卷子答案网-一个不只有答案的网站凉山州 2023 届高中毕业班第二次诊断性检测
数 学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分. 第玉卷（选择题），第域卷（非选择题），共 4页，满分 150
分，考试时间 120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡
上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书
写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
第玉卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共12小题,每题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.）
1. 已知复数 z = 31++2ii ，则 z 的虚部是（ ）
A. - 12 i B. - 25 i C. - 12 D. 25
2.集合 A= 嗓 x|y=log2(1-2x)｝，B=｛y|y=2x，x约1｝，则 A疑B=（ ）
A援 嗓 x | x约 12 ｝ B援 嗓 x | 0约x约 12 ｝ C援 嗓 x | x臆12 ｝ D援 嗓 x | 0约x臆12 ｝
扇
设设
3. 设设
x+y-1逸0
已知 x，y 满足约束条件 缮设设设x-y+1逸0 .则目标函数 z =x+2y 的最小值是（ ）
设设
墒设2x-y-2臆0
A. 1 B. 2 C. 11 D. 无最小值
4. tC0 表示生物体内碳 14 的初始质量,经过 t 年后碳 14 剩余质量 C（t）=C（0 12 ）h（t跃0，h 为碳 14
半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳 14 含量为 0.4C0，据此推算该生物是距今约多少年前的
生物(参考数据:lg2抑0.301 ).正确选项是（ ） 开始
A. 1.36h B. 1.34h
C. 1.32h D. 1.30h S=0
5. 执行如图所示程序框图，则输出的 S 的值是（ ） n=1
A援 4 S=S+ 15 n（n+1）
B援 5 n=n+16
6 跃5 否C援 n7 是
D援 78 输出 S
结束
数学（理科）试卷 第 1 页（共 4 页）
6. 小明买了4 个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入 3 个不同袋子
中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（ ）
A. 34 B . 227 C . 196 D. 49
7. 已知（f x）是定义域为｛x|x屹0｝的偶函数且（f x）= lnxx -e12（x跃0），则函数（f x）零点个数是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
8. 已知抛物线 y2=4x的焦点为 F，点 A(3,2)，点 P为该抛物线上一动点，则吟PAF周长的最小值是（ ）
A. 3+2姨2 B. 3 C. 4+2姨2 D. 2+2姨2 + 2姨3
2 A
9. 吟 , . 颐 1-tan在 ABC 中 角 A，B，C 对边分别为 a ,b ,c 命题 p 2 bcos（A+C）1+tan2 A + a =0, 命题 q 颐 吟ABC 为2
等腰三角形.则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10. 如图，在直角梯形 PABC 中，AB椅PC，蚁C=仔2 ，AB=BC= 21 PC=1，D 为 PC 边中点，将吟PAD 沿
AD 边折到吟QAD.连接 QB，QC 得到四棱锥
Q-ABCD,记二面角 Q-AD-C 的平面角为 兹，
下列说法中错误的是（ ）
A. 若 兹=仔2 ，则四棱锥 Q-ABCD 外接球
表面积 3仔
B. 无论 兹 为何值，在线段 QB 上都存在唯一一点 H 使得 DH=1
C. 无论 兹 为何值，平面 QBC彝平面 QCD
D. 若 兹=仔3 ，则异面直线 AC，BQ 所成角的余弦值为 14
11. 已知 a=tan 2 12002223 ，b=e2023，c= 22002232 ，则 a , b , c 大小关系是（ ）
A. c约b约a B. a约c约b C. c约a约b D. b约c约a
12. 如图所示，正方体 ABCD-A 1B1C1D1 棱长为 2，点 P为正方形 BCC1B1 内(不含边界)一动点,蚁BPC
角平分线交 BC 于点 Q，点 P在运动过程中始终满足 BQQC =2.
淤直线 BC1 与点 P的轨迹无公共点;
于存在点 P使得 PB彝PC;
盂三棱锥 P-BCD 体积最大值为 98 ;
榆点 P运动轨迹长为 49仔 .上述说法中正确的个数为（ ）
A援 1 B. 2 域 C. 3 D. 4第 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13. 已知(x+ 2x )
n
的展开式中二项式系数和为 32，则 x3 项系数是 ____________.
数学（理科）试卷 第 2 页（共 4 页）
14. 2 2已知双曲线 xa2 - yb2 =1（a跃0，b跃0）的右焦点 F（2,0）,点 F 到该双曲线渐进线的距离为姨3 ，则
双曲线的离心率是 ____________ .
15. 已知正实数 a,b，称 v= a+2b 为 a,b 的算术平均数，u=姨ab 为 a,b 的几何平均数，H= 23 v+ 13 u 为
a,b 的希罗平均数 .D 为吟ABC 的 BC 边上异于 B，C 的动点，点 P 满足 AP = 13 AD 且
AP = 1a8 AB + 1b8 AC ，则正数 a，b 的希罗平均数 H 的最大值是 ____________.
16. 已知函数（f x）=4sinxcosx-2sin2x+2cos2x+1,则下列说法中正确的是 ____________
淤（f x）一条对称轴为 x=仔8 ；
于将（f x）图象向右平移仔4 个单位，再向下平移 1 个单位得到的新函数为奇函数；
盂若（f 2x ）=姨5 +1，则 tanx=4依姨15 ；
榆若函数 y=f（ 棕2x ）（棕跃0）在区间 [ 仔3 ，仔]上恰有 2 个极大值点，则实数 棕 的取值范围
是[ 147 ，245 ).
三、解答题：共 70分援解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤援第 17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答援第 22、23题为选考题，考生根据要求作答援
（一）必考题：共 60分
17.（本小题 12 分）已知对于任意 n沂N* 函数（f x）=x2+2x 在点（n，（f n））处切线斜率为 an，正项等比
数列｛bn｝的公比 q沂（0,1），且 b1b5+2b3b5+b2b8=25，又 b3 与 b5 的等比中项为 2.
（1）)求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；
（2）求数列｛anb ｝的前 n 项和 Sn.n
18.（本小题 12 分）如图，在直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中, 点 E，F分别
是 BC，A 1C1 中点，平面 ABB1A 1疑平面 AEF=l.
（1）证明：l椅EF；
（2）若 AB=AC=2姨2 ，平面 ACC1A 1彝平面 ABB1A 1，
且 AB1彝EF，求直线 l 与平面 A 1B1E 所成角的余弦值.
19.（本小题 12 分）2022 年 12 月 6 日全国各地放开对新冠疫情的管控，在强大的祖国庇护下平稳
抗疫三年的中国人民迎来了与新冠变异毒株奥密克戎的首次正面交锋.某市为了更好的了解
全体中小学生感染新冠感冒后的情况,以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了
100 名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100 名中小学生感染奥密克戎后的疼痛
指数为 X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
数学（理科）试卷 第 3 页（共 4 页）
疼痛指数 X X≤10 10＜X＜90 X≥90
人数（人） 10 81 9
名称 无症状感染者 轻症感染者 重症感染者
其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者。
（1）统计学中常用 L= P（B|A）表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的似然比.现从样本中
P（B |A）
随机抽取 1 名学生，记事件 A：该名学生为有症状感染者，事件 B:该名学生为重症感染者，
求似然比 L 的值;
（2）若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数 X 近似的服从正态分布 N(50，啄2），
且 P（X≥90）= 110 .若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取 3 名，设这 3 名
学生中轻症感染者人数为 Y，求 Y 的分布列及数学期望.
20. 2 2（本小题 12 分）已知椭圆 E颐 xa2 + yb2 =1（a跃b跃0）左右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 C,蚁CF2F1=仔3 ,
过点 F1 作 CF2 的垂线与椭圆 E 交于 A，B 两点，吟ABC 的周长为 8.
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）已知点 P（n,t）（nt屹0）为椭圆 E 上一动点，过点 P作 E 的切线
其斜率记为 k，当直线 PF1，PF2 斜率存在时分别记为 k1，k2，
探索 1k ·（ 1k + 1k ）是否为定值.若是，求出该定值；若不是，忆 1 2
请说明理由.
21.（本小题 12 分）已知函数（f x）=alnx- x2-1x （a沂R）.
（1）f 忆(x)为函数（f x）的导函数，f（忆 x）臆0 对任意的 x﹥0 恒成立，求实数 a的取值范围；
（2）若函数 f (x)有两个不同的极值点 x1，x（2 x1约x2）,证明：2sinx2-2x1-alnx2+alnx1约0.
（二）蓘选考题：共 10分援请考生在第 22、23题中任选一题作答援如果多做，则按所做的第一题计分援22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（蓡 10 分）
扇设设设 姨2
设设x=-2+ 2 t ,
在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 缮设设设 （t为参数）.以原点为极点，x 轴的设设设y=-4+ 姨22 t墒设
非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 籽sin2兹=2cos兹.
（1）求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设点 P（-2,-4），直线 l 与曲线 C 交于点 A，B.求证：PA · PB = AB 2 援
23. 蓘选修 4-5：不等式选讲 蓡（10 分）
已知函数（f x）越|x+2|+|1-x|.
（1）求不等式（f x）臆4 的解集；
（2）函数（f x）最小值为 k，3a + 2 + 1b c =k（a跃0，b跃0，c跃0），求 3a+2b+c 的最小值援
数学（理科）试卷 第 4 页（共 4 页）
凉山州 2023 届高中毕业班第二次诊断考试理科数学参考答案及评分细则
1-5：CBACB， 6-10：DACDB, 11-12：DC
13： 10 ； 14： 2 ； 15： 3 ； 16： ①③
'
17解：（1）由题意 f (x) 2x 2 an 2n 2 …………………………………………2分
b23 2b b
2 b 4 b 1
3 5 b5 5 3 3 b 或 （舍）q 5
1 n 3 1
,b
n 5
n b3q ( ) …6分
b3 b5 4 b5 1 b5 4 b3 2 2
an 2n 2 (n 1) 2n 4(2) …………………………………………………………7 分
b 1n ( )n 5
2
S 2 2 3n 3 2
2 4 2 1 ... n 2n 5 (n 1) 2n 4........①
2Sn 2 2
2 3 2 1 4 20 ... n 2n 4 (n 1) 2n 3....②
1
②-① S (2 2n 2
1 ... 2n 4 ) (n 1) 2n 3…………………………………10 分
4
1
(1 2n 1)
1
Sn
4 (n 1) 2n 3 Sn n 2
n 3
…………………………………12 分
4 1 2
19 解：（ 1）取 AB 中点 G，连接 EG,A1G， E,G 分别是 BC,AB 中点
1
EG AC且EG AC
2
1
又 A1F AC 且 A1F AC A 1F EG
2
四边形 EGA1F 为平行四边形
EF A1G, EF 平面 ABB1A1 , A1G 平面 ABB1A1
EF 平面 ABB1A1 ， EF 平面 AEF , 平面 AEF 平面
ABB1A1 = l EF l …………………………………………………6 分（2）
三棱柱为直棱柱 AA1 平面 ABC AA1 A1C1
平面 ACC1A1 平面 ABB1A1，
平面 ACC1A1 平面 ABB1A1 AA1 , A1C1 平面 ACC1A1
A1C1 平面 ABB1A1 A1C1 A1B1……………………………………………8分
以 A1为坐标原点建系如图所示，设AA1 a
B1(0,2 2,0), F( 2,0,0), E( 2, 2,a), A(0,0,a)
AB1 (0,2 2, a), EF (0, 2, a)
AB1 EF 0 a 2 E( 2, 2,2), A(0,0,2)
设平面 A1B E法向量为 1
n (x, y, z)，A1B1 (0, 2 2,0)，A1F ( 2, 2, 2)
n A1B1 0 2 2y 0
n A F 0 2x 2y 2z 01
取n ( 2,0, 1)由（1）知直线EF l l方向向量为EF (0, 2, 2)
设直线 l与平面平面BCC B 所成角为 1 1 ，
n EF 2
sin cos n, EF …………………………………………11 分
n EF 3
7 7
cos ,所以直线 l与平面平面BCC1B1所成角的余弦值为 ……………12 分
3 3
C1 C1 1P(AB) C 1
19解 : (1)P(A) 90 , P(AB) 9 , P(B A) 9
C1 1 1100 C100 P(A) C90 10
C1 P(B A) C1P(AB) 1
P(B A) 81 L 9 ……………………………………4分
P(A) C1 C1100 P(B A) 81 9
C1 1
(实质是重症患者在有症状感染者中占比 L 9 也给满分)
C181 9
1 1 4
(2) P(X 10) P(X 90) P(10 X 90) 1 2 , ………………6分
10 10 5
4 k 4 k 1
由题意得Y B(3, ) , P(Y k) C3 ( ) ( )
3 k ,k 0,1,2,3.
5 5 5
4 1 1 4
P(Y 0) C0 ( )0 ( )3 ，P(Y 1) C1( )1
1
( )2
12
3 3
5 5 125 5 5 125
4 1 48 4 1 64
P(Y 0) C2 23 ( ) ( )
1 ，P(Y 0) C3( )3( )0 ……………………10 分 3
5 5 125 5 5 125
Y 的分布列如下：
Y 0 1 2 3
P 1 12 48 64
125 125 125 125
4 4
Y B(3, ) E(Y ) 3 2.4………………………………………………………12 分
5 5
20 解： CF F ，CF CF CF F 为正三角形 AB为CF 的中垂线2 1 1 2 2 1 2
3
CA AF2，CB BF2 , ABC 与 ABF2 周长相等，即4a 8
x2 y2
a 2,c 1 E 标准方程为 1……………………………………………………5 分
4 3
(2)设切线方程为 y kx m，由题意知 k 0
y kx m
(4k
2 3)x2 8kmx 4m2 12 0
3x
2 4y2 12 0
由 64k 2m2 16(4k 2 3)(m2 3) 0 4k 2 m2 3 0①……………………8 分
y kx m过点P(n, t)得m t kn代入①得4k 2 t2 2ktn n2k 2 3 0②
3
又点P(n, t)在椭圆上 t2 3 n2代入②整理得
4
16t2k 2 24ntk 9n2
3n
0 4tk 3n 0 k …………………………………10 分
4t
t t 1 1 1 4t n 1 n 1 4t 2n 8
k1 ,k .2 ( ) ( ) .
t 1 t 1 k k1 k2 3n t t 3n t 3
………………………………………………………………………………………12 分
2
' a 1 x ax 1
21解： f (x) 1 0即x2 ax 1 0............................2分
x x2 x2
1 1
a x (x 0), x 2,当且仅当 x 1时取“=”, a 2……………4分
x x
（2）由（1）知当a 2时 f (x) 单调递减，无极值点，不满足条件.
a 1 x2 ax 1
当 a 2 ' 2 2时， f (x) 1 0即 x ax 1 0， a 4 0 的两
x x2 x2
x x a
根为 x1, x2.
1 2
由韦达定理得 , x1 x2 0 x1 1 x2 , 满足条件………6分
x1 x2 1
令 g(x)=x sin x(x 0), g '(x) 1 cos x 0 g(x) g(0) 0 x sin x(x 0) ，
要证2sin x2 2x1 a ln x2 a ln x1 0只需证2x2 2x1 a ln x2 a ln x1 0，…8分
x
2( 2 1)
x2 x1 a x x 2(x x ) x x即证 1 2 ，即证 2 1 ln x ln x , 1 ln 2 …10分 2 1
ln x2 ln x 2 2 x x x2 x1 1 2 1 1
x1
x 2t 2
令 t 2 (1, )即证 ln t
x1 t 1
2t 2 1 4 (t 1)2
h(t) ln t , t (1, ).h'(t) 0
t 1 t (t 1)2 (t 1)2
g(t)在(1, )单增，g(t) g(1) 0得证.............................................................12分
2
x 2 t
2
22 解 ： (1) 将 直 线 l 的 参 数 方 程 ( t 为 参 数 ) 化 为 普 通 方 程 为
2
y 4 t
2
x y 2 0. cos , y sin
∴直线 l 的极坐标方程为 cos sin 2 0........................................3分
2 2
∴由曲线C 的极坐标方程 sin 2 cos
2
化为直角坐标方程为 y 2x........................................................................5分
2
x 2 t
2 2 2
(2)将 代入 y 2x得 t 10 2t 40 0
2
y 4 t
2
设点 A、B对应的参数为 t1、t2 ，则 t1 t2 10 2，t1 t2 40...................7分
∵ P l
2 2
∴ PA PB t1 t2 40, AB t1 t2 (t1 t )
2
2 4t1 t2 40
2
∴ PA PB AB ..............................................................................10分
2x 1,(x 1)
y
23、(1)解： f (x) 3,( 2 x 1) ...........................2分
2x 1,(x 2) 4
A B
5 3 3
由图可知：当 f (x) 4时， x 或 x ，
2 2
x
-2 1
5 3
所以 f (x) 4 的解集为[ , ]..............................5分
2 2
3 2 1
(2)由图可知 f (x)min k 3， 3.....................................6分
a b c
由柯西不等式得
3 2 1 3 2 1
(3a 2b c) ( ) ( 3a 2b c )2 36.....9分
a b c a b c
3a 2b c 12，当且仅当a b c 2时取等号，
3a 2b c的最小值为12.................................................................10分
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 2023届四川省凉山州高三下学期第二次诊断性检测数学（理）试题（含答案）