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2024华师版九年级数学下学期单元测试卷
第27章 圆
时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.如图，AB是☉O的直径，点C是☉O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是 （ ）
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是 （ ）
A.以OA为半径的圆 B.以OB为半径的圆
C.以OC为半径的圆 D.以OD为半径的圆
3.如图，在☉O中，直径AB⊥CD，下列说法错误的是 （ ）
A.AB是最长的弦 B.∠ADB=90° C.= D.∠ABD=2∠ADC
4.如图，△ABC的外心的坐标是 （ ）
A.（-2，-1） B.（-1，-2） C.（-1，-1） D.无法确定
5.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为 （ ）
A.27° B.54° C.63° D.36°
6.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图，
AC，BD分别与☉O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P=120°，☉O的半径为6，则的长为 （结果保留π） （ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
7.如图，半径为r的☉O的弦AC=BD，且AC⊥BD于点E，连接AB，AD.若
AD=，则半径r的长为 （ ）
A. B. C.1 D.
8.如图，☉O与△ABO的边AB相切，切点为点B，将△ABO绕点B按顺时针方向旋转得到△A'BO'，使点O'恰好落在☉O上，A'B交AO于点C，若∠A=25°，则∠OCB= （ ）
A.90° B.87.5° C. 85° D.80°
9.等边三角形的内切圆与外接圆的半径之比为 （ ）
A.1∶2 B.∶3 C.∶2 D.∶1
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，-1），
B（-1，-1），C（-1，1），D（1，1）.曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…，的圆心依次是点B，C，D，A循环，则点
A2 022的坐标是 （ ）
A.（-4 045，-1） B.（-1，-4 045）
C.（4 045，1） D.（-4 045，1）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是 .
12.如图，D（0，3），O（0，0），C（4，0），点B在☉A上，BD是☉A的一条弦.则sin∠OBD= .
13.数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径.小聪的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可得出轮子的半径.现测出AB=
4 cm，CD=1 cm，则轮子的半径为 cm.
14.已知在平面直角坐标系内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，如果☉P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的值是 .
15.如图，在半径为1的扇形ACB中，∠ACB=90°，以BC为直径作半圆，交
AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是 .
16.如图，MN是☉O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点.连接AB，AP，BP，若MN=2，AB=-1，则△PAB的周长的最小值是 .
三、解答题（共52分）
17.（6分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.下面是《几何原本》第三卷的第30个命题“二等分已知弧”的作图过程.请你根据要求完成下面的问题.
命题：二等分已知弧.
几何语言：如图，已知，求作的中点C.
作法：①连接AB；②作弦AB的垂直平分线，交于点C，交弦AB于点D；③连接AC，BC；④则点C就是的中点.
问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）写出上述作图过程的两条依据：
① ； ② .
18.（8分）如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在☉O上，∠M=∠D.
（1）判断BC与MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长.
19.（8分）数学小组研究如下问题：某市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度.小组成员查阅了相关资料，得到三条信息.
（1）在地球仪上，与南、北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线.
（2）如图，☉O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6 400 km.弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB.若∠AOB=44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度.
（3）参考数据：π取3，sin 44°≈0.69，cos 44°≈0.72.
请你根据以上资料，求出北纬44°纬线的长度.
20.（9分）如图，☉O的半径为4 cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ.设运动时间为t s.
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形.
（2）填空：①当t= 时，四边形PBQE为菱形；
②当t= 时，四边形PBQE为矩形.
21.（9分）某种在同一平面进行传动的机械装置如图1所示，图2是它的示意图.其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的☉O上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米.
解决问题
（1）点Q与点O之间的最小距离是 分米，最大距离是 分米.
（2）如图3，小明说：“当点Q滑动到点H的位置上时，PQ与☉O相切.”你认为他的说法对吗，为什么
（3）当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求扇形的最大面积.
图1 图2 图3 备用图
22.（12分）如图，在 ABCD中，AB=4，BC=3，对角线AC长为.点O是平面内一点（不与点A重合），以点O为圆心，OA长为半径作☉O.
（1）当点O是AB的中点时，如图1，☉O交BC于另一点P，求BP和的长；
（2）当☉O过点B且点O在DC的延长线上时，如图2，求OA的长；
（3）若☉O与BC边所在的直线相切，请直接写出当切点在BC边上时☉O的半径r的取值范围.
图1 图2 备用图
参考答案与解析
1.B
2.D ∵OD⊥a于点D，∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切.
3.D ∵AB是直径，∴AB是最长的弦，∠ADB=90°，故A，B选项正确.∵AB⊥CD，∴=，∴∠ADC=∠ABD，故C选项正确，D选项错误.
4.A 如图，分别作边BC，AC的垂直平分线，相交于点P，则点P是△ABC的外心，可知P（-2，-1）.
5.C ∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，∴点A，B，C，D都在以AB为直径的圆上.设此圆圆心为点O，连接OD.∵点D对应54°，即∠AOD=54°，∴∠ACD=∠AOD=27°，∴∠BCD=90°-∠ACD=63°.
6.B 如图，连接OC，OD.∵AC，BD分别与☉O相切于点C，D，∴∠OCP=
∠ODP=90°.由四边形内角和为360°可得，∠COD=360°-∠OCP-∠ODP-∠CPD
=360°-90°-90°-120°=60°，∴的长为=2π.
7.C ∵AC=BD，∴=，∴=，∴∠BAC=∠ABD，∴AE=BE.如图，连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE=BE，∴∠ABE=∠BAE=45°，∴∠AOD=2∠ABE=
90°.∵OA=OD=r，∴AD=r.∵AD=，∴r=1.
8.C 如图，连接OO'.∵☉O与△OAB的边AB相切，切点为点B，∴∠OBA=90°.
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△A'BO'，∴∠A'=∠A=25°，∠ABA'=
∠OBO'，BO=BO'.∵OB=OO'，∴△OO'B为等边三角形，∴∠OBO'=60°，∴∠ABA'
=60°，∴∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°.
9.A 如图，△ABC是等边三角形，AD是边BC上的高，点O是其外接圆的圆心.由等边三角形的性质可得点O在AD上，并且点O是△ABC内切圆的圆心，OD为其内切圆的半径.∵AD⊥BC，∠1=∠2=30°，∴BO=2OD，∴OD∶OB=1∶2.
10.D 从题图中可以看出A1的坐标是（-1，-3），A2的坐标是（-5，1），A3的坐标是（1，7），A4的坐标是（9，-1）.∵2 022÷4=505……2，∴点A2 022的坐标是A2的坐标循环后对应的点.依次循环，则A2 022的纵坐标是1，横坐标是
-（1+2×2 022）=-4 045，A2 022的坐标是（-4 045，1）.
11.100° ∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠A+∠C=180°.∵∠A=80°，∴∠C=
180°-80°=100°.
12. 连接CD， ∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∴CD=5.∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==.
13. 如图，在直线CD上找一点，记为圆心O，连接OB.在Rt△OBC中，BC
=AB=2 cm，根据勾股定理得OC2+BC2=OB2，即（OB-1）2+22=OB2，解得OB=，故轮子的半径为 cm.
14.2或 ∵以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，∴☉P与x轴相切（如图1）或☉P过原点（如图2）.当☉P与x轴相切时，r=2；当☉P过原点时，r=OP==，所以r=2或.
图1 图2
15.- 根据题意，得AC=BC，∠CAB=∠ABC=45°.∵BC是直径，∴CD⊥AB，∴△ADC是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，AB==，∴AD=BD=，∴S阴影=S扇形ACB-S△ACD=-××=-.
16.+1 如图，作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，连接OA'，OA，OB，PA.∵点A与点A'关于MN对称，∴PA=PA'.∵点A是半圆上的三等分点，∴∠A'ON=∠AON=60°.∵点B是劣弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°.又OB=OA'=，∴A'B=2，∴PA+PB=PA'+PB
=A'B=2.∵AB=-1，∴△PAB的周长的最小值是2+-1=+1.
17.【参考答案】（1）如图，C点即为所求. （2分）
（2）①平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（或在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对应的弧相等） （6分）
18.【参考答案】（1）BC∥MD.理由如下： （1分）
∵∠MBC=∠D，∠M=∠D，∴∠M=∠MBC，∴BC∥MD. （4分）
（2）∵AB是☉O的直径，CD⊥AB于点E，∴∠OEC=90°，EC=ED. （6分）
∵AE=16，BE=4，∴AB=AE+BE=20，∴OE=OB-BE=10-4=6.
连接OC，则OC=10.在Rt△OCE中，CE==8，∴CD=2CE=16. （8分）
19.【参考答案】因为BC∥OA，∠AOB=44°，所以∠B=∠AOB=44°. （2分）
因为OK⊥BC，所以∠BKO=90°.
因为OB=OA=6 400，BK=OB·cos B， （6分）
所以2π·BK≈2×3×6 400×0.72=27 648.
故北纬44°纬线的长度约为27 648 km. （8分）
20.【参考答案】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于☉O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.
由☉O的半径为4 cm，易得正六边形ABCDEF的边长为4 cm.
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t cm，PF=QC=（4-t）cm. （2分）
在△ABP和△DEQ中，∴△ABP≌△DEQ，
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PBQE是平行四边形. （4分）
（2）①2 （6分）
②0或4 （9分）
21.【参考答案】（1）4 5 （2分）
（2）不对.理由如下： （3分）
∵42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2，∴OP与PQ不垂直，∴PQ与☉O不相切. （6分）
（3）∵PQ的长度固定，为3分米，∴只有PQ⊥l时，点P到OH的距离最大.
设点P在左侧的最远位置为P1，在右侧的最远位置为P2，如图.
过点P2作P2M⊥OH于点M，则HM=P2Q=3，∴OM=4-3=1.
在Rt△OP2M中，OP2=2，OM=1，∴∠MOP2=60°，∴∠P1OP2=120°，
∴==.故扇形的最大面积是分米2. （9分）
22.【参考答案】（1）如图1，连接OP，AP.
由题意可知AB是☉O的直径，∴∠APB=90°.
设BP=x，则CP=3-x.
在Rt△ABP中，根据勾股定理得AP2=AB2-BP2.
在Rt△ACP中，根据勾股定理得AP2=AC2-CP2.
∴AB2-BP2=AC2-CP2，即42-x2=（）2-（3-x）2，
解得x=2，即BP=2， （2分）
∴cos B===，∴∠B=30°，∴∠AOP=2∠B=60°，
∴的长为=. （5分）
图1 图2
（2）如图2，过点O作OM⊥AB于点M，过点C作CN⊥BA交BA的延长线于点N，则AM=BM=2.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴OM=CN.
在Rt△BNC中，BC=3，∠B=30°，∴CN=BC=，∴OM=，
∴OA===. （10分）
（3）1≤r≤4. （12分）
如图3，过点A作AH⊥BC于点H，易知当点O是AH的中点时，r最小.
∵AB=4，∠B=30°，∴AH=AB=2，∴OA=AH=1，∴r的最小值为1.
易知当☉O与BC边的切点为点B时，r最大.
图3 图4
如图4，连接OB，则∠OBC=90°，∴∠OBA=90°-30°=60°.
又∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴r的最大值为4.故1≤r≤4.
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