卷子答案网-一个不只有答案的网站东竞高级中学有限公司2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
第Ⅰ卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女姓11人，则该校高三年级共有男生（ ）人
A．220 B．225 C．580 D．585
3．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一，划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标，如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）
A．这10天日均值的80%分位数为60
B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差
D．这10天的日均值的中位数为41
4．下列叙述正确的是（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值
B．若随机事件A发生的概率为，则
C．若事件A与事件B互斥，则
D．若事件A与事件B对立，则
5．已知向量，，则与的夹角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
6．若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，，用，，表示，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，方差为1.6
C．中位数为3，众数为2 D．平均数为3，中位数为2
二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求）
9．已知数据的平均数为a，方差为b，中位数为c，极差为d．由这组数据得到新数据，其中，则（ ）
A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是4b
C．新数据的中位数是2c 0．新数据的极差是2d
10．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（ ）
A．至多有1个白球；都是红球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰好有1个白球；都是红球
D．至多有1个白球；全是白球
11．下面四个结论正确的是（ ），
A．空间向量，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．任意向量满足
12．在正四面体ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．异面直线MN与BD所成的角为
第Ⅱ卷
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点和点，则______．
14．疫情防控期间，学校从2名男教师和3名女教师中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人都是女教师的概率为______．
15．若向量在空间的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是______．
16．设动点P在棱长为1的正方体的对角线上，且异于点A，.记．当为锐角时，的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．
（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；．
（2）求盒中放置的玩偶的編号与所在盒的编号均不相同的概率．
18．如图，在平行六面体中，，，设向量，，．
（1）用表示向量，；
（2）求．
19．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图。
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
20．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
（1）证明：；（2）求，；
21．多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.现高二某同学正在进行第一次月考，做到多项选择题的11题和12题.该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项，第12题正确答案是三个选项
（1）求该同学11题得5分的概率；
（2）求该同学两个题总共得分不小于7分的概率．
22．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段CD，的中点．
（1）求证：
（2）求三棱锥的体积
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数学
参考答案
1．C【分析】根据中点坐标公式运算求解．
【详解】由题意可知：线段AB的中点坐标为．
2．C【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解．
【详解】依题意，设高三男生人数为n人，则高三女生人数为人，
由分层抽样可得，解得．
3．B【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】对于A，将10天中的PM2.5日均值按从小到大排列为30，32，34；40，41，45，48，60，78，80，根据80%分位数的定义可得，这10天中PM2.5日均值的80%分位数是，故选项A错误；
对于B，前5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，故选项B正确；
对于C，由折线图和方差的定义可知，前5天的日均值波动性小，所以前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差，故选项C错误：
对于D，这10天中PM2.5日均值的中位数为，故选项D错误．
4．D【分析】选项A．事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并非越来越接近；
选项B，；
选项C．事件A与事件B互斥，；
选项D，对立事件的概率和为1．
【详解】选项A，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，
即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并不一定越来越接近这个确定数值，故A不正确；
选项B，样本空间Q的子集称为随机事件，
必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，即，故B不正确；
选项C．若事件A与事件B互斥，则它们不可能同时发生，即B发生则A一定不发生，
所以，则，
则有，不一定与相等，故C不正确：
选项D．若事件A与事件B对立，则为必然事件，且事件A与事件B互斥，则，故D正确．
5．C【分析】根据题意和空间向量数量积和模的坐标表示，
求出，结合计算即可求解．
【详解】由题意知，，，，
所以，
又，所以．
6．C【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可．
【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合；
对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合；
对于D项，易知，则D项中向量共面，不符合；
对于C项，易知，，不共面，即C正确．
7．A【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用，，表示出即可．
【详解】由图知：
．
8．A【分析】A选项，有平均数与方差间关系，可判断选项正误：BCD选项，通过举反例可判断选项正误．
【详解】A选项，若5次结果中有6，因平均数为2．
则方差，因，
则当平均数为2，方差为2.4时一定不会出现点数6，故A正确；
B选项，取5个点数为3，3，3，5，6；则此时满足中位数为3，平均数为4，
则方差，故B错误；
C选项，取5个点数为2，2，3，5，6，满足中位数为3，众数为2，故C错误；
D选项，取5个点数为1，1，2，5，6，满足中位数为2，平均数为3，故D错误．
9．ABD【分析】根据平均数、方差、中位数和极差的定义即可判断答案．
【详解】的平均数为a，
所以，A正确；
方差为b，即，
所以
，B正确；
中位数为c，则的中位数为，C错；
极差为d，则的极差为，D对．
10．AB【分析】根据互斥事件的概念判断即可．
【详解】解：对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，
“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件，故A正确；
对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，
所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件．故B正确；
对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，
所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件．故C错误；
对于D：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“全是白球”包含都是白球，
所以“至多有1个白球”与“全是白球”是互斥事件．故D错误．
11．ABC【详解】对于A：若，则，故A正确；
对于B：若对空间中任意一点O，有，
由于，则P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C：假设不是空间的一个基底，则共面，
设，
因为，所以有，
整理可得，
因为是空间的一个基底，
所以有，显然该方程组不成立，故假设错误．
所以，也是空间的一个基底，故C正确；
对于D：由于是一个数值，也是一个数值，
则由可得和共线，与己知的任意性不符，故D错误．
12．BC【详解】由题意，如图正四面体ABCD，
，A错误，B正确．
在正四面体ABCD中，设AB的中点为F，连接DF，CF，
则，，而，DF，平面DFC，
故平面DFC，平面DFC，故，故，
又为正三角形，M为AD的中点，故，
则
，
则，且，
所以，C正确．
取CD的中点为E，连接ME，NE，则，，
且，，
则即为异面直线MN与BD所成的角或其补角，
由证明方法同理可证，所以，
所以是以为直角的等腰直角三角形，
所以，D错误．
13．【详解】，．故答案为：
14．【详解】记男老师为1，2，女老师为3，4，5，任选两人，基本事件有：
12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10个，
其中2个都是女老师的事件有：34，35，45，共3个．
所以选中的2人都是女教师的概率为,故答案为：
15．【详解】因为在基底下的坐标是，所以，
设在基底下的坐标为，
则，
因此，所以，，，
即，，，
即向量在基底下的坐标为，故答案为：
16．【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，
由可得，
，
由图可知，，不共线，
所以当为锐角时，
即，
解得或，又，
所以，所以的取值范围是．
17．【详解】（1）共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶的情况为；；
；；；．
（2）设所求事件为A，则A包含有，两个基本事件，并且每个基本事件等可能，
故．
18．【详解】（1），；
（2）由（1）知，
由已知可得．
所以．
19．【详解】（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，
，解得．
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，由，
得，故第75百分位数为84．
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，故；
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为
．
20．【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则,，，，，，，
因为，，
所以，
所以，
故：
（2）因为，所以
因为，且，
所以；
（3）因为H是的中点，所以
又因为，所以，
，即．
21．【详解】（1）根据题意，11题得5分需满足选两个选项且选对，
选两个选项共有6种情况AB，AC，AD，BC，BD，CD．
所以．
（2）总得分不低于7分共3种情况，它们分别是：第11题得5分且第12题得2分；
第11题得2分且第12题得5分；第11题得5分且第12题得5分，
记事件：11，题得2分，满足选了一个选项且选对；
事件：11题得5分满足选了两个选项且选对；
事件：12题得2分，满足选了一个选项且选对或选了两个选项且选对：
事件：12题得5分，满足选了三个选项且选对．
则；；
；；
．
22．【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
所以，，显然，易知两者不共线，
所以有；
（2）由（1）可得：，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以有，
因此点到平面的距离为，
在等腰三角形中，，，
所以等腰三角形的面积为，
所以三棱锥的体积为．
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