卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）若＝，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（4分）已知点A（3，﹣2）在双曲线y＝上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A．（1，6） B．（2，3） C．（﹣1，﹣6） D．（﹣2，3）
4．（4分）顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形
C．对角线相等的四边形 D．平行四边形
5．（4分）在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ）
A．2 B．12 C．18 D．24
6．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣9 B． C． D．9
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（4分）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
9．（4分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
10．（4分）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 ．
12．（4分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
13．（4分）一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球是一白一红的概率是 ．
14．（4分）已知α、β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
15．（4分）如图Rt△OAB中，直角顶点O在坐标原点，且OB＝2OA，点A在上，点B在上，则k＝ ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF，交BD于点O．已知AB＝6，BC＝8，则OM的长为 ．
三.解答题（本大题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0．
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
18．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF．
19．（6分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．
20．（8分）
如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在y轴左侧将△OAB放大为原来的两倍，画出△OA'B'；
（2）A点的对应点A′的坐标是 ；△OA'B'的面积是 ；
（3）在AB上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′坐标是 ．
21．（8分）如图，O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线EF∥AB，分别交AD，BC于E，F，连接AF，CE．
（1）证明：四边形AFCE是菱形．
（2）若四边形AFCE是正方形且BC＝6，求AB的长．
22．（8分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
23．（10分）白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
24．（10分）物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，请解答下列问题．
（1）如图1，乙同学测得旗杆AB在地面上的影长BC为6米，那么旗杆AB的高度为 米．
（2）如图2，丙同学想测量一棵树DE的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长EF为3米，墙上的影长GF长为1米，则树DE的高度为多少？
（3）如图3，丁同学想测量一根电线杆HI的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面上的影长IJ为4米，坡面上的影长JK为2米，已知斜坡的坡角为30°，则电线杆的高度是多少？
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（12分）（1）问题发现：
如图1，△ABC和△DEC均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①请写出图1中的一对全等三角形： ；
②线段AD、BE之间的数量关系为 ；
③∠AFB的度数为 ；
（2）类比研究：
如图2，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线ED经过点B时BD的长．
2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：主视图为圆的为，
故选：B．
2．（4分）若＝，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故选：D．
3．（4分）已知点A（3，﹣2）在双曲线y＝上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A．（1，6） B．（2，3） C．（﹣1，﹣6） D．（﹣2，3）
【解答】解：∵A（3，﹣2）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．
A、因为1×6＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故A选项不符合题意；
B、因为2×3＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故B选项不符合题意；
C、因为（﹣1）×（﹣6）＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故C选项不符合题意；
D、因为﹣2×3＝﹣6＝k，所以该点在双曲线y＝上．故D选项符合题意．
故选：D．
4．（4分）顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形
C．对角线相等的四边形 D．平行四边形
【解答】解：连接BD、AC交于点O，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF＝FG＝GK＝EH，
∵点E、F的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF＝BD，EF∥BD，
同理，EH＝AC，EH∥AC，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD必定是对角线相等的四边形．
故选：C．
5．（4分）在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ）
A．2 B．12 C．18 D．24
【解答】解：根据题意得＝0.25，
解得：a＝18，
经检验：a＝18是分式方程的解，
故选：C．
6．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣9 B． C． D．9
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，
解得m＝．
故选：C．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，
∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，
∴∠ABO＝30°，
∵AB＝2，
∴OF＝OA＝AB tan30°＝2×＝2，
故选：B．
8．（4分）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，
∴S△ABC：S△ADE＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵CB＝，
∴DE＝．
故选：A．
9．（4分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【解答】解：∵，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
10．（4分）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，
∴BE＝CE＝1，CD＝AB＝2，∠DCE＝90°，
∴CE：CD＝1：2，
∵EF＝ED，∠DCE＝∠FME＝90°，∠DEC＝∠MEF，
∴△DEC≌△FEM，
∴MF＝CD＝2，ME＝CE＝1，MF＝CD＝2，
∵FG⊥ED，∠DCF＝90°，
∴∠EMF＝∠DCF＝90°，
又∵∠F＝∠F，
∴△MEF∽△CNF，
∴，故①对；
∵EF＝ED，
∴EF﹣CE＝ED﹣EF，
∴DM＝FC，
∵∠MND＝FNC，
∴Rt△DMN≌Rt△FCN，
∴NM＝CN，故②对；
在Rt△EFM中，EF＝＝＝，
∴BF＝BE+EF＝1+，
∵CN∥BG，
∴Rt△GBF∽Rt△FCN，
∴，
∴GF＝BF＝，
∴S△BGE＝×BE＝×1×＝，
∵BE＝ME＝1，GE＝EG，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴S四边形GBEM＝2S△BGE＝2×＝，故④对，
故选：B．
二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 10 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝10．
故答案为：10．
12．（4分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故答案为：．
13．（4分）一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球是一白一红的概率是 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，
∴两次摸到的球是一白一红的概率为＝，
故答案为：．
14．（4分）已知α、β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴α2+2α﹣1＝0，α+β＝﹣2．
∴α2+2α＝1
∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）如图Rt△OAB中，直角顶点O在坐标原点，且OB＝2OA，点A在上，点B在上，则k＝ ﹣8 ．
【解答】解：过点B作BN⊥x轴交于点N，过点A作AM⊥x轴交于点M，如图：
∵∠AOB＝90°，BN⊥x轴，AM⊥x轴，
∴∠BON+∠AOM＝90°，∠BON+∠NBO＝90°，∠OAM+∠AOM＝90°，
∴∠NBO＝∠AOM，∠BON＝∠OAM，
∴△NBO∽△MOA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴BN＝2OM，ON＝2AM，
设AM＝a，则ON＝2a，
∵点A在上，
将y＝a代入得：，
∴，
则，
故，
∵点B在上，
将代入得：，
解得：k＝﹣8，
故答案为：﹣8．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF，交BD于点O．已知AB＝6，BC＝8，则OM的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴BD＝＝＝10，
∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，
∴AE＝EM，BM＝AB＝6，BN＝BC＝8，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，MN＝BN﹣BM＝8﹣6＝2，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴，
设DE＝x，则AE＝EM＝8﹣x，
∴，
解得，x＝5，即DE＝5，
∴EM＝8﹣5＝3，
同理，△DNF∽△DCB，
∴，
设DF＝y，则CF＝NF＝6﹣y，
∴，
解得，y＝，即DF＝，
∴NF＝CF＝6﹣＝，
∵∠EMD＝∠BNF＝90°，
∴EM∥FN，
∴△EOM∽△FON，
∴，即，
∴OM＝
故答案为：．
三.解答题（本大题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0．
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣．
18．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF．
【解答】证明：方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F
∴∠AEO＝∠BFO＝90°，
∵∠AOE＝∠BOF，
在△AEO与△BFO中，
，
∴△AEO≌△BFO（AAS），
∴AE＝BF．
方法二：∵S△ABD＝S△ABC，
∴AC BF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AE＝BF．
19．（6分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．
【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠DCB＝∠BCA，
∴△BCD∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得CD＝2，
故CD长为2．
20．（8分）
如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在y轴左侧将△OAB放大为原来的两倍，画出△OA'B'；
（2）A点的对应点A′的坐标是 （﹣6，2） ；△OA'B'的面积是 10 ；
（3）在AB上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′坐标是 （﹣2x，﹣2y） ．
【解答】解：（1）如图，△OA'B'即为所求；
（2）A点的对应点A′的坐标是（﹣6，2），
△OA'B'的面积＝4×6﹣×2×4﹣×2×6﹣×2×4＝10；
故答案为：（﹣6，2），10；
（3）在AB上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′坐标是（﹣2x，﹣2y）．
故答案为：（﹣2x，﹣2y）．
21．（8分）如图，O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线EF∥AB，分别交AD，BC于E，F，连接AF，CE．
（1）证明：四边形AFCE是菱形．
（2）若四边形AFCE是正方形且BC＝6，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠FOC＝∠BAC＝90°，
∴AC⊥EF，
∴ AFCE是菱形；
（2）解：∵四边形AFCE是正方形，
∴∠AFC＝90°，AF＝CF，∠CAF＝∠ACF＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝6，
∴AB＝＝3．
22．（8分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 40 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 72 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 560人 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝8（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
（2）C组所对应的扇形圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×＝560（人），
故答案为：560人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．
23．（10分）白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）（600﹣×5）＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
24．（10分）物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，请解答下列问题．
（1）如图1，乙同学测得旗杆AB在地面上的影长BC为6米，那么旗杆AB的高度为 12 米．
（2）如图2，丙同学想测量一棵树DE的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长EF为3米，墙上的影长GF长为1米，则树DE的高度为多少？
（3）如图3，丁同学想测量一根电线杆HI的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面上的影长IJ为4米，坡面上的影长JK为2米，已知斜坡的坡角为30°，则电线杆的高度是多少？
【解答】解：（1）∵一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，
∴旗杆AB在地面上的影长BC为6米，旗杆AB的高度为12米，
故答案为：12；
（2）如图2，连接DG并延长，交直线EF于点H，
∵GF＝1米，
∴FH＝0.5米，
∴EH＝EF+FH＝3.5米，
则＝，
解得：DE＝7，
答：树DE的高度为7米；
（3）如图3，连接HK并延长，交直线IJ于点C，过点K作KN⊥IC于点N，
在Rt△KJN中，JK＝2米，∠KJN＝30°，
则KN＝JK＝1米，JN＝JK×cos∠KJN＝2×＝米，
由题意得：CN＝0.5米，
∴IC＝（4.5+）米，
则＝，
解得：HI＝9+2，
答：电线杆的高度是（9+2）米．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：y＝﹣x+2，
将C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立，
解得：或，
∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞，
（3）存在，理由：
过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴，
∴，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得：，
解得：，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，
联立：，
解得：或，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．
26．（12分）（1）问题发现：
如图1，△ABC和△DEC均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①请写出图1中的一对全等三角形： △ACD和△BCE ；
②线段AD、BE之间的数量关系为 AD＝BE ；
③∠AFB的度数为 60° ；
（2）类比研究：
如图2，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线ED经过点B时BD的长．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC和△DEC均为等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD+∠BCD＝∠BCD+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD和△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵∠CBE+∠AFB＝∠CAD+∠ACB，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°，
故答案为：①△ACD和△BCE；②AD＝BE；③60°；
（2）∠AFB＝45°，AD＝BE．理由如下：
如图2，∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，
∴，∠ACB＝∠DCE＝45°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠DCE，
即∠ACD＝∠BCE，
∵，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，，
∴AD＝BE，
∵∠CAD+∠ACB＝∠CBE+∠AFB，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°；
（3）如图3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，
∵∠FAE＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴，
∴EC＝BD，
在Rt△ADE中，AE＝3，∠DAE＝30°，
∴DE＝AE＝，
∴BE＝＝4，
∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，
如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+，
综上所述，BD＝4+或4﹣．
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