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章（全等三角形）、第二章（轴对称图形）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A不是轴对称图形，故不符合要求；
B不是轴对称图形，故不符合要求；
C是轴对称图形，故符合要求；
D不是轴对称图形，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形 B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．两个完全重合的三角形是全等三角形
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义进行判断即可.
【详解】解：A、两个面积相等的三角形不一定是全等三角形，说法错误；
B、三个对应角都相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
C、两个周长相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
D、两个完全重合的三角形是全等三角形，说法正确；
故选D.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和定义，熟练掌握两个完全重合的三角形是全等三角形，是解题的关键.
3．小明同学照镜子，下面镜子里哪个是他的像？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据人与镜子中的像成轴对称解答即可.
【详解】解：小明同学照镜子，选项C中的图形是他的像；
故选：C.
【点睛】本题考查了镜面对称，熟知轴对称的性质是解题的关键.
4．如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是 （ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
【答案】A
【分析】由于已知是、的中点，再加对顶角相等即可证明，所以全等理由是边角边．
【详解】解：在与中，
，，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法，此题利用了，做题时要认真读图，找出有用的条件是十分必要的．
5．如图，，的延长线交于，，，，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用互补的关系求出,再利用字模型及全等性质解题即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
由三角形内角和为可知：，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够利用全等的性质求出角度是解题关键．
6．如图，已知，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N，连接．若，，则（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
【答案】A
【分析】先根据题意得出是线段的垂直平分线，故可得出，即，再由，知，根据可得答案．
【详解】解：∵根据题意得出是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，,
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
7．如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】只要证明，可得，，推出即可得出最后结果．
【详解】解：，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
8．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案．
【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，则此时的周长最小，
连接，
∵P、D关于对称，
∴，
同理，
∴，
∵P、D关于对称，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵的周长是，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是画出符合条件的图形．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．如图，已知．要使．只需添加的一个条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用证明全等即可．
【详解】解：可以添加的条件为：，
∵，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查添加条件证明三角形全等．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
10．如图，，其中，，，则的周长为 ．
【答案】15
【分析】根据全等三角形的性质得出，，进而可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴的周长为，
故答案为：15．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
11．若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：三角形的底边长为
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形腰长相等．
12．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．
【答案】号袋
【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案．
【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．
故答案为：号袋．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线．
13．如图，，，，在一条直线上，且，，则图中全等三角形有 对．
【答案】6
【分析】利用证明，推出，，利用证明和，再推出，，利用即可证明和、．
【详解】解：∵，，，
∴；
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴图中全等三角形有6对，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；本题是全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时，要充分利用图形及已知条件找公共边、公共角．
14．在中，，中线，则边的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出图形，延长至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．
【详解】如图，延长至E，使，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
15．如图，在正方形网格中，A、两点是格点，如果点也是格点，且是等腰三角形，这样的点有 个．
【答案】
【分析】以A为圆心，的长为半径作圆，此时点有个．以为圆心，的长为半径作圆，此时点有个．作的垂直平分线，此时点有个，作出图形即可求出答案．
【详解】解：以A为圆心，的长为半径作圆，此时满足条件的点有个，
以为圆心，的长为半径作圆，此时满足条件的点有个，
作的垂直平分线，此时满足条件的点有个，
∴这样的点有7个，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解题的关键是正确作图找出格点，本题属于基础题型．
16．如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到A，使．得到第3个按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的内角度数是 ．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，是的外角，
∴；
同理可得，
，，
∴第个三角形中以为顶点的内角度数是
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
17．如图，四边形中，，于，，，则的面积是 ．
【答案】12.5
【分析】作，然后根据题目中的条件和图形，可以证明，从而可以得到和的关系，然后根据三角形的面积计算公式即可解答本题．
【详解】解：作于点，则，
，
，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
的面积为：．
故答案为：12.5
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
18．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】12
【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
【详解】解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：
在中，，
，
，
当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
是等边三角形，
，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值为12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：本题共8小题，共64分．
（8分）19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，每个图中均已将两个小正方形涂了阴影，请你对各图中剩下的空白小正方形按要求进行操作：
在图中选择两个空白小正方形涂阴影，在图、图、图中分别选择三个小正方形涂阴影，分别使得各图中阴影部分成为一个轴对称图形．
【答案】作图见解析
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换定义与性质．
（6分）20．尺规作图（保留做图痕迹）
如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且．
【答案】作图见解析
【分析】连接，作出线段的垂直平分线和的平分线，线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点P．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
（6分）21．如图，小河边有两个村庄，要在河边建一自来水厂向村与村供水．
(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，则应选择在哪儿建厂？请在图①中画出，并用点表示；
(2)若要使自来水厂到两村的水管最省料，则应选择在哪儿建厂？请在图②中画出，并用点表示．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）欲求到A、B两地的距离相等，即作出的垂直平分线与的交点即可，交点即为厂址所在位置；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线的对称点，再连接交于点，即可得出答案．
【详解】（1）如图①，连接，作的垂直平分线交于点，点即为建厂的位置．
（2）如图②，画出点关于河岸的对称点，连接交于点，点即为建厂的位置．
【点睛】本题考查了学生对线段中垂线的作法，应用设计与作图以及轴对称求最短路径，对到两点距离相等问题的掌握和得出A点对称点是解题的关键．
（8分）22．如图，在四边形中，平分，点E在线段上，，．求证．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线定义得出，利用即可证明．
【详解】证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
（8分）23．感知：如图①，平分．易知：．探究：如图②，平分．求证：．
【答案】见解析
【分析】过点作于点交的延长线于点，证明，即可证明．
【详解】证明：如图，过点作于点交的延长线于点．
平分，，
．
，
．
在和中，，
．
．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
（8分）24．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图①中作的高．
(2)在图②中的边上找一点，连接，使．
(3)在图③中内（不包含边界）找一点，连接，，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格中垂线的画法，取格点M，连接交于点D，则即为所求．
（2）取格点P，Q，连接，与交于点E，连接即可．
（3）连接格点，交于点F，连接，此时．
【详解】（1）如图①所示．即为所求．
（2）如图②所示，点E即为所作，
（3）如图③所示，点F即为所作，
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图、垂线的画法、中线的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（10分）25．在直线上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是__________________；请说明理由．
【类比迁移】
（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明：若不成立，诮说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，题钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，直接写出与的面积之和；
【答案】（1）；（2），仍然成立，理由如下；（3）与的面积之和为4
【分析】（1）由得到得到，根据可证，最后得到；
（2）由得到得到，根据可证，最后得到；
（3）由，得出，根据可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果．
【详解】解：（1），理由如下，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）仍然成立，理由如下，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
，
在和中，，
，
，
设的底边上的高为，则的底边上的高为，
，
，
，
，
与的面积之和为4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
（10分）26．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”
（1）下列三角形，不存在“和谐分割线”的是 （ 填序号）
①等边三角形 ②等腰直角三角形 ③顶角150°的等腰三角形
（2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，△ABC中，∠A＝42°，若线段CD是△ABC的“和谐分割线”，且△BCD是等腰三角形，求出所有符合条件的∠B的度数．
【答案】（1）①③；（2）存在“和谐分割线”， ；（3）或．
【分析】（1）根据“和谐分割线”的定义，分别对等边三角形、等腰直角三角形、顶角150°的等腰三角形进行判别即可，其中顶角150°的等腰三角形分2种情形讨论：i、等腰三角形时，ii、等腰三角形时，分别分析解答即可；
（2）如图作的平分线，只要证明线段是“和谐分割线”即可，并根据直角三角形的性质求的长；
（3）分2种情形讨论：①当时，②当时，设，然后分别分析求解即可．
【详解】解：（1）①如下图示，是等边三角形，
则有，据此可得，在内部，无法再作出一条线段，使得其等于或或，
即：等边三角形无法再分割出一个等腰三角形，
∴等边三角形不存在“和谐分割线”；
②根据题目的引例和图1，可知，等腰直角三角形存在“和谐分割线”；
③如下图示，是顶角150°的等腰三角形，
即，，
i、当线段将分成两个三角形和，其中是等腰三角形时，
则有：，，
∴，，
∴和原三角形的三个内角不相等，
ii、当线段将分成两个三角形和，其中是等腰三角形时，
即：，则有：，
∴，
∴
即：和原三角形的三个内角不相等，
∴顶角150°的等腰三角形不存在“和谐分割线”；
综上所述，不存在“和谐分割线”的是①③；
（2）存在“和谐分割线”，理由是：
如图作的平分线，
，，
∴,
∴
，
，
是等腰三角形，
∴
∴和中
，，，
线段是的“和谐分割线”，
∵，
∴
∴
又∵
即：
∴
∴;
（3）如图3中，
∵线段是的“和谐分割线”，且是等腰三角形，，
∴分2种情形：①当时，
则有
设，则
可得．
②当时，
即，且
设，则，
可得．
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、30°角的直角三角形的性质、“和谐分割线”的定义等知识，读懂题意，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章（全等三角形）、第二章（轴对称图形）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形 B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．两个完全重合的三角形是全等三角形
3．小明同学照镜子，下面镜子里哪个是他的像？（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是 （ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
5．如图，，的延长线交于，，，，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N，连接．若，，则（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
7．如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．如图，已知．要使．只需添加的一个条件是 ．
10．如图，，其中，，，则的周长为 ．
11．若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 ．
12．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．
13．如图，，，，在一条直线上，且，，则图中全等三角形有 对．
14．在中，，中线，则边的取值范围是 ．
15．如图，在正方形网格中，A、两点是格点，如果点也是格点，且是等腰三角形，这样的点有 个．
16．如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到A，使．得到第3个按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的内角度数是 ．
17．如图，四边形中，，于，，，则的面积是 ．
18．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分．
（8分）19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，每个图中均已将两个小正方形涂了阴影，请你对各图中剩下的空白小正方形按要求进行操作：
在图中选择两个空白小正方形涂阴影，在图、图、图中分别选择三个小正方形涂阴影，分别使得各图中阴影部分成为一个轴对称图形．
（6分）20．尺规作图（保留做图痕迹）
如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且．
（6分）21．如图，小河边有两个村庄，要在河边建一自来水厂向村与村供水．
(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，则应选择在哪儿建厂？请在图①中画出，并用点表示；
(2)若要使自来水厂到两村的水管最省料，则应选择在哪儿建厂？请在图②中画出，并用点表示．
（8分）22．如图，在四边形中，平分，点E在线段上，，．求证．
（8分）23．感知：如图①，平分．易知：．探究：如图②，平分．求证：．
（8分）24．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图①中作的高．
(2)在图②中的边上找一点，连接，使．
(3)在图③中内（不包含边界）找一点，连接，，使．
（10分）25．在直线上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是__________________；请说明理由．
【类比迁移】
（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明：若不成立，诮说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，题钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，直接写出与的面积之和；
（10分）26．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”
（1）下列三角形，不存在“和谐分割线”的是 （ 填序号）
①等边三角形 ②等腰直角三角形 ③顶角150°的等腰三角形
（2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，△ABC中，∠A＝42°，若线段CD是△ABC的“和谐分割线”，且△BCD是等腰三角形，求出所有符合条件的∠B的度数．
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