2.1等式性质与不等式性质 同步练习（含解析）

2.1等式性质与不等式性质(含解析)
一、单选题
1．对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，，则A与B的大小关系是（ ）
A．AB
C．A＝B D．不确定
7．甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．一样低 D．不能确定
8．若，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，且，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是 填序号
12．若，，则m的取值范围为 ．
13．设，则 （填“” “” “”或“”）.
14．已知，，，则m与n的大小关系为 .
四、解答题
15．已知，，，求证：
16．设，证明：.
17．（1）已知，，求和的取值范围；
（2）实数满足，，求的取值范围.
18．（1）比较下列两个代数式的大小：和；
（2）已知，求证：．
19．糖水中含有糖，若再添加糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明.
等式与不等式的性质
1. 单选题
1．对于实数，下列说法正确的是（C ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
解:对于A选项，若或，或显然无意义.故A选项错误；
对于B选项，若，则.故B选项错误；
对于C选项，因为，所以各项同时乘以得.故C正确；
对于D选项，因为，所以，所以，
所以，即.因为根据题意不知道的符号，所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误.
故选：C.
2．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（C）
A． B． C． D．
解:对于A，令，，，故A错误；
对于B，令，，故B错误；
对于C，因为，则，故C正确；
对于D，令，则，故D错误.
故选：C.
3．已知，下列选项中正确的是（B）
A． B． C． D．
解:对A选项，设，则，A错误；
对B选项，若,又,所以,故B正确;
对C选项，，但，C错误;
对D选项，，但，D错误.
故选:B.
4．使“”成立的一个充分不必要条件是（D）
A． B．
C． D．
解:只有当同号时才有，故错，
，故B错，
推不出显然错误，
，而反之不成立，故D满足题意，
故选：D.
5．已知函数，且，则的取值范围为（D）
A． B． C． D．
解:由得，，
又，，，
所以，
故选：D．
6．已知，若，，则A与B的大小关系是（A）
A．AB
C．A＝B D．不确定
解:，
即，
因为，所以，
又因为，
所以，即.
故选：A.
7．甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（B）
A．甲 B．乙 C．一样低 D．不能确定
解:设两次加油时的单价分别为元和元，且，
则甲每次加油升，两次加油中，平均价格为元，
乙每次加油元，两次加油中，平均价格为元，
可得，所以乙的平均价格更低.
故选：B.
8．若，则下列不等式不正确的是（D）
A． B．
C． D．
解:选项A：由，根据不等式的性质可得，则选项A正确.
选项B：由，则.
，，则，所以.
又，故，则选项B正确.
选项C：由选项B正确的判断过程可知选项C正确.
选项D：取，则，故选项D不正确.
故选：D
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（AD）
A．若，且，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
解:对于A，，又，故，A正确；
对于B，不妨设，则，故B错误.
对于C，，
∵，∴，，，
∴，∴，所以C错误.
对于D，，
∵，∴，，∴，
∴，所以D正确.
故选：AD
10．已知，则下列选项正确的是（CD）
A． B．
C． D．
解:对于A，，
当时，；当，；
当，，，；
所以，A选项错误；
对于B， ，当时，，B选项错误；
对于C，当时，；当，；
当，，，；
所以，C选项正确；
对于D，，则，，则，
所以，D选项正确.
故选：CD
三、填空题
11．已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是 ① 填序号
解:①由可知，即， 故“”是“”的充分条件；
②当时， ；
③当，时，满足，有 ；
故②、③不是的充分条件.所以能成为“”的充分条件的只有①，
故答案为：①.
12．若，，则m的取值范围为 ．
解:由，则，
又，，
所以，
综上，.
故答案为：
13．设，则 （填“” “” “”或“”）.
解:因为
，
所以，
故答案为：
14．已知，，，则m与n的大小关系为 .
解:
，
要判断与的大小，
即判断与的大小，
，
所以，即.
故答案为：
四、解答题
15．已知，，，求证：
解:∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴.
16．设，证明：.
解:
，
又，，∴，
而，∴，
故，即.
17．（1）已知，，求和的取值范围；
（2）实数满足，，求的取值范围.
解:（1）依题意，，，
由得.
由得.
18．（1）比较下列两个代数式的大小：和；
（2）已知，求证：．
解：（1）因为，则；
证明：（2）因为，则，，，
则，
因此，当时，.
19．糖水中含有糖，若再添加糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明.
解:因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，
所以提炼出的不等式为：，其中，
下面用作差比较法给出证明：
.
因为，，都是正数，且，
则，.可得，
所以.
试卷第2页，共2页
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