卷子答案网-一个不只有答案的网站浙江省宁波市鄞州区九年级十二校联考2023-2024学年九年级上学期10月月考
数学试题
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．）
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知的半径是4，点P在内，则的长可能是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
3．已知，，，若的面积是6，则的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
4．若，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，弦，交于点，若弧的度数是，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，BD、CE是两条中线，则S△ADE：S△DEF＝（ ）
A．2：1 B．4：1 C．3：1 D．5：2
9．已知：点，，都在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在纸板中，，P是上一点，沿过点P的直线剪下一个与相似的小三角形纸板．针对的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则有3种不同的剪法；
乙：若，则有4种不同的剪法；
丙：若，则有3种不同的剪法．
A．只有甲错 B．只有乙错 C．只有丙错 D．甲、乙、丙都对
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分．）
11．二次函数的顶点坐标是 ．
12．若，则的值为 ．
13．如图，是的弦，是弧的中点，交于点．若，，则的半径为 ．
14．如图，7个边长为1的正方形拼成一个长方形，连接和交正方形边长于点E，F，则的长是 ．
15．二次函数的图像经过点，则的值等于 ，设该函数的顶点为，则的最大值等于 ．
16．如图，在中，， D为的中点，，E，F分别在上，若，则的周长是 ．（用含m，n的代数式表示）
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知抛物线经过点，．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)自变量在什么范围内时，随的增大而减小？
18．如图，是的直径，C，D在⊙O上，且位于异侧，，的度数分别为，，请仅用直尺按要求作图．
(1)画出一个大小为的角，并写出该角．
(2)画出一个以为腰的等腰三角形，并写出该等腰三角形．
19．已知：如图，中，，，D为边上一点，．
(1)求证： ．
(2)若的周长为11，请求出的长．
20．如图，抛物线与直线相交于点，，点的横坐标为，与轴相交于点．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)求出抛物线与轴的交点坐标．
(3)根据图象，当时，直接写出自变量的取值范围．
21．跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当绳子甩到最高处时，计算绳子与地面的最大距离．
(3)如果小明站在之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方0.6米处，求小明的身高．
22．如图1，的直径，C为直径下方半圆上一点，的平分线交于点D，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，点F是弧上一点，交于点E，求证：
(3)在（2）的条件下，若，求的长.
23．如图，在中，于D，且的直角顶点E在边上运动，一条直角边经过点B，且与交于点N，另一条直角边与交于点M．
(1)求证：；
(2)若E是的中点，求的值．
(3)若，求的值(用含k的代数式表示)．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（其中、、为常数，且）的函数叫二次函数，判断即可．
【详解】解：A．是二次函数，故A选项符合题意；
B．，等式右边不是整式，故不是二次函数，故B选项不符合题意；
C．自变量的最高次数是1，故不是二次函数，故C选项不符合题意；
D．自变量的最高次数是3，故不是二次函数，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．A
【分析】根据点和圆的位置与圆的半径的关系求得的范围即可解答．
【详解】解：∵的半径为4，点在内，
∴，
选项中只有3符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键．
3．C
【分析】根据相似三角形的性质可得相似比，再根据相似三角形的面积比为相似比的平方即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
，
的面积是6，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题的关键．
4．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、由得，，故本选项不符合题意；
B、由得，，故本选项符合题意；
C、由得，，故本选项不符合题意；
D、由得，，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”，即可获得答案．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
得到的抛物线的解析式是．
故选：B．
【点睛】主要考查了二次函数图像的平移，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律．
6．B
【分析】利用旋转的性质及三角形内角和定理解题即可．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，得到，点D在线段的延长线上，
∴,
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形内角和定理，能够熟练运用性质求角度是解题关键．
7．C
【分析】连接、、，由题意得，由圆周角定理可得，，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：连接、、，
弧的度数是，
，
，
是的直径，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
8．C
【分析】题意可得DE为三角形的中位线，利用中位线定理得到DEBC，DE＝BC，可得出△DEF∽△BCF，进而得到面积之比，且得到，进而求出所求．
【详解】解：∵在△ABC中，两条中线BD、CE相交于点F，
∴DE为中位线，，
∴DEBC，DE＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∵CF＝2EF，
∴，
∴，
∴，
∴＝3：1．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中线与中位线，以及三角形面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解本题的关键．
9．D
【分析】分别把各点坐标代入，用m表示，再比较大小即可．
【详解】解：分别把点，，代入，得
，
，
，
∴，
即：，
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的增减性，在函数值表示比较简单的情况下，可以通过将自变量的值代入解析式表示函数值，从而比较函数值的大小．
10．C
【分析】依据相似三角形的对应边成比例，即可得的长的取值范围．
【详解】如图所示，
过P作交于D或交于E，
则或，
此时；
如图所示，
过P作交于F，
则，
此时；
如图所示，
过P作交于G，则，
当点G与点A重合时，，即，
，
此时， ；
当时，有4种不同的剪法；
当时，有3种不同的剪法．甲和乙对，丙错
故选： C .
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
11．
【分析】把二次函数的解析式化为顶点式即可．
【详解】解：，
故顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
12．##0.75
【分析】设，再代入求出即可．
【详解】，
设，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值的应用，能选择适当的方法代入是解此题的关键．
13．5
【分析】连接，由垂径定理得，设圆的半径为，根据勾股定理得到方程，求解即可．
【详解】解：如图，连接，
是弧的中点，，
，，
设圆的半径为，则，
，
解得：，
即的半径为，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键．
14．
【分析】先证明, 得到 求出的长度； 同理求出的长度，即可解决问题.
【详解】解：如图,∵,
，
，
∵
，
同理可求 ，
，
故答案为：.
【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题； 解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、解答.
15．
【分析】把点代入二次函数的解析式，即可求得的值；利用二次函数的顶点公式求得，再求得，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：将点代入二次函数，
可得，
∴；
∵该二次函数的顶点为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，最大值等于．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
16．
【分析】连接，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，先根据等边对等角和三角形的内角和定理求得，结合三角形的外角性质可推得，根据相似三角形的判定和性质可得，，推得，根据相似三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可证明，，根据等腰三角形的定义和等腰三角形三线合一的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可推得，求得，根据相似三角形的判定和性质求出，即可根据三角形的周长公式求解，得出答案．
【详解】解：连接，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如图所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∴，
整理得:，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
同理可得:，
∵，
∴是等腰三角形，
∵D为的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
则的周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．(1)直线
(2)时，随的增大而减小
【分析】（1）根据抛物线的对称性以及抛物线与坐标轴的交点，即可求解；
（2）根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得时，随的增大而减小，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，，开口向上，
则时，随的增大而减小
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．(1)图见解析，
(2)图见解析，等腰
【分析】（1）由的度数为，可知它所对的圆周角度数为，由此即可解题；
（2）由的度数为，是的直径，可得的度数为，进而可得，，延长交与点即可得到，从而可得等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，；
（2）如图：等腰为所求；
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）在 与 中，有 ，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可．
（2）根据相似三角形的性质，得即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
且，
∴；
（2）解：∵△ABC的周长为11，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故的长为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质；熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
20．(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）将，代入抛物线解析式求解即可；
（2）令，解方程即可；
（3）根据二次函数的对称性可得，结合函数图象，写出在轴上方且在直线下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式，
得：，
解得：，，
抛物线解析式为；
（2）解：抛物线解析式为，当，则，
解得：,
与轴交点为，；
（3）解：点与点关于轴对称，，
，
当或时，．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求函数解析式，解题的关键在于数形结合思想的运用．
21．(1)
(2)米
(3)小明的身高是米
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）当时，y有最大值，将x的值带入解析式即可求解．
（3）把代入，求得y的值，再减去0.6米即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，点E的坐标为，点B的坐标为，
∵点E和点B均在抛物线的图像上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的解析式为，
当时，，
绳子与地面的最大距离为米．
（3）解：把代入，
得：，
（米），
小明的身高是米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，理清题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
22．(1)等腰直角三角形，见解析
(2)见解析
(3)0.6
【分析】（1）利用圆周角定理得，再根据是的平分线，得，则，即可得出结论；
（2）利用两个角相等，说明，得即可；
（3）由，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题．
【详解】（1）是等腰直角三角形，
为的直径，
，
是的平分线，
，
，
是等腰直角三角形；
（2），，
，
，
（3）等腰，，
，
，
设，
，
，
在中，
解得：
解得：,
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，得出的相似比是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）利用直角三角形中的同一个角的余角相等，可推得，，故．
（2）作，根据平行线分线段成比例的性质，可得的长，然后再求得．
（3）先证得，可求得，然后求得，再由求得，则，再求得，
最后可求得．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（2）作交AB于H
∵，则
又∵E为的中点，
∴
∴．
∵BD=2，
∴
（3）作交于H，如图．
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴，则
∴
∴
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的判定和性质，解题的关键是善于利用线段比例关系作巧妙的恒等变换．
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