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2023年江西省 南城一中 南康中学 高安中学 高三联合考试
彭泽一中 泰和中学 樟树中学
数学试卷（理科）
注意事项：
1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.
2本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.
3答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。
一. 选择题 :本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数满足，（ ）
A. B. C. D.
3.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径是一寸，筒长是八尺时注：一尺等于十寸，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔”如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为( )
A. B. C. D.
4.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知抛物线的焦点为，点是抛物线C上一点，以点为圆心的圆与直线交于两点．若，则抛物线C的方程是（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆C：上的点均满足则r的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7.一袋中有大小相同的3个白球和4个红球，现从中任意取出3个球，记事件A：“3个球中至少有一个白球”，事件B：“3个球中至少有一个红球”，事件C：“3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（ ）
A．事件A与事件B不为互斥事件 B．事件A与事件C不是相互独立事件
C． D．
△ABC中，已知△ABC的面积为，设D是边的中点，且△ABC的面积为，则
等于( )
A．2 B．4 C．-4 D．-2
9.将边长为4的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得
一次最大值，记的最小正周期为T,则当取最大值时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
11.已知双曲线，若直线：与双曲线交于不同的两点，且与构成的三角形中有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，，的定义域均为，为的导函数若为偶函数，且，则以下命题错误的是( )
关于直线对称
二. 填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上.
13.展开式中常数项为___________（用数字作答）.
14定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于_____.
15.已知某圆锥的侧面积等于底面面积的4倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为___________.
已知函数的导函数满足：，且，当时，
恒成立，则实数的取值范围是________________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
(1)必考题：共60分.
17.已知数列满足，且满足，
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求当时，正整数n的最小值.
18.基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．年有名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，且笔试成绩高于分的学生进入面试环节．
从报考该试点高校的学生中随机抽取人，求这人中至少有一人进入面试的概率；
现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、设这名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若，则，，，．
19.如图，在几何体中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．
证明：平面；
若，设为棱上的点，且满足,求当几何体的体积取最大值时与所成角的余弦值．
20.设椭圆E的方程为（a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为．
（1）求椭圆的方程：
（2）若动直线l与椭圆E交于P，Q两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由
21.已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．
（1）已知函数，，求实数取值的集合
（2）已知函数有两个不同极值点、．
求实数的取值范围
证明：．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的方程为，圆以为圆心且与圆外切.以坐
标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程.
（2）若射线与圆交于点,与圆交于点且,求直线的斜率.
选修 4-5：不等式选讲
已知正数满足.
（1）求证：
（2）若正数满足，求证：分宜中学 玉山一中 临川一中
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数学试卷（理科）
答案
一、选择题：(每小题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D B C A D A C C B C
二、填空题：(每小题5分，共20分)
13. 14. 6 15. 16.
三、解答题：
17．（1）∵，，∴.
∵，∴.∴，解得，
所以，∴.
（2）由（1）知，
所以，
∴可化为，解得，
∴正整数n的最小值为6.
18．，．
设“至少有一名学生进入面试”为事件，
，，
，
，
故人中至少有一人进入面试的概率．
的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
．
19.证明：过点作交与点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
又，且，平面，
平面；
过点作交于点，连接，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又因为平面，所以．
平面，到平面的距离相等，
且，四边形是平行四边形，
，平面，，，
又，令，
则，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即，当且仅当时取得最大值．
如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以．
设与所成角为，则，
即当几何体体积最大时，与所成角的余弦值为．
20．（1）设点M的坐标，点M在线段AB上，满足，
∴，，
故，，因为，∴，解得：a＝2，∴椭圆E的方程；
（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，
所以，，此时，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，原点O到直线1的距离为d，所以，
整理得，由，可得，
，
，
， ，恒成立，即恒成立 ，
所以，所以，所以定圆C的方程是
所以当时 ， 存在定圆C始终与直线l相切 ，其方程是.
解：由，得，
当时，因为，不合题意
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
要，只需，
令，则，
当时，，单调递增当时，，单调递减，
所以，则由得，
所以，故实数取值的集合
由已知，，
因为函数有两个不同的极值点，，所以有两个不同零点，
若时，则在上单调递增，在上至多一个零点，与已知矛盾，舍去
当时，由，得，令
所以，当时，，单调递增
当时，，单调递减所以，
因为，，所以，所以，故实数的取值范围为
设，由则，
因为，所以，，
则，取对数得，
令，，则，即，
令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，则，在上单调递增，
又，所以当时，，即，
因为，，在上单调递增，所以，
所以，即，所以，
故成立．
22.解析:（1）因为圆以为圆心且与圆外切，所以其半径为.
所以圆的普通方程为.
由得由
得圆的极坐标方程为
（2）由题意得所以
把代入得
则是的两个根，
所以解得所以
所以所以直线的斜率为
23.（1）证明：因为为正数，所以（当且仅当时，取等号）。
同理可得（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）。因为正数满足，
所以（当且仅当时取等号）
（2）因为正数满足.所以
因为正数满足，
所以 =
（当且仅当时取等号）。
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