2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学（含答案）

! !
（接 17 题） 19．（本小题满分 12 分）
2023 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学
改革联盟学校期中联考
高一数学（答题卡）
! 姓名
!
!
! 学校
! 贴 条 形 码 区 域
!
! 考号
!
填涂样例 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级和考号填写清楚，并
粘贴条形码。
正确填涂!
错误填涂# $ % 注 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水
! 18．（本小题满分 12 分）
意 的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔作解答题：字体工整、
事 笔迹清楚。
项 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区
域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
选择题 （1—8为单选题，9—12 为多选题）
! 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D
! 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D
! 3 A B C D 7 A B C D 11 A B C D
! 4 A B C D 8 A B C D 12 A B C D
!
填空题（每小题 5 分，共 20 分）：请将答案填在答题卡对应题号的位置上，
答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13． 14．
15． 16．
解答题
17．（本小题满分 10 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效！
! !
! !
20．（本小题满分 12 分） 21．（本小题满分 12 分） 22．（本小题满分 12 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效！
! !
2023 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 1 + 3 =
又 1、3是关于 的二次方程 2 + + = 0的两根，则{ ，所以 = 2 ， = 3 ，
1 × 3 =
高一数学参考答案
则3 = 2 ， 错；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3
不等式 2 + | | > 0即为 2 2 + | | + 3 > 0，即2 2 | | 3 > 0，解得| | < 1 或| | > ，
A D B C D C A B AD ABD BC AC 2
3 3
7． 【详解】函数 ( ) = | | + 2的定义域为{ | ≠ 0}，且 ( ) = | | + = ( )， ∴ ∈ ( ∞, ) ∪ ( , +∞)， 正确． ( )2 2 2
故选：ABD．
所以该函数为偶函数，下面只讨论 ∈ (0, +∞)时的情况： ( ) = + 2 , > 0，
2 ( 1) + 2, ≥ 1
11．【详解】函数 ( ) = { 是定义在 上的增函数的充要条件是：
当 = 0时， ( ) = | |，图象为 C； (3 + 1) 5, < 1
1
3 ≤ 1
当 > 0时， ( ) = + = + + ≥ 3√ ，图象为 B； 2 1
2 2 2 2 4 { 3 + 1 > 0 ，解得 ∈ ( , 2]. 3
3 4 ≤ 4
若 < 0时，函数 ( ) = + 2 , > 0单调递增，图象为 D； 1 1
又[0,2)与( , 2)都是( , 2]的真子集，
3 3
所以函数的图象可能为 BCD.
故选： 1A. 故“ : 0 ≤ < 2”、“ : < < 2”是 : “函数 ( )是定义在 上的增函数”的充分不必要条件.
3
2
8． 【解析】因原方程有两个相等的正根，所以 > 0， 1 > 0且 = + 1， > 0. 故选：BC.
4
3 +2 1 1 1 5 12．【详解】对于 A，若 = {1,2,3}，则 的子集之一就是{1}，所以{1} ∈ ( )，故 A 正确；
∴ = 2 + = 2 + 2 = 2 + 1 ≤ 2 + = 2 + = + + + +1 + +1 1 2 2
4 4 2√ +14 对于 B，若 ( ) = ，则 [ ( )] = 2 ，故 B 错误；
当且仅当 = = 2时取等号 对于 C，若 ∩ = ，则 A，B的公共子集只有空集 ，故 ( ) ∩ ( ) = { }，故 C 正确；
故选 B. 对于 D，若 ( ) ( ) = 3，不妨设 ( ) = ，则 ( ) = 3，
9． 【解析】集合 是函数 = √ + 4的定义域[ 4, +∞).集合 B 是函数 = 2 4的值域[ 4, +∞)， ∴ [ ( )] = 2 ， [ ( )] = 2 3，显然 [ ( )] = 8 × [ ( )]，故 D 错误．
故 正确； 故选：AC．
集合 、 是数集，集合 是点集，故 、 错误； 13．{0,7,8}.
= 2 4
{ 有两组解,故 ∩ 有两个点,故 正确 1D . 14．(0, ) = 2 1 2
10．【详解】因为不等式 2 + + > 0的解集为{ | 1 < < 3}，所以 ( ) = 2 + + = 11 1 2 1
【解答】令 = ( ≠ 0)，则 = ，所以 ( ) = 2 = ， +1 2+2
( + 1)( 3)， < 0，函数 = 2 + + 有最大值， 正确；且 1 < √5 < 3，函数值 (√5) > 2
0， 正确； 1 所以 ( )的解析式为 ( ) = 2 ，其中 ≠ 0． +2
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2 1 1 1 所以
2 2 1 + = 0在[0, +∞)上有两个不等的实根，
当 ≠ 0时， + 2 > 2，0 < 2 < ，所以 ( )值域为(0, ) +2 2 2
令 ( ) = 2 2 1 + ，
15．3
> 0 4 4( 1 + ) > 0则{ ，即{ ，
【解析】解：函数 ( )，如图所示， (0) ≥ 0 1 + ≥ 0
解得1 ≤ < 2，
故实数 k的取值范围是1 ≤ < 2
17．解：（1）设2 + = ( + ) + = + ( + )，其中 , ∈ ，
= 2 = 2
则{ ，解得{ ，
+ = 1 = 1
即2 + = 2( + ) ， ………………2 分
∵ 2 < + < 3， 2 < < 1，
∴ 5 < 2 + < 8，
∵不等式[ ( )]2 ( ) < 0恰有1个整数解，
所以2 + 的取值范围为(5,8) ……………………5 分
当 > 0时，则0 < f(x) < ，结合图像观察，唯一的整数解是 1，依题意得 (1) < ≤ ( 1)
（2）设 + 2 = ，2 + = ，则 > 0， > 0， + = 3 + 3 = 12.
∴ 1 < ≤ 3，
1 1 1 1 1 1 1
+ = + = ( + ) ( + )
当 < 0时，则 < f(x) < 0，此时 不会是最大的； +2 2 + 12
所以实数 的最大值是 3 1 1 1
= (2 + + ) ≥ (2 + 2√ × ) = ，
12 12 3
1
16．（1） ( ) = 2 = √ ； ……2 分 （2）1 ≤ < 2. ……3 分 当且仅当 = ，即 = = 2时，等号成立，（等号成立条件没写建议扣 2 分）
1 1 1 1
【详解】（1）因为幂函数 ( ) = ( 2 + 1) 2在(0, +∞)上是单调增函数， 所以 + 的最小值为 . ……………………10 分 +2 2 + 3
2 + 1 = 1
所以{ 1 ，解得 = 1，
> 0 +
2 18．解：（1）糖水变甜了得出不等式 < ，( > > 0, > 0). ……………………2 分
+
1
所以函数 ( )的解析式为 ( ) = = ． 设△ 的三边长分别为 , , ，则有 + > , + > , + > ， 2 √
+ + +
（2）因为函数 ( ) = 2√ + 1 在 ∈ [ 1, +∞)上单调递增， 由上述不等式可得： < ， < ， < ， + + + + + + + + +
( ) =
若存在保值区间[ , ] ( ≥ 1)，则{ ，即 ( ) = ， + + +
( ) = 将以上不等式左右两边分别相加得： + + < + + = 2， + + + + + + + + +
也就是方程2√ + 1 = 在[ 1, +∞)上有两个不等的实根，
所以， + + < 2. ……………………6 分
令 + + + √ + 1 = ≥ 0，得 = 2 1，
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+ 2
（ 22）对于小东而言，他买到的糖的平均价格为 1 2（元/千克）， ……………………8 分 ∵ 0 < < 1，故 ( ) < 0，即 ( 2) < ( 2 1)
1 1

对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为 元，则他买到的糖的总质量为 + 千克， 故 ( )在(0, +∞)上为增函数 ……………………6 分
1 2
(2)由 (2 × 2) = (2) + (2) = 4得： (2) = 2
2 2
故小华买到的糖的平均价格为 1 2 = （元/千克）， ……………………10 分
+ + 1
1 21 2 ( ) + 1 > (2 + 3) 2 ( ) + (2) > (2 + 3) (2
2) > (2 + 3)，
2
1+ 2 2 1 2 ( 1 )
2
= 2 >0，即小东买到的糖的平均价格较高. ……………………12 分 2
2 1+ 2 2( 1+ )
2 > 2 + 3
2
所以{ > 0 ， ……………………9 分
2 + 3 > 0
19．解：(1) ∵ ( ) 图像关于 = 2对称，∴ = 2 ……………………1 分
1+√7解得 > ，
( ) ( 1)( 3) 2
∴ ( ) = 2 4 + 3 ， 2 = < 0 1 ( 1)( +1)
1+ 7
所以不等式的解集为： √{ | > } ………………12 分（红色部分为更正）
1 ≠ 0 2
∴ { ，解得 1 < < 3 ( ，且 ≠ 1 + 1)( 3) < 0
所以，原不等式的解集为 { | 1 < < 3，且 ≠ 1} ；……………………6 分 21．解：设 x人制作床，则100 人制作床头柜，0 < < 100．
(2)因为 ( ) = 2 2 + 3 是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为 = ， 1013×3 2026×1
由已知条件得，完成床时间为 ( ) = ，完成床头柜时间为 ( ) = ，
①若 ≤ 1 ，则 ( ) 在 [ 1,2] 上是增函数， 100
∴ ( ) = ( 1) = 4 + 2 = 2 ，解得 = 1 ， ( ), ( ) ≥ ( ),min ∴1013 套床完成时间为 ( ) = {
( ), ( ) > ( ),
∴ ( )max = (2) = 7 4 = 11 ；
1013×3 2026×1
②若 ≥ 2 ，则 ( ) 在 [ 1,2] 上是减函数， 由 ≥ ，得 ≤ 60， 100
5
∴ ( )min = (2) = 7 4 = 2
3039
，解得 = (舍)； , ∈ (0,60],
4
∴ ( ) = { 2026 且 ∈ +，……………………8 分
③若 1 < < 2 ，则 ( ) 在 [ 1, ] 上是减函数，在 ( , 2]
( )
上是增函数； , ∈ 60,100 ,100
∴ ( )min = ( ) = 3
2 = 2 ，解得 = 1 或 = 1 (舍) 3039 1013
当 ∈ (0,60]， ( ) = 单调递减，最小值为 (60) = ，
20
∴ ( ) = ( 1) = 4 + 2 = 6 ；
2026 2026 1013
综上，当 = 1 时， ( ) 的最大值为11；当 = 1 时， ( ) 最大值为6 ．………………12 分 当 ∈ (60,100)， ( ) = 在(60,100)单调递增， =
100 100 60 20
1013 1013
最小值为 (60) = ，即 ( ) = ，
20．解：(1) ( )在(0, +∞)上为增函数 ……………………1 分 20 min 20

( ) + ( 2) = ( ) 所以安排 60 人制作床，40 人制作床头柜工期最短．……………………12 分 设 1 > 2 > 0，则 1 2 1

即 ( 2) ( 1) = (
2)， 22．解：（1）由题意，设函数 ( ) = ( + ) （ ∈ ），
1
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则函数 ( ) = ( + )3 6( + )2 + 14( + ) 10 ，
14
整理得： ( ) = 3 + 3( 2) 2 + 3 ( 2 4 + ) + 3 6 2 + 14 10 ，
3
又由 ( )是奇函数，得 ( ) = ( )，
3( 2) = 0,
即{ 3 6 2 + 14 10 = 0,
= 2
解得{ ，
= 2
故函数 ( )的对称中心为(2,2). ……………………5 分
（2）函数 ( )是 上的增函数 . ……………………6 分
理由是：由（1）得：函数 ( ) = ( + 2) 2 = 3 + 2 是 上的增函数，
结合函数图像平移可知，函数 ( )是 上的增函数 （理由不作要求）
由 (3 + + 2) + ( + 2) > 4，
得 ( 2 + + 3) 2 > ( + 2) + 2，
即 ( 2 + + 3) 2 > [ ( + 2) 2] ( 2 + + 1) > ( )，
又 ( ) = ( )，
则 ( 2 + + 1) > ( )，
∵ ( )是 上的增函数
∴ 2 + + 1 > ，
∴ ∈ ， 2 + ( + 1) + 1 > 0恒成立，
∴ Δ = ( + 1)2 4 < 0
∴ 3 < m < 1 ……………………12 分
2023年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 8页）第 7页 2023年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 8页）第 8 页2023 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 7． 函数 ( ) = | | + 2（ ∈ ）的图象不可能是（ ）
高一数学试卷
考试时间：2023年 11月 15日上午 08 00 A． B． C． D．： －10：00 试卷满分：150分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 8． 关于 的方程 2 + 1 = 0 3 +2 有两个相等的正根，则 （ ）
+
题目要求的）
1 11 5 11 5． 命题 “ 0 ∈ , 使得 02 + 0 4 = 0 ”的否定为（ ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值5 2 5 2
A． ∈ , 2 + 4 ≠ 0 B． ∈ , 2 + 4 = 0
C． , 2 + 4 = 0 D． , 2 + 4 ≠ 0 二、多选题（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
2． 已知集合 = 1,3, 2 , = {1,2 + 3}，若 ∪ = ，则 的值是（ ） 题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）
A．0 B．3 C． 1，3 D．3，0 9．设集合 = = + 4 ， = ∣ = 2 4 ， = , ∣ = 2 4 ， = { , ∣ = 2 1}.
3． 下列命题为真命题的是（ ） 则下列关系中正确的是（ ）
2 2 A． = B． = C． ∩ ≠ D． ∩ ≠ A．若 > > 0. 则 > B．若 > > > 0. 则 <
10．已知关于 的不等式 2 + + > 0 的解集为 1 < < 3 ，则（ ）
C．若 > ， > ，则 > D．若 , 均为实数，则 2 + 2 + 1 ≥ 2( + ) A．函数 = 2 + + 有最大值
4． 若 > 0， > 0 ，且 = 4 + + 5 ，则 的取值范围是（ ） B．5 + 5 + > 0
A．(0,25] B．[1, + ∞) C．[25, + ∞) D．[5, + ∞) C．6 = 5
3 3
5． 已知函数 = 3 + 1, ∈ {1,2,3} 2 ．那么函数 = 的定义域是（ ） D． 2 + > 0 的解集为( ∞, ) ∪ ( , + ∞)
1 2 2
2 1 + 2, ≥ 1
A 1． , 3 B．[ 1 , 1 ∪ 1, 3 ] C． 2,4,6 D 1． , 3 11．已知条件 :“函数 = 是定义在 上的增函数”，下列哪些是 的充
2 2 2 2 2 2 3 + 1 5, < 1
6． 已知 是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， = 2 2 8，则不等式3 < 0的解 分不必要条件（ ）
集为（ ） A． : 0 ≤ < 3 B． : 0 ≤ < 2 C 1． : < < 2 D． : 1 < ≤ 2
3 3
A． ∞, 4 ∪ 4, + ∞ B． 4,0 ∪ 4, + ∞
12．如果我们把集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集，记为 ( )．用 ( )表示有限集 A
C． 4,0 ∪ 0,4 D． ∞, 4 ∪ 0,4
的元素个数．下列命题中正确的是（ ）
A．若 = 1,2,3 ，则 1 ∈ ( )； B．存在集合 A，使得 [ ( )] = 15；
C．若 ∩ = ，则 ( ) ∩ ( ) = ； D．若 ( ) ( ) = 3，则 [ ( )] = 4 × [ ( )]．
2023 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4页）第 1页 2023 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4 页）第 2页
三、填空题（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 19．已知函数 ( ) = 2 2 + 3， ∈ ．
13．已知全集 = { ∣ 是小于 9 的自然数}， = 1,2,3 ， = {3,4,5,6}，则 ∪ = ． 1
( )
（ ）若函数 图像关于 = 2 对称，求不等式 2 < 0的解集； 1
14 ( ) 1 =
2
．已知函数 满足 2 ，则函数 ( )值域为 ． （2）若当 ∈ [ 1,2]时函数 ( )的最小值为 2，求当 ∈ [ 1,2]时，函数 ( )的最大值． 2 +1
15．已知函数 = | |(2 )，若关于 的不等式[ ( )]2 ( ) < 0 恰有 1个整数解，则实数
的最大值是 ．
20．设函数 的定义域是 0, + ∞ ，且对任意的正实数 、 都有 = + 恒成立，当
16．设函数的定义域为 ，如果存在区间[ , ] ∈ ，使得 ( )在[ , ]上值域为[ , ]且单调，则称 [ , ] 0 < < 1 时， < 0．
1
( ) （1）判断并证明函数 在 0, + ∞ 上的单调性；为函数 的保值区间．已知幂函数 = 2 + 1 2在(0, + ∞)上是单调增函数. ．．．．．
1
（1）函数 的解析式 = ； （2）若 4 = 4，求不等式 + 1 > 2 + 3 的解集．2
（2）若函数 = 2 ( + 1) 存在保值区间，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．为迎接购物节，某家具厂在直播平台主推一款网红床（每套床包括 1张床和 2个床头柜）．根据
17．（1）已知 2 < + < 3， 2 < < 1，求 2 + 的取值范围； 大数据预测，家具厂应先制作 1013套网红床以应对本次抢购．为了尽快完成订单，该厂将 100
1 1 名技术工人分成两组，一组只制作床，另一组只制作床头柜．已知每张床和每个床头柜制作的
（2）若 > 0, > 0，且 + = 4，求 + 的最小值．
+2 2 + 工作量分别为 3人 1天和 1人 1天．若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？
22．函数 = 的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = 为奇函数，可以
将其推广为：函数 = 的图像关于点 , 成中心对称图形的充要条件是函数 = +
3 2
18．（1）已知 克糖水中含有 克糖 > >0 ，再添加 克糖 >0（假设全部溶解），糖水变甜了．请 为奇函数．给定函数 = 6 + 14 10， ∈ ．
将这一事实表示为一个不等式，不必证明．利用此结论证明：若 , , 为三角形的三边长， （1）根据上述材料求函数 的对称中心；
（2）判断 的单调性（无需证明）， ∈ ， 3 + +
2 + + 2 > 4 恒成立，求 的取值
则 + + < 2．
+ + + 范围．
（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克 1元，红糖每千克 2元（ 1 ≠ 2）．小东买了相同质量
的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖．请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结
论．（物品的平均价格=物品的总价钱÷物品的总质量）
2023 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4页）第 3页 2023 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4 页）第 4页

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