卷子答案网-一个不只有答案的网站广东省茂名第五高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题(每小题5分,共8小题40分)
1．（2021高二上·茂名期中）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·茂名期中）设复数满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B．2 C． D．1
3．（2021高二上·温州期中）已知 ， ， ，若 四点共面，则实数 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2021高二上·茂名期中）过点 作与圆 相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
5．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高二上·茂名期中）阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 ( 且 )的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距离为2，动点 与 、 距离之比为 ，当 、 、 不共线时， 面积的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
7．（2021高二上·茂名期中）四棱锥 中， ， ， ，则这个四棱锥的高h为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021高二上·茂名期中）已知点 ，直线 方程为 ，且直线 与线段 相交，求直线 的斜率 的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
二、多选题(每小题5分,共4小题20分)
9．（2021高二上·茂名期中）下列函数中在区间 上单调递减的函数有（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高二上·茂名期中）已知直线l过点 ，且与直线 以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l与直线 的斜率互为相反数
B．直线l与直线 的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为-1
D．这样的直线l有两条
11．（2021高二上·茂名期中）如图所示，长方体 的底面 是边长为1的正方形，长方体的高为2， 分别在 上，且 ， .则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．二面角 的正切值为
12．（2021高二上·茂名期中）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是 （ ）
A． 的最小正周期为
B． 在区间 上单调递减
C． 不是函数 图象的对称轴
D． 在 上的最小值为
三、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13．（2021高二上·茂名期中）直线 与圆 交于点A，B两点，则线段 的长 .
14．（2021高二上·茂名期中）下列关于空间向量的命题中，
①若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
②若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
③若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点共面；
④若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底．
上述命题中，正确的有 ．
15．（2021高二上·茂名期中） ，使得不等式 成立，则m的取值范围是 .
16．（2021高二上·茂名期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域为{(x，y)|x2+y2≤ }，河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P( ， )处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，当将军选择最短路程时，饮马点A的纵坐标为 .最短总路程为
四、解答题(第17题10分,第18-22题各12分,共6小题70分)
17．（2021高二上·茂名期中）已知函数 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值域．
18．（2021高二上·茂名期中）已知直线 与直线 交于点 .
（1）求过点 且平行于直线 的直线 的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程写成一般式）
（2）求过点 并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 的方程.（直线方程写成一般式）
19．（2021高二上·茂名期中）2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组： ， ， ， ， ， ， ，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；
（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．
20．（2021高二上·茂名期中）已知圆 ： 与圆 ： 相交.
（1）求交点所在直线方程；
（2）若点P是圆C： 上任意一点，求P点到（1）中交点所在直线距离的最大值和最小值.
21．（2021高二上·茂名期中）在四棱锥 中， 为棱 的中点， 平面 ， ， ， ， ， 为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正切值.
22．（2021高二上·茂名期中）已知函数 .
（1）若函数 为奇函数，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为 ， ，
则 .
故选：A
【分析】根据补集概念求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：设z=x+yi(x，y∈R)，由题意可知，3(x-yi)-2(x+yi)=2+5i，即x-5yi=2+5i，根据复数相等的定义，得x=2，y=-1，所以z=2-i ，即．
故选：A
【分析】根据复数相等，结合复数的模求解即可.
3．【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标；平面的基本性质及推论；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】若 四点共面，则存在实数 使得 成立，
则 解得
故答案为：D．
【分析】根据题意由四点共面的性质，结合向量线性运算的坐标公式，整理由此即可求出的值。
4．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题设，圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1，0)，半径为1，
∴ (0，2)在圆外，显然x=0是其中一条切线，
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+2，即kx-y+2=0，则 ，可得，
∴切线方程为3x+4y-8=0.
综上，切线方程为x=0或3x+4y-8=0 .
故选：C
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式以及直线的斜截式方程求解即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因函数 的定义域为 ，则在函数 中，
必有 ，解得 ，
所以 的定义域为 .
故答案为：A
【分析】 求函数的定义域需各部分都有意义，分母大于0，利用f (x)的定义域要使f(2x-1)有意义，只需，解即可得答案.
6．【答案】D
【知识点】圆的标准方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图，以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建系，如图：
则A(-1，0)，B(1，0)，设P(x，y) ，
∵，
∴ ，整理得(x-3)2+y2=8，所以圆的班级为，
∴ 面积的最大值是
故选：D．
【分析】以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建系，利用求出圆的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.
7．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：设平面ABCD的法向量为，
则，即 ，∴ ，
取z=4，则 ，
∴这个四棱锥的高 ，
故选：D．
【分析】利用向量法直接求解即可.
8．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：直线l方程为 转化为k(x-1)-(y-2)=0 ，
所以直线l过定点P(1，2)，且与线段AB相交，如图所示，
则直线PA的斜率是，
直线PB的斜率是 ，
则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是或
故选：A．
【分析】由题知直线l过定点P(1，2) ，进而作出图形，运用数形结合思想，结合斜率公式求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象变换；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：A选项：根据幂函数y=xα中α>0时在(0，+∞)上单调递增，故此选项不符合题意；
B选项：将图像向左平移一个单位，所以在(-1，+∞)上单调递减，所以符合题意；
C选项：保留y=x-1图像在x轴上方的部分，x轴下方图像翻折到x轴的上方，根据图像可知(-∞，1)在 上单调递减，(1，+∞)上单调递增，符合题意；
D选项： 的图像由指数函数y=2x图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在R上单调递增，所以不符合题意。
故选：BC
【分析】A选项根据幂函数的性质判断；B选项根据对数函数图象的平移变换判断；
C选项根据函数整体绝对值是将下方的图像翻折到上方判断；D选项根据指数函数图象的平移变换判断；
10．【答案】A,B,C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，
所以l与l1的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；
由直线的斜率为2，知直线l1的斜率为-2，可得直线l的方程为y-1=-2(x+1)，令x=0，可得在y轴上的截距为-1，故选项C正确；
过P(-1，1)且斜率为-2的直线只有一条，故选项D错误．
故选：ABC
【分析】根据题意，得到l与l1的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；由直线的点斜式方程，可得C选项正确；过定点斜率确定的直线唯一，可判定D选项错误．
11．【答案】B,C,D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，，，
A1(1，0，2)，则
，
因为，所以不正确，即A不正确；
因为，且与不在同一条直线上，所以EF//BD1，即B正确；
因为，故C正确；
，令平面EAC的一个法向量为，
则，不妨取x=1，则，
又平面ACD的一个法向量，
显然二面角E-AC-D的平面角为锐角，设为θ
所以，
所以，则，∴D正确.
故选：BCD.
【分析】建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法逐项判断求解即可.
12．【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
∴函数g(x)的最小正周期为π，故A正确；
当时，，故g(x)在区间 上有增有减，故B错误；
∵，故不是函数g(x)图象的对称轴，故C正确；
当 时，，∴当，即时故g(x)取得最小值 ，故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据三角恒等变换，结合余弦函数的图象与性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：圆圆心为(0，0)，半径为4，
则圆心到直线的距离为，
所以线段AB的长为，
故答案为： .
【分析】根据圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后结合圆的几何性质即可求解.
14．【答案】①③④
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：对于①， 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则向量 ， 与空间任意向量都共面，则与必共线，即//，故①正确；
对于②， 若非零向量 ， ， 满足 ， ，当非零向量 ， ， 不共面时， 与可以不平行，故②不正确；
对于③，因为 ，所以，
所以，所以共面，所以 ， ， ， 四点共面，故③正确；
对于④，若向量 ， ，是空间一组基底，则向量 ， ， 不共面，则对任意实数x，y都有，即，
所以 ， ， 不共面，所以 ， ， 也是空间的一组基底．故④正确.
故答案为：①③④
【分析】根据空间向量基本定理可知，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此对四个命题逐个分析可得答案.
15．【答案】
【知识点】存在量词命题；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：令，则，
因为 ，使得不等式 成立，
所以，
则m的取值范围是 ，
故答案为：
【分析】根据化归思想，将不等式有解问题等价转化为求函数的最小值问题，结合二次函数的最值问题求解即可.
16．【答案】；
【知识点】两条直线的交点坐标；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设P( ， )关于直线x+2y-4=0的对称点为P'(m，n)，
则解得
因为从点P到军营总路程最短，所以A为线段OP'与直线x+2y-4=0的交点，
联立得，解得 .
所以“将军饮马”的最短总路程为 ，
故答案为： ， .
【分析】先求出P( ， )关于直线x+2y-4=0的对称点P'的坐标，再求出线段OP'与直线x+2y-4=0的交点A，再利用圆的几何性质即可求解.
17．【答案】（1）解： ，
（2）解：因为 ，所以 ，
所以 的值域为
【知识点】函数的值；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角和的正弦公式，结合三角函数的求值即可求解；
（2）根据正弦函数的性质求解即可.
18．【答案】（1）解：由 ， 得 .
设直线 的方程为 ，代入点 坐标得 ，
所以直线 的方程为 ，
所以两平行线间的距离
（2）解：当直线 过坐标原点时，直线 的方程为 ，即 ；
当直线 不过坐标原点时，设直线 的方程为 ，代入点 坐标得 ，
所以直线 的方程的方程为 ，即 .
综上所述，直线 的方程为 或
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线的交点，结合平行直线的判定及直线方程，并根据两平行直线间的距离公式求解即可；
（2）根据直线的截距式方程求解即可.
19．【答案】（1）解：由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为 ，
成绩在 的频率为 ，
成绩在 的频率为 ，
故中位数位于 之间，中位数是 （分）．
（2）解：∵ 与 的党员人数的比值为2：3，
采用分层随机抽样方法抽取5人，则在 中抽取2人， 中抽3人，
设 抽取人的编号为 ， ， 抽取人的编号为 ， ， ，
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10个样本点，
这2人中至少有1人成绩低于76分的有：
， ， ， ， ， ， ，共7个样本点，
故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据直方图的性质，结合众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据分层抽样，结合列举法与古典概型概率的计算公式求解即可.
20．【答案】（1）解：由已知：圆 ： ，圆 ： ，
故交点所在直线的方程为： ，
即 ，
故交点所在直线的方程为
（2）解：由圆C： 知，圆心为 ，半径为1，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以圆上点 到直线的 ，
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点与圆的位置关系；圆系方程
【解析】【分析】（1）根据两圆相交，两圆的方程相减即可求出公共弦所在直线方程；
（2）根据圆的性质先求出圆心到直线距离，分别加减半径即可求解.
21．【答案】（1）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
因为 ，且 ，所以 ，
又因为 ，所以 是 的中位线，
所以 ，
因为 面 ， 面 ，
所以 平面
（2）解：因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
又因为 ，所以四边形 是矩形，可得 ，
又因为 平面 ， 面 ， 面 ，
所以 ， ，
以 为原点， ， ， 为 轴建立空间直角坐标系，如图：
设 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
由 可得 ，令 ，则 ，
所以 ，
取平面 的一个法向量 ，
可得 ，
因为二面角 为 ，
所以 ，解得： ，
因为 平面 ，
所以 就是直线 与平面 所成角，
在 中， ，
所以直线 与平面 所成角的正切值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
（2）建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法直接求解即可.
22．【答案】（1）解：因为 为奇函数且定义域为 ，则 ，即 ，所以 .
当 时，因为 ，满足条件 为奇函数.故
（2）解：由不等式 对 恒成立得 对 恒成立，因为 为奇函数，所以 对 恒成立（*）.
在 上任取 ， ，且 ，则 ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减，所以（*）可化为 对 恒成立，即 对 恒成立.
令 .因为 的图象是开口向上的抛物线，
所以由 对 恒成立可得 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）根据奇函数的性质与函数的单调性求解即可.
广东省茂名第五高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题(每小题5分,共8小题40分)
1．（2021高二上·茂名期中）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为 ， ，
则 .
故选：A
【分析】根据补集概念求解即可.
2．（2021高二上·茂名期中）设复数满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：设z=x+yi(x，y∈R)，由题意可知，3(x-yi)-2(x+yi)=2+5i，即x-5yi=2+5i，根据复数相等的定义，得x=2，y=-1，所以z=2-i ，即．
故选：A
【分析】根据复数相等，结合复数的模求解即可.
3．（2021高二上·温州期中）已知 ， ， ，若 四点共面，则实数 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标；平面的基本性质及推论；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】若 四点共面，则存在实数 使得 成立，
则 解得
故答案为：D．
【分析】根据题意由四点共面的性质，结合向量线性运算的坐标公式，整理由此即可求出的值。
4．（2021高二上·茂名期中）过点 作与圆 相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题设，圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1，0)，半径为1，
∴ (0，2)在圆外，显然x=0是其中一条切线，
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+2，即kx-y+2=0，则 ，可得，
∴切线方程为3x+4y-8=0.
综上，切线方程为x=0或3x+4y-8=0 .
故选：C
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式以及直线的斜截式方程求解即可.
5．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因函数 的定义域为 ，则在函数 中，
必有 ，解得 ，
所以 的定义域为 .
故答案为：A
【分析】 求函数的定义域需各部分都有意义，分母大于0，利用f (x)的定义域要使f(2x-1)有意义，只需，解即可得答案.
6．（2021高二上·茂名期中）阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 ( 且 )的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距离为2，动点 与 、 距离之比为 ，当 、 、 不共线时， 面积的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图，以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建系，如图：
则A(-1，0)，B(1，0)，设P(x，y) ，
∵，
∴ ，整理得(x-3)2+y2=8，所以圆的班级为，
∴ 面积的最大值是
故选：D．
【分析】以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建系，利用求出圆的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.
7．（2021高二上·茂名期中）四棱锥 中， ， ， ，则这个四棱锥的高h为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：设平面ABCD的法向量为，
则，即 ，∴ ，
取z=4，则 ，
∴这个四棱锥的高 ，
故选：D．
【分析】利用向量法直接求解即可.
8．（2021高二上·茂名期中）已知点 ，直线 方程为 ，且直线 与线段 相交，求直线 的斜率 的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：直线l方程为 转化为k(x-1)-(y-2)=0 ，
所以直线l过定点P(1，2)，且与线段AB相交，如图所示，
则直线PA的斜率是，
直线PB的斜率是 ，
则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是或
故选：A．
【分析】由题知直线l过定点P(1，2) ，进而作出图形，运用数形结合思想，结合斜率公式求解即可.
二、多选题(每小题5分,共4小题20分)
9．（2021高二上·茂名期中）下列函数中在区间 上单调递减的函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象变换；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：A选项：根据幂函数y=xα中α>0时在(0，+∞)上单调递增，故此选项不符合题意；
B选项：将图像向左平移一个单位，所以在(-1，+∞)上单调递减，所以符合题意；
C选项：保留y=x-1图像在x轴上方的部分，x轴下方图像翻折到x轴的上方，根据图像可知(-∞，1)在 上单调递减，(1，+∞)上单调递增，符合题意；
D选项： 的图像由指数函数y=2x图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在R上单调递增，所以不符合题意。
故选：BC
【分析】A选项根据幂函数的性质判断；B选项根据对数函数图象的平移变换判断；
C选项根据函数整体绝对值是将下方的图像翻折到上方判断；D选项根据指数函数图象的平移变换判断；
10．（2021高二上·茂名期中）已知直线l过点 ，且与直线 以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l与直线 的斜率互为相反数
B．直线l与直线 的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为-1
D．这样的直线l有两条
【答案】A,B,C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，
所以l与l1的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；
由直线的斜率为2，知直线l1的斜率为-2，可得直线l的方程为y-1=-2(x+1)，令x=0，可得在y轴上的截距为-1，故选项C正确；
过P(-1，1)且斜率为-2的直线只有一条，故选项D错误．
故选：ABC
【分析】根据题意，得到l与l1的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；由直线的点斜式方程，可得C选项正确；过定点斜率确定的直线唯一，可判定D选项错误．
11．（2021高二上·茂名期中）如图所示，长方体 的底面 是边长为1的正方形，长方体的高为2， 分别在 上，且 ， .则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．二面角 的正切值为
【答案】B,C,D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，，，
A1(1，0，2)，则
，
因为，所以不正确，即A不正确；
因为，且与不在同一条直线上，所以EF//BD1，即B正确；
因为，故C正确；
，令平面EAC的一个法向量为，
则，不妨取x=1，则，
又平面ACD的一个法向量，
显然二面角E-AC-D的平面角为锐角，设为θ
所以，
所以，则，∴D正确.
故选：BCD.
【分析】建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法逐项判断求解即可.
12．（2021高二上·茂名期中）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是 （ ）
A． 的最小正周期为
B． 在区间 上单调递减
C． 不是函数 图象的对称轴
D． 在 上的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
∴函数g(x)的最小正周期为π，故A正确；
当时，，故g(x)在区间 上有增有减，故B错误；
∵，故不是函数g(x)图象的对称轴，故C正确；
当 时，，∴当，即时故g(x)取得最小值 ，故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据三角恒等变换，结合余弦函数的图象与性质求解即可.
三、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13．（2021高二上·茂名期中）直线 与圆 交于点A，B两点，则线段 的长 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：圆圆心为(0，0)，半径为4，
则圆心到直线的距离为，
所以线段AB的长为，
故答案为： .
【分析】根据圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后结合圆的几何性质即可求解.
14．（2021高二上·茂名期中）下列关于空间向量的命题中，
①若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
②若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
③若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点共面；
④若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底．
上述命题中，正确的有 ．
【答案】①③④
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：对于①， 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则向量 ， 与空间任意向量都共面，则与必共线，即//，故①正确；
对于②， 若非零向量 ， ， 满足 ， ，当非零向量 ， ， 不共面时， 与可以不平行，故②不正确；
对于③，因为 ，所以，
所以，所以共面，所以 ， ， ， 四点共面，故③正确；
对于④，若向量 ， ，是空间一组基底，则向量 ， ， 不共面，则对任意实数x，y都有，即，
所以 ， ， 不共面，所以 ， ， 也是空间的一组基底．故④正确.
故答案为：①③④
【分析】根据空间向量基本定理可知，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此对四个命题逐个分析可得答案.
15．（2021高二上·茂名期中） ，使得不等式 成立，则m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】存在量词命题；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：令，则，
因为 ，使得不等式 成立，
所以，
则m的取值范围是 ，
故答案为：
【分析】根据化归思想，将不等式有解问题等价转化为求函数的最小值问题，结合二次函数的最值问题求解即可.
16．（2021高二上·茂名期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域为{(x，y)|x2+y2≤ }，河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P( ， )处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，当将军选择最短路程时，饮马点A的纵坐标为 .最短总路程为
【答案】；
【知识点】两条直线的交点坐标；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设P( ， )关于直线x+2y-4=0的对称点为P'(m，n)，
则解得
因为从点P到军营总路程最短，所以A为线段OP'与直线x+2y-4=0的交点，
联立得，解得 .
所以“将军饮马”的最短总路程为 ，
故答案为： ， .
【分析】先求出P( ， )关于直线x+2y-4=0的对称点P'的坐标，再求出线段OP'与直线x+2y-4=0的交点A，再利用圆的几何性质即可求解.
四、解答题(第17题10分,第18-22题各12分,共6小题70分)
17．（2021高二上·茂名期中）已知函数 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值域．
【答案】（1）解： ，
（2）解：因为 ，所以 ，
所以 的值域为
【知识点】函数的值；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角和的正弦公式，结合三角函数的求值即可求解；
（2）根据正弦函数的性质求解即可.
18．（2021高二上·茂名期中）已知直线 与直线 交于点 .
（1）求过点 且平行于直线 的直线 的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程写成一般式）
（2）求过点 并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 的方程.（直线方程写成一般式）
【答案】（1）解：由 ， 得 .
设直线 的方程为 ，代入点 坐标得 ，
所以直线 的方程为 ，
所以两平行线间的距离
（2）解：当直线 过坐标原点时，直线 的方程为 ，即 ；
当直线 不过坐标原点时，设直线 的方程为 ，代入点 坐标得 ，
所以直线 的方程的方程为 ，即 .
综上所述，直线 的方程为 或
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线的交点，结合平行直线的判定及直线方程，并根据两平行直线间的距离公式求解即可；
（2）根据直线的截距式方程求解即可.
19．（2021高二上·茂名期中）2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组： ， ， ， ， ， ， ，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；
（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为 ，
成绩在 的频率为 ，
成绩在 的频率为 ，
故中位数位于 之间，中位数是 （分）．
（2）解：∵ 与 的党员人数的比值为2：3，
采用分层随机抽样方法抽取5人，则在 中抽取2人， 中抽3人，
设 抽取人的编号为 ， ， 抽取人的编号为 ， ， ，
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10个样本点，
这2人中至少有1人成绩低于76分的有：
， ， ， ， ， ， ，共7个样本点，
故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据直方图的性质，结合众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据分层抽样，结合列举法与古典概型概率的计算公式求解即可.
20．（2021高二上·茂名期中）已知圆 ： 与圆 ： 相交.
（1）求交点所在直线方程；
（2）若点P是圆C： 上任意一点，求P点到（1）中交点所在直线距离的最大值和最小值.
【答案】（1）解：由已知：圆 ： ，圆 ： ，
故交点所在直线的方程为： ，
即 ，
故交点所在直线的方程为
（2）解：由圆C： 知，圆心为 ，半径为1，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以圆上点 到直线的 ，
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点与圆的位置关系；圆系方程
【解析】【分析】（1）根据两圆相交，两圆的方程相减即可求出公共弦所在直线方程；
（2）根据圆的性质先求出圆心到直线距离，分别加减半径即可求解.
21．（2021高二上·茂名期中）在四棱锥 中， 为棱 的中点， 平面 ， ， ， ， ， 为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正切值.
【答案】（1）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
因为 ，且 ，所以 ，
又因为 ，所以 是 的中位线，
所以 ，
因为 面 ， 面 ，
所以 平面
（2）解：因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
又因为 ，所以四边形 是矩形，可得 ，
又因为 平面 ， 面 ， 面 ，
所以 ， ，
以 为原点， ， ， 为 轴建立空间直角坐标系，如图：
设 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
由 可得 ，令 ，则 ，
所以 ，
取平面 的一个法向量 ，
可得 ，
因为二面角 为 ，
所以 ，解得： ，
因为 平面 ，
所以 就是直线 与平面 所成角，
在 中， ，
所以直线 与平面 所成角的正切值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
（2）建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法直接求解即可.
22．（2021高二上·茂名期中）已知函数 .
（1）若函数 为奇函数，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围
【答案】（1）解：因为 为奇函数且定义域为 ，则 ，即 ，所以 .
当 时，因为 ，满足条件 为奇函数.故
（2）解：由不等式 对 恒成立得 对 恒成立，因为 为奇函数，所以 对 恒成立（*）.
在 上任取 ， ，且 ，则 ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减，所以（*）可化为 对 恒成立，即 对 恒成立.
令 .因为 的图象是开口向上的抛物线，
所以由 对 恒成立可得 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）根据奇函数的性质与函数的单调性求解即可.