卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年上海市重点中学高二年级上学期
数学小练习4
2023.11
一、填空题 (本大题共有10小题，满分40分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分.
1.空间中有5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定______个平面
2.空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为，连接各边中点所得四边形的面积是______.
3.如图，底面是边长为2的菱形，，点是平面外一点，平面，与平面所成角的大小为，为的中点，则异面直线与所成角的大小为______.
4.在菱形中，为菱形所在平面外的一点，。到直线的距离为______.
5.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则等于______.
6.已知异面直线所成角为，过空间定点与成角的直线共有______条
7.如图所示，两直线，又都平行于轴，都平行于轴，则面积之和为______.
8.是一个边长为1的正方体，过顶点作正方体的截面（该截面与正方体的表面不重合），若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是______.
9.如图，三棱锥中，已知平面于，设，记函数，则的最大值是______.
10.已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足，则______.
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
11.“直线垂直于的边”是“直线垂直于的边”的（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
12.设表示三条直线，表示两个平面，下列命题中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
13.如图，为正方体的中心，在该正方体各个面上的射影可能是（ ）
A.（1）（2）（3）（4） B.（1）（3） C.（1）（4） D.（2）（4）
14.已知棱长为1的正方体中，点分别是棱上的动点，且。设与所成的角为，与所成的角为，则的最小值（ ）
A.不存在 B.等于 C.等于 D.等于
三、解答题 (10+10+12+12) 本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
15.在本大题中，是三条互不重合的直线，是三个互不重合的平面
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则；（4）若，则
（5）若，则；（6）若，则
（7）若，则；（8）若，则
（9）若，则；
（10）若，则
16.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，垂直于底面，分别为的中点
（1）求证：
（2）求与平面所成的角。
17.如图，在长方体中，分别为的中点，是上的一个动点，且
（1）当时，求证：平面平面
（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
18.已知数列的前项和为，且
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式
（2）设，求出数列的前项和为
四、附加题（10+10）
19.从点引三条射线，其两两之间的夹角分别为，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？
20.设是实数，是整数，若，则称是数轴上与最接近的整数．
（1）数列的通项为，且对任意的正整数，是数轴上与最接近的整数,写出一个满足条件的数列的前三项；
（2）数列的通项公式为,其前项和为，求证：整数是数轴上与实数最接近的整数；
（3）是首项为2，公比为的等比数列的前项和，是数轴上与最接近的正整数，求.
参考答案
一、填空题 (本大题共有10小题，满分40分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分.
1.空间中有5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定______个平面
【答案】7
【解析】由题意知，平面内的四个点可构成6条不同的直线
由平面内每一条线假设第五个点都会确定一个不同的平面
因此由6个平面，再加上4点确定的面总共是7个平面。
2.空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为，连接各边中点所得四边形的面积是______.
【答案】
【解析】如图，空间四边形中
两对角线的长分别为6和8，所成的角为
分别取的中点，连接
则，且
，且
则连接各边中点所得四边形的面积是
3.如图，底面是边长为2的菱形，，点是平面外一点，平面，与平面所成角的大小为，为的中点，则异面直线与所成角的大小为______.
【答案】
【解析】连接，交于点，连结
因为分别为的中点，所以
所以（或其补角）为异面直线与所成角
在中,
（以下由余弦定理，或说明是直角三角形求得）
或或
所以异面直线与所成角的大小为
4.在菱形中，为菱形所在平面外的一点，。到直线的距离为______.
【答案】5
【解析】在菱形中，为菱形所在平面外的一点，，
如图，作，垂足为
因为，即平面，且平面
所以
因为平面，所以平面
因为平面，所以
因为，所以
因为平面，平面，所以
所以
则到直线的距离为5
5.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则等于______.
【答案】
【解析】成等差数列，
公比
又
6.已知异面直线所成角为，过空间定点与成角的直线共有______条
【答案】3
【解析】将直线平移，使两直线经过点，如下图所示
设直线所成角的角平分线为
过点垂直于直线所在平面的直线为
因为所成角为
当直线经过点且直线在直线所在平面内且垂直于直线
此时直线与直线所成角均为
当直线在直线所在平面内时
若绕着点旋转，此时与直线所成角相等
且所成角从变化到，再从变化到
所以此时满足条件的有2条
综上所述，过空间定点与成角的直线共有3条
7.如图所示，两直线，又都平行于轴，都平行于轴，则面积之和为______.
【答案】
【解析】由题意知：构成以1为首项，以为公比的等比数列
则
的面积构成以为首项，以为公比的等比数列，且
则所有的面积和
8.是一个边长为1的正方体，过顶点作正方体的截面（该截面与正方体的表面不重合），若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是______.
【答案】
【解析】如图所示
设过顶点作正方体的截面与底面所成的角为
则有
又当截面是正方体的对角面时，其面积最大，最大为
则截面面积的取值范围是
9.如图，三棱锥中，已知平面于，设，记函数，则的最大值是______.
【答案】
【解析】已知平面于，
在中，由余弦定理知
（当且仅当时取等号）
的最大值为
10.已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足，则______.
【答案】3
【解析】，且
又，令，则，解得
同理可得
猜想
下面利用数学归纳法证明：
①当时，成立
②假设当时成立，，则
解得
因此当时也成立
综上，对于，都成立
由等差数列的求和公式得，
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
11.“直线垂直于的边”是“直线垂直于的边”的（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
【答案】A
【解析】若直线垂直于的边，则直线垂直平面，则，故充分性成立
故选A
12.设表示三条直线，表示两个平面，下列命题中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】与还可以平行，故D错误
13.如图，为正方体的中心，在该正方体各个面上的射影可能是（ ）
A.（1）（2）（3）（4） B.（1）（3） C.（1）（4） D.（2）（4）
【答案】C
【解析】在平面，平面的投影为①，在四个侧面的投影为④
故选C
14.已知棱长为1的正方体中，点分别是棱上的动点，且。设与所成的角为，与所成的角为，则的最小值（ ）
A.不存在 B.等于 C.等于 D.等于
【答案】C
【解析】在上取一点，使，连接，则
同理可判断
在中,
所以
所以
因此
故选C
三、解答题 (10+10+12+12) 本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
15.在本大题中，是三条互不重合的直线，是三个互不重合的平面
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则；（4）若，则
（5）若，则；（6）若，则
（7）若，则；（8）若，则
（9）若，则；
（10）若，则
【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）错误；（6）正确；（7）错误；（8）错误；（9）正确；（10）错误。
【解析】
（1）平行具有传递性，故（1）正确
（2）与可以平行，相交或异面，故（2）错误；
（3）与还可以异面，故（3）错误；
（4）有相同的法向量，故正确；
（5）可以相交，故（5）错误；
（6）正确；
（7）可以相交，故（7）错误；
（8）可以属于，故（8）错误；
（9）正确；
（10）可以相交，故（10）错误。
16.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，垂直于底面，分别为的中点
（1）求证：
（2）求与平面所成的角。
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）因为是的中点，，所以
由底面，得
又，即
平面，所以
平面
（2）连结
因为平面，即平面
所以是与平面所成的角
在中，
在中，
故
在中，
又，故与平面所成的角是
17.如图，在长方体中，分别为的中点，是上的一个动点，且
（1）当时，求证：平面平面
（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明：当时，为的中点，因为是的中点
所以，则四边形是平行四边形
所以
又平面平面
所以平面
又是的中点，所以
因为平面平面
所以平面
因为平面平面
所以平面平面
（2）存在。连接
因为平面平面，所以
若平面，所以平面
因为平面，所以
在矩形中，由，得
所以
由，所以
则，即，所以存在，使得
18.已知数列的前项和为，且
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式
（2）设，求出数列的前项和为
【答案】（1）；（2）；
【解析】
（1）因为
所以当时，
两式相减，得，即
又由，得，故，显然
，故
综上，数列是等比数列，首项是1，公比为2，所以，故
（2）由得，故
所以
①*2，得
②-①，得
四、附加题（10+10）
19.从点引三条射线，其两两之间的夹角分别为，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？
【答案】
【解析】不妨设的夹角为，的夹角为，的夹角为
在分别取点，使得
作的平分线分别交于
则，且分别是的中点
正中，,等腰中，
在中，由余弦定理得
又
且
所以
,又
所以这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是
20.设是实数，是整数，若，则称是数轴上与最接近的整数．
（1）数列的通项为，且对任意的正整数，是数轴上与最接近的整数,写出一个满足条件的数列的前三项；
（2）数列的通项公式为,其前项和为，求证：整数是数轴上与实数最接近的整数；
（3）是首项为2，公比为的等比数列的前项和，是数轴上与最接近的正整数，求.
【答案】（1）1,2,3；（2）见解析；（3）12108
【解析】
(1)，得.同理,.
满足条件的一个数列的前三项为1，2，3.
(2)由，得,
（3）由已知条件得，
由，得.
当时，由，得，,得，得，即.
当时，由，得，,得,得，即.
当时，由，得，,得,得，即.
当时，由，得，,得,得，即，，.
当时，由，得，,得,即时，.
所以