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27.1 图形的相似一课一练
一、填空题
1．把一个矩形剪去一个正方形，若余下的矩形与原矩形相似，则原矩形长宽之比为 ．
二、单选题
2．下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个菱形 B．两个等边三角形
C．两个矩形 D．两个直角三角形
3．下列叙述正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形相似 B．任意两个平行四边形相似
C．任意两个矩形相似 D．任意两个正方形相似
4．在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（ ）
A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换
5．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（ ）
A．120° B．87° C．75° D．60°
6．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
7．下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（ ）
A．两个等边三角形
B．有一个角是35°的两个等腰三角形
C．两个正方形
D．两个圆
三、解答题
8．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
四、作图题
9．如图所示，请你画一画，试着把下面两个图形用给出的格点缩小为原来的 ．
五、综合题
10．方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
11．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．
12．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 交y轴于点A，过A作 轴，交抛物线于点B，连结 .点P为抛物线上 上方的一个点，连结 ，作 垂足为H，交 于点Q.
（1）求 的长；
（2）当 时，求点P的坐标；
（3）当 面积是四边形 面积的2倍时，求点p的坐标.
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】
根据相似多边形对应边的成比例，=，
设原矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则AE=x-y．
∴=
解得：x=，或x=（舍去）．
∴=．
即原矩形的长与宽的比是．
【分析】根据相似多边形对应边的比等于相似比，设出原来矩形的长和宽，就可得到关于长宽的方程，从而可以解得．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故答案为：B．
【分析】 对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相似图形。根据相似图形的定义对每个选项一一判断即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解： A、任意两个等腰三角形不一定满足三边对应成比例，三个角分别对应相等，不一定相似，故此选项不符合题意；
B、任意两个平行四边形不一定满足边对应成比例，四个角对应相等，不一定相似，故此选项不符合题意；
C、任意两个矩形不一定满足边对应成比例，不一定相似，故此选项不符合题意；
D、任意两个两个正方形满足相似图形的定义，故选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】对应边成比例，且对应角相等的两个图形相似，据此一一判断得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是相似变换.
故答案为：D.
【分析】根据相似图形的概念即可得出答案。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵两个四边形相似，
∴ ，
∵四边形的内角和等于360°，
∴ .
故答案为：B.
【分析】利用相似四边形的对应角相等，可求出∠1的度数，再利用四边形的内角和定理可求出∠a的度数.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A、相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定；
B、不相似，因为没有指明该角是顶角还是底角，若一个顶角和一个底角相等则不一定相似；
C、相似，因为其四个角均相等，且对应边成比例，符合相似的条件；
D、相似，因为圆是以定点为圆心，定长为半径所组成的图形，符合相似的条件；
故答案为：B
【分析】根据相似图形的性质判断。
8．【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：
①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。
9．【答案】解：如图所示：
【解析】【分析】将图形中对应边长变为原来的 得出对应点位置画出图形即可．
10．【答案】（1）解：相似；
根据题意，四边形ABCD中， ，BC=1，CD=2，AD= ；四边形EFGH中， ，FG=2，GH=4，EH= ；
∴ ，即 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为： .
（2）解：根据题意，设相似比为 ，则四边形MNPQ的各边为：
MN=2，NP= ，PQ= ，MQ= ，
如图，四边形MNPQ即为所求.
.
【解析】【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.
11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠FAE=∠AEB，∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC
（2）解：∵四边形ABEF为菱形；
∴BE=AB=6，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴ ，即 ，
解得：BC=3±3 （负值舍去），
∴BC=3+3
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AD∥BC，AB=CD，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABEF是平行四边形，再根据角平分线的定义及平行线的性质，去证明AB=EB，就可证得四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的性质可证得结论。
（2）利用相似多边形的性质和菱形的性质，由四边形ABCD∽四边形CEFD，得出对应边成比例，就可求出BC的长。
12．【答案】（1）解：当x=0时，y=3,
∴A（0,3），
令 ，解得x=0或6,
∴B（6,3），
故AB=6；
（2）解：设P（m，-m2+6m+3）,
∵∠P=∠B，∠AHP=∠OAB=90°，
∴△ABO∽△HPA，
∴，
∴,
解得m=4,
∴P（4,11）；
（3）解：当 面积是四边形 面积的2倍时， 则2（3+）=-m2+6m,
解得m1=4, m2=3,
∴P（4,11）或（3,12）.
【解析】【分析】 （1）对于y=-x2+6x+3，令x=0，则y=3，故点A（0，3），令y=-x2+6x+3=3，解得x=0或6，故点B（6，3），即可求解；
（2）根据题意，证明△ABO～△HPA，则，据此列式即可求解；
（3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，则2（AO+HQ）=PH，即可求解．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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