试卷答案
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湖北省部分高中联考2022-2023高二上学期期中考试数学试卷(含解析)

湖北省部分高中联考2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1、若方程表示一条直线,则实数满足( )
A. B. C. D.且
2、已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且,若M,A,B,C四点共面,则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3、设a、b、c分别是的对边长,则直线与的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交
4、已知向量是空间的一个基底,向量是空间的另一个基底,一向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
5、已知圆和两点,.若圆C上存在点P,使得,则m的最小值和最大值分别为( )
A.4,7 B.4,6 C.5,7 D.5,6
6、在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,它的高为4,,,,均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4,对应的圆心角为,则图中异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7、已知圆,圆.若过点的直线l与圆、都有公共点,则直线斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,已知平面的方程为,直线l是两平面与的交线,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、若直线与直线垂直,则实数a的值可能为( )
A. B.1 C. D.3
10、已知圆与圆交于不同的两点,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11、如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是,下列说法中正确的是( )
A. B.
C.向量与的夹角是 D.与AC所成角的余弦值为
12、在平面直角坐标系xOy中,,,点P满足.设点P的轨迹为C,则下列结论正确的是( )
A. C的方程为
B.当A,B,P三点不共线时,射线PO是的平分线
C.在C上存在K使得
D.在x轴上存在异于A,B的两个定点D,E,使得
三、填空题
13、试写出一个点C的坐标:______,使之与点,三点共线.
14、已知,则直线必过定点______.
15、过点可作圆的两条切线,则实数的取值范围______.
16、如图,在棱长为2的正方体中,E为BC的中点,点P在线段上,点P到直线的距离的最小值为______.
四、解答题
17、已知圆C经过坐标原点O和点,且圆心在x轴上
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线与圆C相交于A,B两点,求所得弦长的值.
18、已知空间三点、、,设,.
(1)若向量与互相垂直,求实数k的值;
(2)若向量与共线,求实数的值.
19、已知直线,直线过点,______.在①直线的斜率是直线的斜率的2倍,②直线不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个,补充在上面的横线中,并解答下列问题.
(1)求的方程;
(2)若与在x轴上的截距相等,求在y轴上的截距.
20、在如图所示的五面体ABCDFE中,面ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD,,且,N为BE的中点,M为CD中点,
(1)求证:平面ABCD;
(2)求二面角的余弦值的绝对值;
(3)求点A到平面MNF的距离.
21、如图,在长方体中,,,.
(1)求与面所成角的正弦值;
(2)如M在上,Q在上,当,时,求MQ的长度.
22、已知圆C经过,两点,圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若圆C与y轴相交于A,B两点(在上方).直线与圆C交于M,N两点,直线AM,BN相交于点T.请问点T是否在定直线上?若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.
参考答案
1、答案:B
解析:当时,或;当时,或.
要使方程表示一条直线,则,不能同时为0,
所以,故选:B.
2、答案:D
解析:若M,A,B,C四点共面,则,则.故选:D
3、答案:C
解析:由正弦定理可知,,
所以直线与重合.故选:C.
4、答案:A
解析:设在基底下的坐标为,
则,
所以,解得,故在基底下的坐标为.故选:A
5、答案:B
解析:如图

点P的轨迹是以AB为直径的圆O,
又点P在圆C上,故点P是圆O与圆C的交点,
因此可得两圆的位置关系是相切或相交,即,
解得:, 的最小值为4,最大值为6.故选:B.
6、答案:A
解析:如图
设上底面圆心为,下底面圆心为O,连接,OC,OB,
以O为原点,分别以OC,OB,所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则,,,,则,
又异面直线所成角的范围为
故异面直线与所成角的余弦值为.故选:A
7、答案:D
解析:如图
由题意可知,过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置,即直线介于图形中的两直线之间,设直线l的方程为,与相切时有,解得或,由图知舍去,与相切时有,解得或,由图知舍去,
所以直线斜率的取值范围是.
故选:D
8、答案:C
解析:平面的方程为,
平面的法向量可取
平面的法向量为,平面的法向量为,
设两平面的交线l的方向向量为,
由,令,则,,所以,
则直线l与平面所成角的大小为,.故选:C.
9、答案:BC
解析:由题意得,即.解得或.故选:BC.
10、答案:ABD
解析:圆的方程为,两圆的方程相减,可得直线AB的方程为,即得,分别把,两点的坐标代入,可得,,两式相减可得,即,所以选项A、B均正确;由圆的性质可得,线段AB与线段互相平分,所以,,所以选项C不正确,选项D正确.故选:ABD
11、答案:AB
解析:以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是,
可设棱长为1,则
而,所以A正确.
,所以B正确.
向量,显然为等边三角形,则,
所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确.
又,
则,,
,,所以D不正确.
故选:AB
12、答案:ABD
解析:设点,则由可得,
化简可得,故A正确;
当A,B,P三点不共线时,因为,,,
所以,所以,射线PO是的平分线,故B正确;
设存在,则,即,
因为,所以,
所以,所以,
又因为,所以,又因为不满足,
所以不存在K满足条件,故C错误;
假设x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得,
可设,,可得,
由P的轨迹方程为,可得,,
解得,或,(舍去),即存在,,故D正确.
故选:ABD.
13、答案:(答案不唯一)
解析:根据题意可得,设,则设,即
故,,不妨令,则,故.
故答案为:
14、答案:
解析:因为,所以,
又直线,所以直线必过;
故答案为:
15、答案:
解析:因为过点可作圆的两条切线,所以点在圆外,
,
,
故答案为:
16、答案:
解析:在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,
因点P在线段上,则,,
,向量在向量上投影长为,
而,
则点P到直线的距离,
当且仅当时取“=”,所以点P到直线的距离的最小值为.
故答案为:
17、答案:(1)见解析
(2)见解析
解析:(1)由题意可得,圆心为,半径为2.则圆的方程为;
(2)由(1)可知:圆C半径为,设圆心到l的距离为,则,由垂径定理得:.
18、答案:(1)或2
(2)
解析:(1)由已知可得,,
所以,,,
由题意可知,
即,
解得或2.
(2),,
由题意,设,所以,,解得或.因此,.
19、答案:(1)
(2)6
解析:(1)选择①.
由题意可设直线的方程为,因为直线的斜率是直线的斜率的2倍,所以,所以直线的方程为,即.
选择②.
由题意可设直线的方程为,因为直线过点,所以,解得.
所以直线的方程为,即.
(2)由(1)可知直线的方程为,令,可得,
所以直线在x轴上的截距为,所以直线在x轴上的截距为.
故直线过点,代入,得.
所以直线的方程为.因此直线在y轴上的截距为6.
20、答案:(1)见解析
(2)
(3)
解析:(1)因为平面ABCD,AB,平面ABCD,所以,,因为,所以AE,AB,AD两两垂直,所以以A为原点,AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,因为平面ABCD是边长为2的正方形,,且,N为BE的中点,
所以,,,,,,,所以,因为平面ABCD的法向量可以为,所以,即,又平面ABCD,所以平面ABCD;
(2)因为,,设平面MNF的法向量为,则,令,则,所以,因为平面ABCD,,所以平面ABCD,因为平面ABCD,所以,因为,,,平面MFD,所以平面MFD,所以平面MFD的法向量可以为,
设二面角为,则,所以二面角的余弦值为;
(3)由(2)知平面MNF的法向量为,又,设点A到平面MNF的距离为d,则,所以点A到平面MNF的距离;
21、答案:(1)
(2)
解析:在长方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,
(1)以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,
,,,,,
,,,
设面法向量,,,
令,则,,

(2)设,,,,

,即,
,,

, ,
22、答案:(1)
(2)见解析
解析:(1)依题意可设圆心,则半径,
解,,故,即圆的标准方程为.
(2)设,,由(1)可知,,,
联立方程组,消去x并化简得,
容易判断直线所过定点在圆内,即直线与圆一定有两个交点,
所以,,
直线AM的方程为①,直线BN的方程为②,
由①②可得:,
由,化简得,故点T在定直线上.

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