卷子答案网-一个不只有答案的网站黄冈市名校2023-2024学年高二上学期10月阶段性测试
数学
一．单项选择题
1.已知复数，则以下判断正确的是
A. 复数的模为 B. 复数的模为 C. 复数的虚部为 D. 复数的虚部为
2.从分别写有，，，，，的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是
的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则( )
A. B. C. D.
5.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则．( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
6.国庆节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去北京旅游的概率为( )
A. B. C. D.
7.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
8.年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过分钟，如果分钟内完成任务则试验成功结束任务，分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为( )
A. B. C. D.
二．多选题
9.甲乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得分，摸出其他颜色小球得分，下列说法中正确的是( )
A. 小明得分的概率为 B. 小明得分低于分的概率为
C. 小明得分不少于分的概率为 D. 小明恰好得分的概率为
10.设，为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若，，则当且仅当时，、是互斥事件
B. 若，，则是必然事件
C. 若，，则时，是独立事件
D. 若，，且，则，是独立事件
11.为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这周课外阅读的平均时长单位：的数据如下表：
女生
男生
以下判断中正确的是( )
A. 该班女生每周课外阅读的平均时长的平均值为
B. 该班男生每周课外阅读的平均时长的分位数是
C. 该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小
D. 该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长大于的概率为
12.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对其中当
时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”在不超过的素数中，任选两个不同的素数，令事件为孪生素数，为表兄弟素数，，记事件，，发生的概率分别为，，，则下列关系式不成立的是( )
A. B.
C. D.
三．填空题
13.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，则密码被成功破译的概率__________．
14.已知琼海市春天下雨的概率为，现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示下雨，，，，，，表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表未来三天是否下雨的结果经随机模拟产生了如下组随机数：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．据此估计，该地未来三天恰有一天下雨的概率为__________．
15.甲、乙两队举行比赛，比赛共有局，若有一方连胜局，则比赛立即终止已知甲每局获胜的概率为，甲在第局终止比赛并获胜的概率为__________．
四，解答题
16.已知甲、乙两人定点投篮比赛，投中的概率分别为和，若按甲、乙、甲、乙、的次序轮流投篮，且每次投篮是否投中互不影响，直到有一人投中停止比赛，则甲投篮两次的概率是__________．
17.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知他们能破译该密码的概率分别是
求三人都成功破译该密码的概率；
求恰有一人成功破译该密码的概率；
求该密码被成功破译的概率．
18.某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率
小华同学获得一次摸奖机会．
求他不能中奖的概率；
若该同学中一等奖或二等奖的概率是，试计算黄球的个数．
19.为了解网民对某专辑的满意度，某机构从网络上随机选取了名网民进行问卷调查，并将问卷中的这
人根据其满意度评分值百分制，满意度评分值均在内分成，，，，组，制成如图所示的频率分布直方图．
求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数同一组数据用该组区间的中点值为代表
用分层抽样的方法从满意度评分值在，内的网民中抽出人，再从这人中随机抽取人进行专访，求抽到的人满意度评分值均在内的概率．
20.在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的值
若边，求面积的最大值．
21.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以
的中点为球心、为直径的球面交于点
．
求证：平面平面
求直线与平面所成的角的正切值
求点到平面的距离．
22.第届亚运会将于年月日至月日举办本届亚运会共设个竞赛大项其中首次增设了电子竞技项目与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率
假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢
这里我们简单研究一下两个赛制假设四支队伍分别为、、、，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为最初分组时同组，同组．
若，在淘汰赛赛制下，、获得冠军的概率分别为多少
分别计算两种赛制下获得冠军的概率用表示，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”
答案
1.B
2.A
3.A
4.D
5.B
6.C
7.B
8.D
9.BD
10.ACD
11.BCD
12.ABC
13.
14.0.4
15.
16.
17.解:设事件A=“甲破译该密码”,B=“乙破译该密码”,C=“丙破译该密码”,
则=“甲没破译该密码”,=“乙没破译该密码”,=“丙没破译该密码”.
因为三人破译密码相互独立, 所以A与,B与,C与都相互独立.
(1)因为ABC=“三人都成功破译该密码”,所以P(ABC)==.
(2) 因为“恰有一人成功破译该密码”即ABC,
所以P(AB C)=P(A)+P(B)+P(C)
=++=.
(3) 因为事件“该密码被成功破译”的对立事件是“没人成功破译该密码”,
所以事件“该密码被成功破译”的概率为1-P()=1-=.
18.解：（1）设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A，B，C，D，
它们彼此是互斥事件，
由题意得P（A）=，P（B+C）=P（B）+P（C）=，
由对立事件的概率公式得P（D）=1-P（A+B+C）
=1-P（B+C）-P（A）=1-=，
∴不能中奖的概率为．
（2）∵P（A+B）=，又P（A+B）=P（A）+P（B），
∴P（B）==，
∵P（B+C）=P（B）+P（C）=，
∴P（C）==，
∴中三等奖的概率为，
∴黄球个数为16×=4（个）．
19.解:(1)由(0.005+0.025+0.040+a+0.010)10=1,解得a=0.020，
满意度评分值的平均数=550.05+650.25+750.4+850.2+950.1=75.5，
设满意度评分值的中位数为x,则x[70,80),(x-70)0.04=0.2,解得x=75,
即满意度评分值的中位数为75；
(2)这1000名网民中,满意度评分值在[50,60)内的有10000.05=50人,
满意度评分值在[90,100]内的有10000.1=100人，
抽取的6人中满意度评分值在[50,60)内的有2人,记这2人分别为A,B,
满意度评分值在[90,100]内的有4人,记这4人分别为a,b,c,d,
从6人中抽取中随机抽取3人的情况为(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),
(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),
(B,b,d),(B,c,d),(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),共20种,
其中3人满意度评分值均在[90,100]内的情况为(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),共4种,
所以抽到的3人满意度评分值均在[90,100]内的概率为=.
20.解: (1) 由条件和正弦定理可得=2b-a
整理得+-=ab从而由余弦定理得C=.
又C是三角形的内角,C=.
(2)由余弦定理得=+-2abC=+-ab,
c=2,4=+-ab2ab-ab=ab(当且仅当a=b时，取等号)，
ab4，
故=abC=ab，
即ABC面积的最大值为.
21.(1)证：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，
AD∩AP=A，
所以AB⊥平面PAD，
又PD平面PAD，
则AB⊥PD，因为
因此有PD⊥平面ABM，
PD平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD
(2)设平面ABM与PC交于点N，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，
由(1)知，PD⊥平面ABM，
则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，
且∠PNM=∠PCD，所以,
所以直线PC与平面ABM所成的角的正切值为.
(3)因为O是BD的中点，
则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，
由(1)知，PD⊥平面ABM于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离,
因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M为PD中点，，
则O点到平面ABM的距离等于．
22.解:(1)记A,C拿到冠军分别为事件M,N,淘汰赛赛制下,A只需要连赢两场即可
拿到冠军,因此P(M)==,
对于C想拿到冠军, 首先得战胜D, 然后战胜A, B中的胜者,
因此P(N)=+=.
(2)记两种赛制下A获得冠军的概率分别为,,则=.
而双败赛制下,A获得冠军有三种可能性:直接连赢三局;从胜者组掉入败者组然后
杀回总决赛;直接掉入败者组拿到冠军.
=+p(1-p)+(1-p)=(3-2p),
p-=p(1-p)>0,p-=p(2p+1)>0
则不论哪种赛制下,A获得冠军的概率均小于p
而-=(1-p)(2p-1)
若p>,则>,若p<,则<
综上可知:双败赛制下,会使得强者拿到冠军概率变大,弱者拿到冠军的概率变低,更加有
利于筛选出“强者”,人们“对强者不公平”的质疑是不对的.
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