卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年四川省宜宾市叙州重点中学高考数学三诊试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 某校高三年级的名学生中，男生有名，女生有名．从中抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 已知，且，其中是虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
4. 设：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则( )
A. B. C. D.
6. 已知抛物线：的焦点是，若点是上一点且横坐标为，则的值是( )
A. B. C. D.
7. 设等比数列的前项和为已知，，则( )
A. B. C. D.
8. 直线：被圆：所截得弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
10. 在三棱锥中，，平面平面，，，，则( )
A. B. C. D.
11. 若点是曲线上任意一点，则点到直线：距离的最小值为( )
A. B. C. D.
12. 实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，则 ．
14. 已知是定义域为的奇函数，且当时，则 ．
15. 在平面直角坐标系中，角，的终边分别与单位圆交于点，，若直线的斜率为，则 ．
16. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
年月日，四川省卫健委发布新版四川省生育登记服务管理办法，其中一条修订内容为“取消了对登记对象是否结婚的限制条件”该修订内容在社会上引起了广泛的关注和讨论某研究小组针对此问题，在四川某大学做了一项关于教职工、学生和学生家长对这一修订政策的态度调查，调查通过问卷形式完成，共回收了份有效问卷为了研究不同身份与对政策态度的相关性，该小组将人群分为“学生”、“教职工”、“家长”三种身份被调查人需要对自己的态度区分为“支持政策”、“反对政策”和“有条件地支持支持政策，但是认为需要对登记人再额外增加一些附加条件”研究结果如下表所示：
支持政策 反对政策 有条件地支持 合计
学生
教职工
家长
合计
为了研究校内人员身份学生教职工与态度之间的关系，研究小组将“支持政策”和“有条件地支持”两个分类合并为“比较支持”组试问，我们是否有的把握认为，校内人员的身份学生教职工和态度比较支持反对有关？
如果从样本中反对政策的名学生中随机抽取个人，求其中学生和学生同时被选中的概率．
参考公式：．
18. 本小题分
已知等差数列的首项为，公差，其前项和满足．
求公差；
是否存在正整数，使得．
19. 本小题分
如图，已知边长为的菱形中，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图．
求证：点是点在平面上的射影；
求点到平面的距离．
20. 本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，准线为，过点且斜率大于的直线交抛物线于，两点，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，．
判断线段与长度的大小关系，并证明你的结论；
若线段上的任意一点均在以点为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，求直线斜率的取值范围．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
求曲线的极坐标方程；
过点倾斜角为的直线与曲线交于、两点，求的值．
23. 本小题分
已知函数．
当，时，解不等式；
若函数的最小值是，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
直接解出集合，，再求交集即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．
根据分层抽样原理求出抽取的人数．
【解答】
解：根据分层抽样原理知，，，
所以抽取男生人，女生人．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由得，即，解得，
故．
故选：．
利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，：．
，，：．
则是的充分不必要条件．
故选：．
利用对数与指数函数的单调性化简，，即可判断出结论．
本题考查了对数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为在所在平面内，在延长线上，且，
所以，
又因为是的中点，
所以．
故选：．
根据给定条件，借助平面向量的线性运算用、表示即可判断作答．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：抛物线方程为：，
，，
又点是上一点且横坐标为，
根据抛物线定义可得：．
故选：．
根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式的应用，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题得，
，
，得，即，
则，
代入中，得，
所以，
故．
故选：．
根据递推关系可求出等比数列的公比、首项，由求和公式得解．
本题主要考查了等比数列的和与项的递推关系的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：直线：，即，直线过定点，
圆的圆心为，，当时，直线被圆截得的弦长最短．
因为，所以弦长的最小值为．
故选：．
确定直线过定点，当时，直线被圆截得的弦长最短，计算即可．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
由正弦定理得：，
因为，，
所以，
即，则，
又因为，
所以，
所以，
则，
所以，
所以，
又因为，
解得，
所以．
故选：．
先利用正弦定理将中的边化为角，变形整理可得，进而可得，同样的将中的边化角，结合的正弦余弦值，可得，最后通过可求出结果．
本题考查正弦定理的应用，通过边化角求出角，考查了学生的计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，
平面平面，，平面平面，平面，
平面，
，
．
故选：．
计算，，利用勾股定理计算．
本题考查了线面位置关系的判断，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，
令，则，
，，得，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式可得点到直线的距离的最小值．
故选：．
求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，考查化归与转化思想，是基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对数值大小的比较，构造函数，并利用导数研究构造函数的单调性是解本题的关键，属于中档题．
由，，得，，结合作差法和基本不等式公式，即可求得，即，构造函数 ，结合导数研究构造函数的单调性，以及对数函数的公式，即可求解．
【解答】
解：由，，得，，
，
，
设，，
求导可得，，
当时，，在单调递减，
故，即，，
故，
，
，
又，
，
综上所述，．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
根据分段函数的解析式先求，进而求解即可．
本题主要考查了分段函数中函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，当时，，
而，则，所以，
由是奇函数，则；
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
所以，
不妨设，
则，
令，
则，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：．
根据三角函数的概念表示点的坐标，，利用同角的三角函数的基本关系式求角的三角函数值，再利用二倍角公式及诱导公式即可化简求值．
本题考查了任意角的三角函数的定义，同角的三角函数的基本关系式，二倍角公式及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：在是增函数，，
，，
又，，令，
则在的函数图像如下：
所以欲使得是增函数，则必须或者，
对于，即，
对于函数，在时 的值域是，，
对于，即，
对于函数在时的值域是，即 ，与矛盾，无解；
故答案为：．
先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
17.【答案】解：根据题目所给数据得到如下的列联表：
比较支持 反对政策 合计
学生
教职工
合计
，
故有的把握认为校内人员的身份学生教职工和态度比较支持反对有关．
从样本中反对政策的名学生中随机抽取个人，其中学生和学生同时被选中的概率．
【解析】根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
利用古典概型概率公式即可求解．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
18.【答案】解：根据题意，等差数列的首项为，前项和满足，
则有，解可得或，
又由，则；
根据题意，假设存在正整数，使得，
由的结论，，，则，
则有，变形可得，
存在，或，或，时符合题意．
【解析】根据题意，由等差数列前项和公式可得，解可得答案；
根据题意，求出数列的通项公式，由此可得，变形可得，据此分析可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
19.【答案】证明：连接，，为的中点，，
设菱形的边长为，
又，，连接，则，
又，，，得，
可得，
又，，可得，
又，平面，平面，平面，
点是点在平面上的射影；
解：设点到平面的距离为，
由菱形的边长为，且，
则的面积为，
则，的面积为，
由知，平面，，
，
由，得，．
即点到平面的距离为．
【解析】连接，，利用勾股定理证明，再证明平面，即可得证；
利用等体积法求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
20.【答案】解：函数的定义域为，，
设，则，
当，，为增函数，
当，，为减函数，
所以有最大值，
所以，所以，
所以的单调递减区间是，，无单调递增区间．
不等式对恒成立，则，
当时，只需，
设，且，
，，
，，
当时，，递减，则，故H递减，
所以，故不满足．
当时，，故当时，，
则递减，，
故当时，递减，
所以，故不满足，
当时，，，则递增，，
故H递增，所以，满足题意，
综上，不等式对任意恒成立时，，
所以的取值范围为．
【解析】函数的定义域为，，判断的正负，进而得到的单调区间．
不等式对恒成立，则，当时，只需，然后求出的取值范围即可．
本题考查导数的综合应用，考查了转化思想、分讨论思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：．
证明：设，，，
则，，，
由于，，三点共线，则，整理得，
：，则，同理可得，
则，，
所以，即证；
若线段上的任意一点均在以点为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，即，
则，化简得，
又因为，则，
，
则直线斜率的取值范围为
【解析】本题考查了直线抛物线的综合应用，考查了学生的运算能力，属于较难题．
设，，，，，，由于，，三点共线可得：，设：，可求出点的坐标，同理可得点的坐标，分别求出，的长度，即可得出；
若线段上的任意一点均在以点为圆心、线段长为半径的圆内或圆上即，代入即可求出，，，即可求出斜率．
22.【答案】解依题意，曲线的普通方程为，
即，故，故，
故所求极坐标方程为；
设直线的参数方程为为参数，
将此参数方程代入中，
化简可得，
显然设，所对应的参数分别为，，则．
．
【解析】先求出曲线的普通方程为，再化成极坐标方程；
先写出直线的参数方程为参数，再将直线的参数方程代入圆的方程，利用直线参数方程的几何意义解答．
本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．
23.【答案】解法一：当，时，不等式为．
当时不等式化为得，
故；
当时不等式化为得．
故；
当时不等式化为．
故．
综上可知，不等式的解集为，
解法二：用图象解，
作出与的图象：
由，由，
所以不等式的解集为．
证明：易知，
因为的最小值是且，所以，
故．
所以
当且仅当时取等号．
【解析】解法一：去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．
解法二：化简函数为分段函数，用图象解不等式的解集．
通过结合函数的最小值，利用基本不等式转化求解证明即可．
本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
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