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专题11 机械能守恒定律的理解
题型一 机械能守恒定律的判断 1
题型二 单物体的机械能守恒问题 3
题型三 连接体的机械能守恒问题 5
类型1 链条类机械能守恒问题 6
类型2 轻绳连接的物体系统 7
类型3 轻杆连接的物体系统 8
题型四 含弹簧类机械能守恒问题 10
题型一 机械能守恒定律的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
（2023春 韶关期末）如图是梁同学做引体向上的示意图。若每次完整的引体向上分为身体“上引”（身体由静止开始从最低点升到最高点）和“下放”（身体从最高点回到最低点的初始状态）两个过程，单杠在整个过程中相对地面静止不动，下列说法正确的是（ ）
A．单杠对双手的弹力是由于梁同学的手发生了弹性形变产生的
B．一次完整的引体向上过程中，梁同学的机械能守恒
C．“上引”过程中，单杠对梁同学做负功
D．“下放”过程中，重力对梁同学做正功
（2023春 饶阳县校级期末）如图所示各种情境下，关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）
A．图甲中，火箭匀速升空过程机械能守恒，加速升空过程机械能增加
B．图乙中，物体机械能守恒
C．图丙中，物块机械能守恒
D．图丁中，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
（2023春 沈阳期末）质量为m的小球从某高度的O点由静止下落，落在自由放置的轻弹簧上，弹簧自由放置时最高点为A点，如图所示。已知小球到达B点时小球的重力与弹簧的弹力大小相等，图中C点是小球到达的最低点（不计空气阻力）。下对说法正确的是（ ）
A．从O点到C点，小球的重力势能减小，动能增大，小球的机械能守恒
B．从A点到C点，小球的重力势能一直减小，动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统的机械能不守恒
C．到达B点时，小球的动能最大，弹簧的弹性势能最小
D．从O点到A点，小球的重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统的机械能守恒
题型二 单物体的机械能守恒问题
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
（2023春 陈仓区期末）如图所示，质量相同的可视为质点的甲、乙两小球，甲从竖直固定的光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平，乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是（ ）
A．两小球到达底端时速度相同
B．两小球由静止运动到底端的过程中重力做功不相同
C．两小球到达底端时动能相同
D．两球到达底端时，甲球重力做功的瞬时功率为零，乙球重力做功的瞬时功率也为零
（2023春 汉滨区期末）将物体由地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，以地面为零势能面，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的2倍，则这一位置的高度为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 崂山区校级期末）如图所示，质量为m的小球用长为L的悬线固定于O点，悬线中最大弹力为6mg．把悬线拉直与竖直方向成一定角度并使小球由静止释放，小球在最低点所受弹力为2mg，今在O点正下方O′处钉了一个钉子，若将小球拉至相同位置由静止释放，为使悬线碰到钉子时不能断开，O′与O之间距离可能是（ ）
A．L B．L C．L D．L
（2023春 重庆期末）如图所示，光滑曲线轨道ABCD，其中BC段水平，一质量为m＝0.5kg的小球从轨道上距水平面BC高为h＝0.8m的A点由静止释放，沿轨道滑至D点后飞出，最终落至水平轨道BC上的一点E，（g＝10m/s2）求：
（1）小球滑至C点时的速度；
（2）小球落至E点时的动能。
（2023 西城区三模）如图，半径R＝0.5m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°．将一个质量m＝0.5kg的物体（视为质点）从A点左侧高为h＝0.8m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道．已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.求：
（1）物体水平抛出时的初速度大小v0；
（2）物体经过B点时，对圆弧轨道压力大小FN；
（3）物体在轨道CD上运动的距离x。
（2023春 荔湾区校级期中）某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示．竖直平面内的光滑轨道由斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，将可视为质点的小球，从轨道AB上高H处的某点由静止释放，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示．已知小球经过圆弧最高点D时的速度大小vD与轨道半径R和H的关系满足，且，取g＝10m/s2。
（1）求圆轨道的半径R和小球的质量m。
（2）若小球从D点水平飞出后又落到斜面轨道上，其中最低的位置与圆心O等高，求斜面轨道的倾角θ。
题型三 连接体的机械能守恒问题
1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。
3．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B运动的过程中，A、B的速度并非均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程不相等，则A、B的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
类型1 链条类机械能守恒问题
（2023春 内江期末）如图所示，匀质铁链质量为m，长度为L，现使其放在倾角为30°的光滑斜面上，其余部分竖直下垂。若由静止释放使铁链自由运动，则铁链下滑至整条铁链刚好全部离开斜面时，铁链的速度为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 济南期末）如图所示，有一条长为L＝1.5m的均匀金属链条，有L在光滑的足够高的斜面上，另L竖直下垂在空中，在外力作用下静止不动。斜面顶端P是一个很小的光滑圆弧，斜面倾角为37°。忽略空气阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6。当撤去外力后链条滑动，则链条刚好全部越过P时的速率为（ ）
A．3m/s B．m/s C．1m/s D．m/s
（2023春 长安区校级期中）一条长为l、质量为m的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，用手拉住链条的左端使整个链条保持静止。
（1）若用手缓慢向左拉动链条，当把整个链条都拉到桌面上时需要做多少功？
（2）若撤去F，当整个链条全部脱离桌面时的速度多大？
类型2 轻绳连接的物体系统
（2023春 广州期末）如图所示，小物块A套在水平杆上，一轻绳跨过固定的小滑轮O分别连接小物块A和小球B。系统开始时静止在图示位置，此时轻绳与水平杆间夹角为α＝30°。已知小物块A与小球B的质量之比为2：1，杆上P点位于滑轮O正上方，且OP＝d，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。则系统由静止释放至小物块A运动到P点的过程中（ ）
A．小物块A和小球B的速度大小始终相等
B．任一时刻轻绳对小物块A和小球B做功的功率大小均相等
C．小球B的机械能守恒
D．运动到P点时，小物块A的速度大小为
（2023春 长沙期末）如图，B物体置于水平桌面上，A物体通过轻绳和轻质定滑轮与B物体相连。开始时，A，B两物体均静止，A物体距地面高H，轻绳恰好伸直。已知B物体的质量是A物体质量的二分之一，重力加速度为g，不计一切摩擦。物体A从静止开始下落至刚要落地时，物体A的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 兴庆区校级期末）如图所示为一固定在地面上的楔形木块，质量分别为m和M两个物体，其中M质量是m的两倍，用轻质细绳相连跨过固定在斜面顶端的定滑轮，已知斜面的倾角为α＝30°，用手托住物体M，使之距地面高为h时，物体m恰停在斜面的底端，细绳恰好绷直，并且与斜面的斜边平行，如果突然释放物体M，不计一切摩擦。试求：
（1）物体M着地时的速度大小；
（2）从释放到M落地，绳对物体M做的功；
（3）设斜面足够长，物体m能沿斜面滑行的最大距离是多少？
类型3 轻杆连接的物体系统
（2023 湖北模拟）如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，O端为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦地转动，杆的中心点及另一端各固定一个小球A和B。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中正确的是（ ）
A．B球下落过程中机械能守恒
B．杆的弹力对A球做正功，对B球做负功
C．杆的弹力对A球做负功，对B球做正功
D．杆的弹力对A球和B球做功之和不为零
（2023 苏州三模）如图所示，滑块a穿在固定的光滑竖直杆上，滑块b放在光滑水平地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。将a从距地面一定高度处由静止释放，在a着地前的运动过程中，下列说法正确的是 （ ）
A．滑块a的机械能先减小后增大
B．滑块a的动能先增大后减小
C．轻杆对a的作用力先增大后减小
D．滑块a的加速度先减小后增大
（2022秋 松山区校级月考）质量不计的直角形支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B，支架的两直角边长度分别为L和，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，取此时OA所在水平面为零势能面，现将小球A由静止释放，求：
（1）小球A到达最低点时的速度大小vA；
（2）小球A到达最低点的过程中，杆对小球A所做的功WA。
题型四 含弹簧类机械能守恒问题
1．物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能．
2．发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．
3．弹性势能是弹力装置和受弹力作用的物体组成的系统所共有的．
4．弹力做功引起弹性势能的变化．弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加．
（2023春 永春县校级期末）如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端与一个质量为m的滑块接触，弹簧处于原长。现用水平力F缓慢地将滑块向左压至某位置静止，此过程中外力F做功为W1，滑块克服摩擦力做功为W2，撤去F后滑块向右运动，和弹簧分离后继续向右运动一段距离，滑块所受摩擦力大小恒定，则（ ）
A．此过程中，弹簧最大弹性势能为W1﹣W2
B．撤去F后，滑块和弹簧组成的系统机械能守恒
C．在刚与弹簧分离时，滑块的动能为W1
D．在刚与弹簧分离时，滑块的动能最大
（2023春 城西区校级期中）如图所示为一个竖直放置的弹簧振子物体沿竖直方向在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，A点位置恰好为弹簧的原长．物体由C点运动到D点（C、D两点未在图上标出）的过程中，弹簧的弹性势能增加了3.0J，重力势能减少了2.0J．对于这段过程有如下说法：
①物体的动能增加1.0J
②C点的位置可能在平衡位置以上
③D点的位置可能在平衡位置以上
④物体经过D点时的运动方向可能指向平衡位置
以上说法正确的是（ ）
A．②和④ B．②和③ C．①和③ D．只有④
（2023 吉州区校级一模）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，在此过程中，求：
（1）斜面的倾角α；
（2）弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F0；
（3）A沿斜面下滑的速度最大值vm。
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专题11 机械能守恒定律的理解
题型一 机械能守恒定律的判断 1
题型二 单物体的机械能守恒问题 3
题型三 连接体的机械能守恒问题 8
类型1 链条类机械能守恒问题 9
类型2 轻绳连接的物体系统 12
类型3 轻杆连接的物体系统 14
题型四 含弹簧类机械能守恒问题 16
题型一 机械能守恒定律的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
（2023春 韶关期末）如图是梁同学做引体向上的示意图。若每次完整的引体向上分为身体“上引”（身体由静止开始从最低点升到最高点）和“下放”（身体从最高点回到最低点的初始状态）两个过程，单杠在整个过程中相对地面静止不动，下列说法正确的是（ ）
A．单杠对双手的弹力是由于梁同学的手发生了弹性形变产生的
B．一次完整的引体向上过程中，梁同学的机械能守恒
C．“上引”过程中，单杠对梁同学做负功
D．“下放”过程中，重力对梁同学做正功
【解答】解：A、单杠对双手的弹力是由于单杠发生了弹性形变产生的，故A错误；
B、一次完整的引体向上过程中，梁同学林消耗自身的能量，转化为机械能，所以其机械能不守恒，故B错误；
C、“上引”过程中，单杠对梁同学的作用力向上，但该力作用下手没有发生位移，所以单杠对梁同学不做功，故C错误；
D、“下放”过程中，重力方向与位移方向相同，则重力对梁同学做正功，故D正确。
故选：D。
（2023春 饶阳县校级期末）如图所示各种情境下，关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）
A．图甲中，火箭匀速升空过程机械能守恒，加速升空过程机械能增加
B．图乙中，物体机械能守恒
C．图丙中，物块机械能守恒
D．图丁中，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
【解答】解：A、甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；
B、物体匀速运动上升，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；
C、由于斜面粗糙，摩擦生热，所以机械能不守恒，故C错误；
D、轻弹簧将A、B两小车弹开，对弹簧的弹力对两小车做功，则两车组成的系统机械能不守恒，但对两小车和弹簧组成的系统机械能守恒。故D正确。
故选：D。
（2023春 沈阳期末）质量为m的小球从某高度的O点由静止下落，落在自由放置的轻弹簧上，弹簧自由放置时最高点为A点，如图所示。已知小球到达B点时小球的重力与弹簧的弹力大小相等，图中C点是小球到达的最低点（不计空气阻力）。下对说法正确的是（ ）
A．从O点到C点，小球的重力势能减小，动能增大，小球的机械能守恒
B．从A点到C点，小球的重力势能一直减小，动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统的机械能不守恒
C．到达B点时，小球的动能最大，弹簧的弹性势能最小
D．从O点到A点，小球的重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统的机械能守恒
【解答】解：ABD、从O点到A点，重力做正功，小球的重力势能一直减小，动能增大，因只有重力做功，则小球和地球组成的系统的机械能守恒；
从A点到C点，重力做正功，小球的重力势能一直减小。从A点到B点，重力大于弹簧的弹力，小球的合力向下，加速度向下，小球做加速运动，动能增大。从B点到C点，重力小于弹簧的弹力，小球的合力向上，加速度向上，小球做减速运动，动能减小，在B点时，弹力等于重力，速度最大，则小球的动能先增大后减小。由于弹簧弹力对小球做负功，则小球的机械能不守恒，但是小球、地球、弹簧组成的系统的机械能守恒，故AB错误，D正确；
C、到达B点时，小球的动能最大，弹簧有形变量，则弹性势能不是最小，故C错误；
故选：D。
题型二 单物体的机械能守恒问题
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
（2023春 陈仓区期末）如图所示，质量相同的可视为质点的甲、乙两小球，甲从竖直固定的光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平，乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是（ ）
A．两小球到达底端时速度相同
B．两小球由静止运动到底端的过程中重力做功不相同
C．两小球到达底端时动能相同
D．两球到达底端时，甲球重力做功的瞬时功率为零，乙球重力做功的瞬时功率也为零
【解答】解：AC、由静止滑下到底端过程，根据动能定理有
解得
可见，两物块到达底端时动能相等，物块的速度大小相等，但是速度方向不同，故A错误，C正确；
B、两物块运动到底端的过程中，下落的高度相同，重力做功均为WG＝mgR，重力做功相同，故B错误；
D、两物块到达底端的速度大小相等，甲重力与速度方向垂直，瞬时功率为零，而乙球重力做功的瞬时功率不为零，故D错误。
故选：C。
（2023春 汉滨区期末）将物体由地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，以地面为零势能面，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的2倍，则这一位置的高度为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以地面为零势能面，物体总的机械能为mgH。
设高度为h时，动能是重力势能的2倍，即Ek＝2mgh
由机械能守恒定律可得：mgh+Ek＝mgH
联立解得：，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023春 崂山区校级期末）如图所示，质量为m的小球用长为L的悬线固定于O点，悬线中最大弹力为6mg．把悬线拉直与竖直方向成一定角度并使小球由静止释放，小球在最低点所受弹力为2mg，今在O点正下方O′处钉了一个钉子，若将小球拉至相同位置由静止释放，为使悬线碰到钉子时不能断开，O′与O之间距离可能是（ ）
A．L B．L C．L D．L
【解答】解：小球在最低点所受弹力为2mg，根据牛顿第二定律有2mg﹣mg＝m
在O点正下方O′处钉了一个钉子，悬线碰到钉子瞬间机械能不变，速度不变，若此时拉力最大，根据牛顿第二定律有
6mg﹣mg＝m
解得L'
则O′与O之间距离最大为L''＝L﹣L'＝LL
故ABC错误，D正确；
故选：D。
（2023春 重庆期末）如图所示，光滑曲线轨道ABCD，其中BC段水平，一质量为m＝0.5kg的小球从轨道上距水平面BC高为h＝0.8m的A点由静止释放，沿轨道滑至D点后飞出，最终落至水平轨道BC上的一点E，（g＝10m/s2）求：
（1）小球滑至C点时的速度；
（2）小球落至E点时的动能。
【解答】解：（1）对AC过程分析，根据机械能守恒定律有：
mghmvC2
解得：vc＝4m/s
（2）对AE过程分析，由机械能守恒定律有：
mgh＝Ek
解得E点的动能为：
Ek＝4J
答：（1）小球滑至C点时的速度为4m/s；
（2）小球落至E点时的动能为4J。
（2023 西城区三模）如图，半径R＝0.5m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°．将一个质量m＝0.5kg的物体（视为质点）从A点左侧高为h＝0.8m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道．已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.求：
（1）物体水平抛出时的初速度大小v0；
（2）物体经过B点时，对圆弧轨道压力大小FN；
（3）物体在轨道CD上运动的距离x。
【解答】解：（1）由平抛运动规律知
竖直分速度 m/s
由图可得初速度 v0＝vytan37°＝3m/s
（2）对从P至B点的过程，由机械能守恒有
经过B点时，由向心力公式有
代入数据解得 FN′＝34N
由牛顿第三定律知，对轨道的压力大小为 FN＝FN′＝34N，方向竖直向下
（3）因μmgcos37°＞mgsin37°，物体沿轨道CD向上做匀减速运动，速度减为零后不会下滑．
从B到上滑至最高点的过程，由动能定理有
代入数据可解得 m
在轨道CD上运动通过的路程x约为1.09m
答：
（1）物体水平抛出时的初速度大小是3m/s；
（2）物体经过B点时，对圆弧轨道压力大小是34N；
（3）物体在轨道CD上运动的距离是1.09m．
（2023春 荔湾区校级期中）某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示．竖直平面内的光滑轨道由斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，将可视为质点的小球，从轨道AB上高H处的某点由静止释放，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示．已知小球经过圆弧最高点D时的速度大小vD与轨道半径R和H的关系满足，且，取g＝10m/s2。
（1）求圆轨道的半径R和小球的质量m。
（2）若小球从D点水平飞出后又落到斜面轨道上，其中最低的位置与圆心O等高，求斜面轨道的倾角θ。
【解答】解：（1）由题意，小球在D点的速度大小满足，且
在D点，对小球，由牛顿第二定律得
又由牛顿第三定律有F′＝F，联立解得：
根据图像得：，
联立解得：m＝0.1kg，R＝0.2m
（2）小球落在斜面上最低的位置时，在D点的速度最小，根据题意，小球恰能到达D点时，在D点的速度最小，设最小速度为v。
则有：，解得
由平抛运动规律得，s＝vt，解得
由几何关系可得：s sinθ＝R
解得：θ＝45°
答：（1）圆轨道的半径R为0.2m，小球的质量m为0.1kg。
（2）斜面轨道的倾角θ为45°。
题型三 连接体的机械能守恒问题
1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。
3．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B运动的过程中，A、B的速度并非均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程不相等，则A、B的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
类型1 链条类机械能守恒问题
（2023春 内江期末）如图所示，匀质铁链质量为m，长度为L，现使其放在倾角为30°的光滑斜面上，其余部分竖直下垂。若由静止释放使铁链自由运动，则铁链下滑至整条铁链刚好全部离开斜面时，铁链的速度为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：把铁链分成两个部分，下一半铁链重心下落的高度为
上一半铁链重心下落的高度为
对整条铁链从刚释放到刚好全部离开斜面的过程中，由机械能守恒定律知铁链重力势能的减少等于动能的增加，则
解得：，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023春 济南期末）如图所示，有一条长为L＝1.5m的均匀金属链条，有L在光滑的足够高的斜面上，另L竖直下垂在空中，在外力作用下静止不动。斜面顶端P是一个很小的光滑圆弧，斜面倾角为37°。忽略空气阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6。当撤去外力后链条滑动，则链条刚好全部越过P时的速率为（ ）
A．3m/s B．m/s C．1m/s D．m/s
【解答】解：设链条的质量为m，则链条在斜面上的部分沿斜面向下的分力为，斜面左侧链条部分的重力为，所以链条沿着斜面下滑，
以P点所在平面为零势能面，链条初始状态的机械能
链条全部下滑出后，链条的机械能
链条下滑过程，只有重力做功，所以链条初末状态机械能守恒，则有E＝E′
代入数据可得：，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023春 长安区校级期中）一条长为l、质量为m的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，用手拉住链条的左端使整个链条保持静止。
（1）若用手缓慢向左拉动链条，当把整个链条都拉到桌面上时需要做多少功？
（2）若撤去F，当整个链条全部脱离桌面时的速度多大？
【解答】解：（1）根据功能关系可知，把整个链条都拉到桌面上时需要做功为
WFmg lmgl
（2）若撤去F，当整个链条全部脱离桌面时，设速度大小为v。链条重力势能的减少等效于水平面上长l
的链条下降l重力势能的减少，重心下降高度为l，所以根据机械能守恒定律可得
mg l
解得：
答：（1）当把整个链条都拉到桌面上时需要做功为；
（2）若撤去F，当整个链条全部脱离桌面时的速度为。
类型2 轻绳连接的物体系统
（2023春 广州期末）如图所示，小物块A套在水平杆上，一轻绳跨过固定的小滑轮O分别连接小物块A和小球B。系统开始时静止在图示位置，此时轻绳与水平杆间夹角为α＝30°。已知小物块A与小球B的质量之比为2：1，杆上P点位于滑轮O正上方，且OP＝d，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。则系统由静止释放至小物块A运动到P点的过程中（ ）
A．小物块A和小球B的速度大小始终相等
B．任一时刻轻绳对小物块A和小球B做功的功率大小均相等
C．小球B的机械能守恒
D．运动到P点时，小物块A的速度大小为
【解答】解：A、对系统由机械能守恒得：mgd，由此可以得出在P点时小物块A的速度。再对小球B进行分析可以得知小物块B的速度0，所以小物块A与小物块B的速度不同，故A错误。
B、对小物块A、B进行受力分析，可以得知小物块A、B都受到轻绳的变力，因为轻绳上的拉力处处相等并且小物块沿轻绳方向的速度相等，所以由功率的公式可以得知轻绳对小物块A、B的功率大小均相等。故B正确。
C、因为轻绳对小物块B有力的影响，小物块B受到外力，所以小物块B机械能不守恒。故C错误。
D、由机械能守恒定律得，mgd，所以小物块A在P点时的速度为v，故D错误。
故选：B。
（2023春 长沙期末）如图，B物体置于水平桌面上，A物体通过轻绳和轻质定滑轮与B物体相连。开始时，A，B两物体均静止，A物体距地面高H，轻绳恰好伸直。已知B物体的质量是A物体质量的二分之一，重力加速度为g，不计一切摩擦。物体A从静止开始下落至刚要落地时，物体A的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：令A、B两物体质量分别为2m、m，落地时，物体A的速度大小为v。
对A、B构成的系统，由机械能守恒定律有
解得：，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023春 兴庆区校级期末）如图所示为一固定在地面上的楔形木块，质量分别为m和M两个物体，其中M质量是m的两倍，用轻质细绳相连跨过固定在斜面顶端的定滑轮，已知斜面的倾角为α＝30°，用手托住物体M，使之距地面高为h时，物体m恰停在斜面的底端，细绳恰好绷直，并且与斜面的斜边平行，如果突然释放物体M，不计一切摩擦。试求：
（1）物体M着地时的速度大小；
（2）从释放到M落地，绳对物体M做的功；
（3）设斜面足够长，物体m能沿斜面滑行的最大距离是多少？
【解答】解：（1）设M落地时的速度为v，系统的动能定理得：
解得：
（2）设从释放到M落地，绳对物体M做的功W，由动能定理得：
解得：W＝﹣mgh
负号表示做负功
（3）M落地后，m以v为初速度沿斜面匀减速上升，设沿斜面又上升的距离为s，动能定理得：
物体m能沿斜面滑行的最大距离
L＝h+s
解得：L＝2h
答：（1）物体M着地时的速度大小为；
（2）从释放到M落地，绳对物体M做的功为﹣mgh，负号表示做负功；
（3）设斜面足够长，物体m能沿斜面滑行的最大距离是2h。
类型3 轻杆连接的物体系统
（2023 湖北模拟）如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，O端为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦地转动，杆的中心点及另一端各固定一个小球A和B。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中正确的是（ ）
A．B球下落过程中机械能守恒
B．杆的弹力对A球做正功，对B球做负功
C．杆的弹力对A球做负功，对B球做正功
D．杆的弹力对A球和B球做功之和不为零
【解答】解：BCD．两球同轴转动，角速度相等，由线速度的计算公式v＝ωr知B球的速度总是等于A球速度的2倍，由于杆在转动过程中无摩擦，故系统机械能守恒，设杆长为2l，A球运动到竖直方向时的速度为v，则有
mgl+mg×2l
解得：
A球获得的动能小于减少的重力势能mgl，其机械能减少，故杆对A球做负功，同理可分析出杆对B球做正功，且杆的弹力对A球和B球做功之和为零，故C正确，BD错误；
A．B球下落过程中受杆的弹力和重力作用，根据机械能的定义可知，此过程中机械能不守恒，故A错误。
故选：C。
（2023 苏州三模）如图所示，滑块a穿在固定的光滑竖直杆上，滑块b放在光滑水平地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。将a从距地面一定高度处由静止释放，在a着地前的运动过程中，下列说法正确的是 （ ）
A．滑块a的机械能先减小后增大
B．滑块a的动能先增大后减小
C．轻杆对a的作用力先增大后减小
D．滑块a的加速度先减小后增大
【解答】解：A、开始b的速度为零，当a到达底端时，b的速度也为零，所以在整个过程中，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小。对a和b组成的系统，只有重力做功，所以整体的机械能守恒，则a的机械能先减小、后增大，故A正确；
B、a下滑过程中，重力大于杆的弹力在竖直方向的分力，则a的合外力方向向下，则滑块a的动能一直增大，故B错误；
C、在整个过程中，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，杆对b先做正功、后做负功，则杆先压缩、后拉伸，所以杆的弹力先减小后增大，轻杆对a的作用力减小先后增大，故C错误；
D、初位置时杆的弹力在竖直方向的分力向上，a的加速度小于g，当杆的弹力为零时加速度等于g，此过程中加速度逐渐增大，随后杆的弹力在竖直方向的分力向下，加速度大于g，a下落到最低点时，a的加速度等于g，所以a的加速度先增大后减小，故D错误。
故选：A。
（2022秋 松山区校级月考）质量不计的直角形支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B，支架的两直角边长度分别为L和，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，取此时OA所在水平面为零势能面，现将小球A由静止释放，求：
（1）小球A到达最低点时的速度大小vA；
（2）小球A到达最低点的过程中，杆对小球A所做的功WA。
【解答】解：（1）小球A从静止至到达最低点的过程中，根据系统机械能守恒可得：
2mgL﹣3mg 2mvA2 3mvB2
两小球为同轴转动，角速度相同，由v＝ωr可知，两球的线速度之比为vA：vB＝L：2：1
联立解得：vA
（2）小球A到达最低点的过程中，对A，由动能定理得：2mgL+WF 2mvA2
代入数据解得：WF
答：（1）小球A到达最低点时的速度大小vA为；
（2）小球A到达最低点的过程中，杆对小球A所做的功WA为。
题型四 含弹簧类机械能守恒问题
1．物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能．
2．发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．
3．弹性势能是弹力装置和受弹力作用的物体组成的系统所共有的．
4．弹力做功引起弹性势能的变化．弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加．
（2023春 永春县校级期末）如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端与一个质量为m的滑块接触，弹簧处于原长。现用水平力F缓慢地将滑块向左压至某位置静止，此过程中外力F做功为W1，滑块克服摩擦力做功为W2，撤去F后滑块向右运动，和弹簧分离后继续向右运动一段距离，滑块所受摩擦力大小恒定，则（ ）
A．此过程中，弹簧最大弹性势能为W1﹣W2
B．撤去F后，滑块和弹簧组成的系统机械能守恒
C．在刚与弹簧分离时，滑块的动能为W1
D．在刚与弹簧分离时，滑块的动能最大
【解答】解：A、由题意可知，因为弹簧的弹性势能随弹簧的压缩和伸张距离有关，所以当滑块在外力的条件下静止时，弹簧的弹性势能最大，所以由动能定理可得，弹簧弹性势能最大为Ep＝W1﹣W2。
B、在撤去外力F过后，还有摩擦力，而物块与弹簧系统在有外力的作用下机械能不守恒。
C、由动能定理可得，Ek﹣0＝W1﹣2W2，所以在刚与弹簧分离时，滑块的动能为W1﹣2W2。
D、当滑块与弹簧分离的瞬间，弹簧的力为0，而摩擦力不为0，则当滑块与弹簧分离的瞬间摩擦力对滑块做负功，所以在滑块与弹簧分离的瞬间之前滑块就有了最大动能。
故选：A。
（2023春 城西区校级期中）如图所示为一个竖直放置的弹簧振子物体沿竖直方向在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，A点位置恰好为弹簧的原长．物体由C点运动到D点（C、D两点未在图上标出）的过程中，弹簧的弹性势能增加了3.0J，重力势能减少了2.0J．对于这段过程有如下说法：
①物体的动能增加1.0J
②C点的位置可能在平衡位置以上
③D点的位置可能在平衡位置以上
④物体经过D点时的运动方向可能指向平衡位置
以上说法正确的是（ ）
A．②和④ B．②和③ C．①和③ D．只有④
【解答】解：①、由于系统机械能守恒，由弹簧的弹性势能增加了3.0J，重力势能减少了2.0J，则可知动能减少1.0J，故①错误
②、由于到D点的时候动能已经减少了，故D之前到达了平衡位置，C也在D之前，故C有可能在平衡位置以上，故②正确
③、由②的分析知，D不可能在平衡位置以上，故③错误
④、由于只知道D位置是在平衡位置以下，但是可能是速度减小到零，返回来又经过D位置，故物体经过D点时的运动方向可能指向平衡位置，故④正确，故A正确；
故选：A。
（2023 吉州区校级一模）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，在此过程中，求：
（1）斜面的倾角α；
（2）弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F0；
（3）A沿斜面下滑的速度最大值vm。
【解答】解：（1）A速度最大时，加速度为零，对A有：4mgsinα＝F，
此时B的加速度也为零，C恰好离开地面，对B、C整体受力分析知：F＝2mg，
解得sina，即a＝30°。
（2）设当弹簧恢复原长时，A沿斜面向下运动的加速度大小为a，
对A有：4mgsina﹣F0＝4ma，
对B有：F0﹣mg＝ma，
解得：F0。
（3）一开始弹簧处于压缩状态，有：mg＝k Δx1，
压缩量：，
C恰好离开地面时，弹簧处于伸长状态，有mg＝k Δx2，
伸长量Δx2，
因而初末状态弹簧的弹性势能相等，对整个系统从释放A球至C恰好离开地面的过程，根据机械能守恒定律有：
4mgsina （Δx1+Δx2）﹣mg （Δx1+Δx2）（4m+m）
解得vm2g。
答：（1）斜面的倾角α为30°；
（2）弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F0为；
（3）A沿斜面下滑的速度最大值vm为2g。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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