辽宁省沈阳市浑南区2023-2024九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年辽宁省沈阳市浑南区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
3．（2分）已知关于x的方程2x2﹣2x+2k＝1有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2分）若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（　　）
A．16倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍
5．（2分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（　　）
A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.440
6．（2分）一个矩形木框在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，若AD＝3CF，那么下列结论中正确的是（　　）
A．FC：FB＝1：3 B．CE：CD＝1：3
C．CE：AB＝1：4 D．AE：AF＝1：2．
8．（2分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
9．（2分）甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）（　　）
A． B．
C． D．
10．（2分）为执行“均衡教育”政策，某县2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长 百分率为x（　　）
A．2500（1+x）2＝1.2
B．2500（1+x）2＝12000
C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝1.2
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的一个根是﹣1，则a﹣b+3的值为 　 　．
12．（3分）如果，那么的值是 　 　．
13．（3分）九个汉字“爱祖国爱人民爱劳动”，分别写在九张相同的卡片上．九张卡片任意打乱后，某人随机抽取一张　 　．
14．（3分）如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，则旗杆AB的高为　 　米．
15．（3分）如图，在x轴上方，平行于x轴的直线与反比例函数y＝的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB．若△AOB的面积为62﹣k1＝　 　．
16．（3分）如图，已知直线与x轴交于点A，若点P在直线x＝﹣1上，点Q在平面直角坐标系内，B，P，Q为顶点的四边形是以AB为对角线的菱形，则Q点坐标为 　 　．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）解方程：2（x﹣1）2＝1﹣x．
18．（8分）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 　 　；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，AE，延长AE，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心画一个△A'B'C'，使它与△ABC位似
（1）请画出△A'B'C'；
（2）请直接写出△A'B'C'各顶点的坐标；
（3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M'的坐标是 　 　．
21．（8分）如图，反比例函数y＝（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）（1，2），B两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标．
五、（本题10分）
22．（10分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，求旗杆的高AB．
六、（本题10分）
23．（10分）某商店销售一种销售成本为每千克30元的水产品，据市场分析，若按每千克40元销售；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克45元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价定为每千克x元（x≥40），月销售量为y千克，求y与x的关系式；
（3）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
七、（本题12分）
24．（12分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，以AE为边，作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针排列）．
（1）如图1，当点E在线段CD上时，若CE＝3
①求点G到AB的距离；
②请直接写出BG的长；
（2）当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上时（不与点D重合），求正方形AEFG的面积．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴负半轴上，OP＝2OA，点C坐标为（2，0），OD＝OA，OD为邻边作矩形OABD．
（1）连接AD，BC，PD
①当AD∥BC时，D点坐标为 　 　；
②当△POD与△BDC相似时，求a的值；
（2）当点D与点C重合时，如图2，点E在线段AB上，在平面内有一动点Q，满足QE＝AB，QB．
①请直接写出|QO﹣QB|的最大值；
②请直接写出QO+QB的最小值．
2023-2024学年辽宁省沈阳市浑南区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画出从上往下看的图形即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x+5＝0，
∴x2﹣8x+4＝2，
∴（x﹣6）2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3．（2分）已知关于x的方程2x2﹣2x+2k＝1有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可据此求出k的取值范围．
【解答】解：方程2x2﹣2x+2k＝1化为8x2﹣2x+3k﹣1＝0，
∵关于x的方程2x2﹣2x+6k＝1有实数根，
∴Δ＝b2﹣7ac≥0，即（﹣2）3﹣4×2×（7k﹣1）≥0，
解得，k≤．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式Δ＝b2﹣4ac的关系：（1）Δ＝b2﹣4ac＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝b2﹣4ac＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＝b2﹣4ac＜0 方程没有实数根．
4．（2分）若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（　　）
A．16倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍
【分析】根据正方形的面积公式：s＝a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答．
【解答】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍．
故选：A．
【点评】此题考查相似图形问题，解答此题主要根据正方形的面积的计算方法和积的变化规律解决问题．
5．（2分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（　　）
A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.440
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：A、当投掷次数是1000时，所以“凸面向上”的频率是0.443，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，“凸面向上”的频率不一定是0.443；
C、随着试验次数的增加，显示出一定的稳定性，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是5000次以上时，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
6．（2分）一个矩形木框在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行投影的性质求解可得．
【解答】解：一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是等边三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了平行投影，熟知由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影是解题的关键．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，若AD＝3CF，那么下列结论中正确的是（　　）
A．FC：FB＝1：3 B．CE：CD＝1：3
C．CE：AB＝1：4 D．AE：AF＝1：2．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，证△ECF∽△ADE，进而判断即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴△ECF∽△EDA，
∵AD＝3CF，
A、FC：FB＝1：2；
B、CE：CD＝1：4；
C、CE：AB＝3：4；
D、AE：AF＝3：3；
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（2分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
【分析】由菱形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A．菱形的四条边相等，
B．菱形的对角线互相垂直，
C．菱形的对角线不一定相等，
D．菱形是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质以及轴对称图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9．（2分）甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为：y＝（x＞0），
所以函数图象大致是B．
故选：B．
【点评】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范围作图．
10．（2分）为执行“均衡教育”政策，某县2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长 百分率为x（　　）
A．2500（1+x）2＝1.2
B．2500（1+x）2＝12000
C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝1.2
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2014年投入教育经费+2014年投入教育经费×（1+增长率）+2014年投入教育经费×（1+增长率）2＝1.2亿元，据此列方程．
【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的一个根是﹣1，则a﹣b+3的值为 　5　．
【分析】把x＝﹣1代入原方程求得a﹣b的值，然后即可求得代数式的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝3的一个根是﹣1，
∴a﹣b﹣2＝5，
∴a﹣b＝2，
∴a﹣b+3＝6+3＝5，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是正确的将方程的解代入确定a﹣b的值，难度不大．
12．（3分）如果，那么的值是 　　．
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【解答】解：∵，
∴a＝2b，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
13．（3分）九个汉字“爱祖国爱人民爱劳动”，分别写在九张相同的卡片上．九张卡片任意打乱后，某人随机抽取一张　　．
【分析】用写有汉字“爱”的卡片张数除以卡片总张数即可．
【解答】解：九张卡片任意打乱后，某人随机抽取一张＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．（3分）如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，则旗杆AB的高为　8　米．
【分析】由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
【解答】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴＝，即＝，
∴AB＝8m；
故答案为：4．
【点评】本题考查的是相似形三角形的应用，关键是利用相似三角形对应边成比例解题．
15．（3分）如图，在x轴上方，平行于x轴的直线与反比例函数y＝的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB．若△AOB的面积为62﹣k1＝　12　．
【分析】根据AB∥x轴，设设A（x，），B（，），得到AB＝﹣x，根据△AOB的面积为6，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴设A（x，），B（，）
∴AB＝﹣x，
∵△AOB的面积为6，
∴（﹣x） ，
∴k2﹣k1＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
16．（3分）如图，已知直线与x轴交于点A，若点P在直线x＝﹣1上，点Q在平面直角坐标系内，B，P，Q为顶点的四边形是以AB为对角线的菱形，则Q点坐标为 　（﹣2，）　．
【分析】先求得A，B点的坐标，然后根据菱形性质可得PA＝PB，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝4，
∴B（3，4），
当y＝0时，x+4＝5，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，2），
设P（﹣1，n），
∵以A，B，P，Q为顶点的四边形是以AB为对角线的菱形，
∴PA＝PB，
即：PA2＝PB4，
∴（﹣1+3）6+n2＝1+（n﹣6）2，
∴n＝，
∴P（﹣8，），
∵xP+xQ＝xA+xB，yP+yQ＝yA+yB
∴xQ＝﹣3﹣（﹣6）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
故答案为：（﹣2，）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握菱形性质．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）解方程：2（x﹣1）2＝1﹣x．
【分析】把等号右边的项移到左边，再分解因式即可解得x的值．
【解答】解：∵2（x﹣1）2＝1﹣x，
∴2（x﹣5）2+x﹣1＝6，
∴（x﹣1）（2x﹣7+1）＝0，
∴x6＝1，x2＝．
【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．
18．（8分）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 　　；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵有同型号的a，b，c三把钥匙，
∴从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有5种、Bb，
∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回试验还是不放回试验；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，AE，延长AE，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
【分析】（1）证明△ADE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD﹣△CEF的面积，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形；
（2）解：∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，
∵CD＝13，CF＝5，
∴DF＝＝＝12，
∵△ADE≌△FCE，
∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝，
平行四边形ABCD的面积＝BC AC＝2×12＝60，
∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心画一个△A'B'C'，使它与△ABC位似
（1）请画出△A'B'C'；
（2）请直接写出△A'B'C'各顶点的坐标；
（3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M'的坐标是 　（）　．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以﹣2，即可得点M'的横纵坐标．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）由图可得，A'（1，B'（2，C'（8．
（3）由题意可得，点M'的坐标为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
21．（8分）如图，反比例函数y＝（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）（1，2），B两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标．
【分析】（1）分别将点A（1，2）反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案；
（2）先求出点B的坐标，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C的坐标表示出AE，BF，OC，最后再根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入，
∴反比例函数的解析式为：，
将点A（1，2）代入y＝mx，
∴正比例函数的解析式为：y＝2x．
（2）解方程组，得：，，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3），
过点A，B分别作y轴的垂线，F，
∵A（1，2），﹣3），n），
∴AE＝BF＝1，OC＝|n|，
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4，
∴，
即：|n|×1+|n×7＝8，
∴|n|＝4，
∴n＝±6，
∴点C的坐标为（0，4）或（8．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答（2）时，过点A，B向y轴作垂线，把△ABC的面积转化为△AOC和△BOC的面积之和，漏解是解答此题的易错点．
五、（本题10分）
22．（10分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，求旗杆的高AB．
【分析】解法一：先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB的长，最后由线段的差可得结论．
解法二：过点C作CM⊥OD于C，证明△EGF∽△MDC可得结论．
【解答】解：解法一：∵AD∥EG，
∴∠ADO＝∠EGF，
∵∠AOD＝∠EFG＝90°，
∴△AOD∽△EFG，
∴＝，即＝，
∴AO＝15，
∵AD∥BC，
∴△BOC∽△AOD，
∴＝，即＝，
∴BO＝12，
∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；
解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，
∵△EGF∽△MDC，
∴＝，即＝，
∴CM＝3，
即AB＝CM＝3（米），
答：旗杆的高AB是4米．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
六、（本题10分）
23．（10分）某商店销售一种销售成本为每千克30元的水产品，据市场分析，若按每千克40元销售；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克45元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价定为每千克x元（x≥40），月销售量为y千克，求y与x的关系式；
（3）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
【分析】（1）根据月销售量为＝500﹣（销售单价﹣40）×10，即可得出结论，再根据月销售利润＝销售每千克的利润×销售数量，代入数据即可得出结论；
（2）根据月销售量＝500﹣10×（销售单价﹣40），即可得出y与x之间的函数关系式；
（3）先由月销售成本不超过10000元，得出月销售量不超过10000÷30＝千克．再根据月销售利润达到8000元列出方程，进而求解即可．
【解答】解：（1）当销售单价定为每千克45元时，月销售量为500﹣（45﹣40）×10＝450（千克），
月销售利润为（45﹣30）×450＝6750（元）．
故答案为：450；6750；
（2）根据题意得：y＝500﹣（x﹣40）×10＝﹣10x+900；
（3）由于月销售成本不超过10000元，
所以月销售量不超过10000÷30＝千克．
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8000，
解得：x1＝50，x7＝70．
当x1＝50时，﹣10×50+900＝400＞；
当x5＝70时，﹣10×70+900＝200＜．
故销售单价定为70元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
七、（本题12分）
24．（12分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，以AE为边，作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针排列）．
（1）如图1，当点E在线段CD上时，若CE＝3
①求点G到AB的距离；
②请直接写出BG的长；
（2）当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上时（不与点D重合），求正方形AEFG的面积．
【分析】（1）①过点G作GH⊥直线AB于H，则∠H＝90°，利用勾股定理可得AE＝＝＝，再证得△AED≌△AGH（AAS），可得：GH＝DE＝1，即点G到AB的距离1；
②利用勾股定理即可求得答案；
（2）分两种情况：当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，可得△DFM是等腰直角三角形，得出DM＝FM，再证得△AED≌△EFM（AAS），利用勾股定理可得：AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20，即正方形AEFG的面积为20；当点G在直线BD上时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，同理可求得答案．
【解答】解：（1）①如图1，过点G作GH⊥直线AB于H，
则∠H＝90°，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，CE＝4，
∴AD＝AB＝CD＝4，DE＝4﹣8＝1，
∴AE＝＝＝，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AG＝AE，∠EAG＝90°，
∴∠EAD+∠DAG＝90°，
∵∠DAH＝180°﹣∠BAD＝90°，
∴∠GAH+∠DAG＝90°，
∴∠EAD＝∠GAH，
在△AED和△AGH中，
，
∴△AED≌△AGH（AAS），
∴AH＝AD＝4，GH＝DE＝5，
∴点G到AB的距离1；
②在Rt△BGH中，BH＝AB+AH＝4+4＝8，∠H＝90°，
∴BG＝＝＝；
（2）当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，
则∠M＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，∠ADE＝90°，
∴∠FDM＝∠BDC＝45°，∠AED+∠EAD＝90°，
∴△DFM是等腰直角三角形，
∴DM＝FM，
∵四边形AEFG是正方形，
∴EF＝AE，∠AEF＝90°，
∴∠AED+∠FEM＝90°，
∴∠EAD＝∠FEM，
在△AED和△EFM中，
，
∴△AED≌△EFM（AAS），
∴DE＝FM，AD＝EM，
∴DE＝DM＝FM，
∵DE+DM＝EM，
∴2DE＝AD＝3，
∴DE＝2，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝44+22＝20，
∴正方形AEFG的面积为20；
当点G在直线BD上时，过点G作GM⊥AD，如图2，
同理可得：△AED≌△GAM（AAS），
∴GM＝AD＝4，AM＝DE，
∵∠ADB＝∠MDG＝45°，∠M＝90°，
∴△DGM是等腰直角三角形，
∴DM＝GM，
∴DM＝AD＝4，
∴AM＝6，
在Rt△AGM中，AG2＝AM2+GM3＝82+82＝80，
∴正方形AEFG的面积为80；
综上所述，正方形AEFG的面积为20或80．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形面积等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴负半轴上，OP＝2OA，点C坐标为（2，0），OD＝OA，OD为邻边作矩形OABD．
（1）连接AD，BC，PD
①当AD∥BC时，D点坐标为 　（，0）　；
②当△POD与△BDC相似时，求a的值；
（2）当点D与点C重合时，如图2，点E在线段AB上，在平面内有一动点Q，满足QE＝AB，QB．
①请直接写出|QO﹣QB|的最大值；
②请直接写出QO+QB的最小值．
【分析】（1）①由四边形OABD是矩形，得AB∥OC，AB＝OD，当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，有AB＝CD，故OD＝CD，点D坐标为（，0）；
②由OA＝a，OP＝2OA，OD＝OA，得BD＝a，OD＝a，＝，要使△POD与△BDC相似，只需＝＝或＝＝，即可得＝或＝，解得a的值为或；
（2）①当点D与点C重合时，连接OB，可得OA＝2，B（2，﹣2），OB＝4，由|QO﹣QB|＜OB，知|QO﹣QB|的最大值为4；
②设OE＝BE＝x，可得22+（2﹣x）2＝x2，解得OE＝BE＝，AE＝，知E（，﹣2），∠AOE＝30°，故Q在以E（，﹣2）为圆心，2为半径的圆上，过Q作MN切⊙E于Q，作O关于MN的对称点K，连接QK，当K，Q，B共线时，KQ+QB＝KB最小，即QO+QB最小，设QB交以E为圆心，OE为半径的⊙E于S，连接OS，EQ交于T，过E作ER⊥QB于R，由∠AOE＝30°，可求得∠OSB＝120°，∠OSQ＝60°，而EQ∥OK，可得QE是∠OQS的角平分线，由角的对称性和圆的对称性可知，QE是OS的垂直平分线，有QS＝QO＝QK，∠OEQ＝∠SEQ，由垂径定理知SR＝BR，∠SER＝∠BER，故∠QER＝∠SEQ+∠SER＝∠OEB＝60°，在Rt△QER中，ER＝EQ＝，QR＝ER＝3，可得QB+QO＝6，即QO+QB的最小值为6．
【解答】解：（1）①∵四边形OABD是矩形，
∴AB∥OC，AB＝OD，
当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴OD＝CD，
∴D是OC中点，
∵点C坐标为（2，4），
∴点D坐标为（，0）；
故答案为：（，0）；
②∵OA＝a，OP＝2OAOA，
∴BD＝a，OD＝a，＝，
∵点C坐标为（2，6），
∴OC＝2，CD＝2﹣a，
∵∠POD＝∠CDB＝90°，
∴要使△POD与△BDC相似，只需＝＝或＝＝，
∴＝或＝，
解得a＝或a＝；
∴a的值为或；
（2）①当点D与点C重合时，连接OB
∵四边形OABD是矩形，OD＝，点C坐标为（2，
∴OA＝2，B（2，
∴OB＝4，
在△BOQ中，|QO﹣QB|＜OB，
∴当Q，O，B共线（不能构成三角形）时，最大为OB的长度
∴|QO﹣QB|的最大值为4；
②设OE＝BE＝x，则AE＝3，
∵OA2+AE2＝OE2，
∴24+（2﹣x）6＝x2，
解得x＝，
∴OE＝BE＝，AE＝；
∴E（，﹣2），
∵QE＝AB，
∴Q在以E（，﹣5）为圆心，2，
过Q作MN切⊙E于Q，作O关于MN的对称点K，当K，Q，KQ+QB＝KB最小，设QB交以E为圆心，连接OS，过E作ER⊥QB于R
∵∠AOE＝30°，
∴∠OEB＝120°，
∴所对的圆周角为60°，
∴∠OSB＝120°，
∴∠OSQ＝60°，
∵O，K关于MN对称，
∴OQ＝KQ，OK⊥MN，
∴∠K＝∠QOK，
∵EQ⊥MN（切线性质），
∴EQ∥OK，
∴∠OQE＝∠QOK，∠SQE＝∠K，
∴∠OQE＝∠SQE，即QE是∠OQS的角平分线，
由角的对称性和圆的对称性可知，QE是OS的垂直平分线，
∴QS＝QO＝QK，∠OEQ＝∠SEQ，
∵ER⊥BS，
∴SR＝BR，∠SER＝∠BER，
∴∠QER＝∠SEQ+∠SER＝∠OEB＝60°，
在Rt△QER中，ER＝，QR＝，
即QS+SR＝8，
∴QK+BR＝3，
∴BK＝6，
∴QB+QO＝4，
即QO+QB的最小值为6．
【点评】本题考查相似三角形综合应用，设计圆的性质及应用，最短路径问题，含特殊角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是作辅助线，找到使QO+QB最小的Q的位置．

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