卷子答案网-一个不只有答案的网站宜宾市2024届高三上学期11月一诊模拟考试（2）
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．复数的共轭复数为
A． B．
C． D．
3．下列函数中，既是偶函数，又是周期函数的是
A． B．
C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B．8
C．32 D．
5．若，则
A． B．3 C． D．
6．设函数．若为偶函数，则在处的切线方程为
A． B． C． D．
7．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是
A. B．
C． D．
8．如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则点O到平面的距离为
A． B． C． D．
9．济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为
A． B． C． D．
10．已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为
A． B． C．12π D．60π
11．已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知函数（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知点在幂函数的图象上，则的表达式是 ．
14．写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数 .
①最小正周期为2；②；③无零点.
15．若，则的值为
16．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。
17．（12分）已知是第二象限内的角，
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）已知函数，求的值．
18．（12分）已知函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上不单调，则t的取值范围．
19．（12分）从①；② 条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答
在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， .
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若外接圆的圆心为O，，求BC的长.
注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD， ，E是棱PB的中点，F是棱PC上的点，且A、D、E、F四点共面．
(1)求证：F为PC的中点；
(2)若△PAD为等边三角形，二面角 的大小为
，求直线BD与平面ADFE所成角的正弦值．
21．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
（Ⅰ）求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）令的最小值为.若正实数，，满足，求证：.宜宾市2024届高三上学期11月一诊模拟考试（2）
数学（理工类）参考答案
1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．C 7．C 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B
13． 14．（答案不唯一） 15． 16．.
17．（1）因为α是第二象限内的角，即
又，所以可得
所以；即.
（2）易知
，
所以
；即.
18．（1）由题意知，由得x＝1或x＝3，
时，；时，或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
（2）由（1）函数f(x)的极值点为x＝1,3.
因为函数f(x)在区间[t，t＋1]上不单调，所以或
解得或，即t的取值范围为
19．（1）解：选择条件①：
因为，由正弦定理，可得，
即，所以.
因为，所以.
选择条件②：
因为
所以，即.
因为所以所以，.
（2）由题意，O是外接圆的圆心，所以，
所以故此.
在中，由正弦定理，，即，解得.
20．（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC 平面PBC，
∴AD∥平面PBC．
由题意A、D、E、F四点共面，平面ADFE平面PBC=EF，
∴AD∥EF，而AD∥BC，∴EF∥BC，
∵E是棱PB的中点，∴F为PC中点．
（2）如图，以BC为x轴，连接BC中点O和AD中点G,以OG为y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线作为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为AB=CD，BC=2AD，
设AD=a，则BC=2a， ，
所以，
，
因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD，由题意知 ,
所以∠PGO为二面角 的平面角，又二面角的大小为 ，
所以 ，
因为PG⊥AD，GO⊥AD，平面PGO ，
所以AD⊥平面PGO，过P作PH垂直于y轴于点H，
因为PH 平面PGO，所以AD⊥PH，
又PH⊥GH，平面ABCD， ，
所以PH垂直于平面ABCD，且 ,
，
，∴，
因为E，F分别为PB，PC的中点，
所以，
设平面ADFE的法向量为，则，
所以，取z=1，，设BD与平面ADFE所成角为θ，
则，即直线BD与平面ADFE所成角的正弦值为．
21．（1）当时，，所以，易知单调递增，且，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．
（2）设，由题意对任意恒成立．，若，则，则存在，使得当时，，所以在上单调递减，故当时，，不符合题意．若，由知当时，，所以，当时， ，因此在上单调递增．又，所以当时，．综上，的取值范围是．
22．（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．
（2）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．
23．（1）
由得：或或
解得：或或
综上所述：不等式的解集是.
（2）证明：由（1）中函数的单调性可得
∴
；当且仅当时等号成立.
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