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第二十四章 圆的切线证明专项专练
一、见半径，证垂直
如图，在中，，以为直径作，过点作交于，．
求证：是的切线．
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD．判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
二、连半径，证垂直
如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．求证：PC为⊙O的切线；
如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．
如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．
如图是的直径，是的弦，延长到点C，使．过D点作于E，求证：为的切线.
如图，在中，点是边上一点，以为直径的半圆经过点，点是弦上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点，且．
求证：直线与半圆相切；
三、作垂直，证半径
如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线．
如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，求正方形的边长．
如图，在四边形中，，，以为直径作，
求证：与相切．
如图，在正方形中，E是边上一点，若，以为直径作半圆．
(1)求证：与相切；
(2)若正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积．
第二十四章 圆的切线证明专项专练
一、见半径，证垂直
如图，在中，，以为直径作，过点作交于，．
求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行线及三角形内角和定理可求得，又是的直径，根据切线的定义可得结论
【详解】证明：，
．
，
．
．
．
是的直径，
是的切线．
【点睛】本题考查了圆的切线的证明、平行线及三角形的内角和定理的应用，熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想进行合理转化是解决本题的关键
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD．判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
【答案】
答：AC与⊙O相切，
证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠ODB=∠CDE，∠CDE=∠CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC与⊙O相切；
二、连半径，证垂直
如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．求证：PC为⊙O的切线；
【详解】（1）证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = ∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC = ∠OCB，
∵∠PCA= ∠CBD，
∴∠PCA= ∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ACO+∠OCB= 90°，
∴∠PCA+∠ ACO= 90°，
∴∠PCO = 90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是OO的切线；
如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，由点D是的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线；
（2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论．
【详解】解：（1）连接OD交BC于点F，如图，
∵点是的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE//BC
∴OD⊥DE
∵OD是的半径
∴直线与相切；
（2）∵AC是的直径，且AB=10,
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥BC
∴∠OFC=90°
∴OD//AB
∴
∵
∴
∴
由勾股定理得，
∴．
【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．
如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE＝6
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAD，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2＋CD2＝OD2，
∴OB2＋42＝（OB＋2）2，
∴OB＝3，
∴AB＝6，AD＝8，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线，
∴AE＝CE，
∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，
∴82＋AE2＝（4＋AE）2，
∴AE＝6．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
如图是的直径，是的弦，延长到点C，使．过D点作于E，求证：为的切线.
【答案】见解析
【分析】连接 ，现根据直径所对的圆周角是直角得到，根据三线合一得到，即是的中位线，可以得到，即可得到结论.
【详解】证明: 如图, 连接 .
∵是的直径,
，
，
，
，
，
，
∴,
∴为的切线.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键.
如图，在中，点是边上一点，以为直径的半圆经过点，点是弦上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点，且．
求证：直线与半圆相切；
【详解】（1）解：证明：如图，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
三、作垂直，证半径
如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线．
【答案】见解析．
【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为点C，由条件求出OC，根据切线的判定方法判断即可；
【详解】过点O作OC⊥AB，垂足为点C，
OA＝OB， AB＝24，
∴AC＝AB＝12，
∴在Rt△OAC中，OC＝＝5，
∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径r为5cm，
∴OC＝r ，
∴AB是⊙O的切线．
【点睛】本题考查的是切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握切线的判定方法是解题的关键．
如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，求正方形的边长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）过O作于H， 由正方形，可得， 证明，再证明从而可得结论；
（2）先根据勾股定理求出，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，过O作于H，
正方形，
，
是⊙O的切线，
，
，
为的半径，
为的半径，
与相切；
（2）的半径为，
，
由（1）可知， ，
，
，
四边形是正方形，
，
则在中，
，即，
，
解得：，
故正方形的边长为．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
如图，在四边形中，，，以为直径作，
求证：与相切．
【答案】见解析
【分析】延长交于点，过点作，证、即可求证．
【详解】解：延长交于点，过点作
∵
∴
又
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即圆心到的距离等于圆的半径
∴与相切．
【点睛】本题考查求证某条直线是圆的切线，涉及了全等三角形的判定与性质．熟记相关几何结论进行几何推理是解题关键．
如图，在正方形中，E是边上一点，若，以为直径作半圆．
(1)求证：与相切；
(2)若正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)图中阴影部分的面积为
【分析】（1）如图，连接并延长，交的延长线交于F，作于H，由正方形可知，证明，则，，由，可得，则，，由，，可得，进而结论得证；
（2）设，则，，在中，由勾股定理得，，即，解得：，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长，交的延长线交于F，作于H，
由正方形可知，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴与相切；
（2）解：设，则，，
在中，由勾股定理得，，即，
解得：，
∴，，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，角平分线的性质，勾股定理，切线的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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